01.02.01 — Теоретическая механика

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (нацнональиь<й исьтедовательскнй университет) <МАИ 3 Факультет «Прякладная математика и физика» «Утверждаю» Председатель Ученого совета факультета № 8 2 Крылов С.С. ' «29 фбврапя 2016 г. Утверждено Ученым советом факультета№3 <Протокол №б от 29.02.2016 г.) П РОЙ'АММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ДЛЯ ПОСТУПА1ОЩИХ В АСПИРАНТУРУ ПО НАПРАВЛЕННОСТИ: 01.02.01 «Теоретическая механика» по физико-математи ческнм наукам 1. Кинематика Кинематика точки.

Естественный трехгранник Дарбу. Криволинейные координаты и параметры Ламе, Кинематика системы отсчета (кинематика абсолютно твердого тела). Свойства матрицы направляющих косинусов. Угловая скорость. Кинематические уравнения для углов Эйлера, для матрипы направляющих косинусов (уравнения Пуассона). Кинематика относительного движения. 2. Статика Эквивалентные системы снл. Критерий эквивалентности двух систем сил, приложенных к механической системе и твердому телу. Условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу.

Частные случаи. Основная теорема статики (теорема Пуансо). Случаи приведения системы сил. Принцип виртуальных перемещений. Геометрия масс и динамические меры движения механической системы, Количество движения. Момент количеств движения (кинетический момент) относительно точки и оси. Кинетическая энергия.

Теоремы Кенига. Основные теоремы динамики. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента. Теорема о движении центра масс. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения полной механической энергии системы. Основные теоремы динамики для относительного движения. Основные теоремы динамики в теории удара. Классические задачи динамики твердим тела. Случаи Эйлера, Лагранжа„ Ковалевской. Стационарные движещпи перманентные вращения и регулярная прецессия. Гироскоп.

Основная формула гироскопии. Механические связи и их классификация. Число степеней свободы и обобщенные координаты. Виртуальные перемегпеиия. Голономные и неголономные системы. Обобщенные силы. Лагранжева механика. Принцип Даламбера-Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа для движения в потенциальном поле. Уравнения Лагранжа с множителямн. Уравнения Рауса для систем с циклическими координатами.

Первые интегралы уравнений Лагранжа, Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Консервативные системы. Гироскопические и диссипативные силы. Обобщенный потенциал. Основные понятия теории устойчивости движения. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость, Функции Ляпунова. Общие теоремы второго метода Ляпунова.

Устойчивость линейных стационарных систем. Необходимые условия устойчивости. Критерий Рауса-Гурвица. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Понятие о критических случаях. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. Обращение теоремы Лагранжа.

5. Линейные колебании. Малые колебания линеаризованных консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия. Уравнение частот. Экстремальные свойства собственных частот. Теорема Релея. Главные ~нормальные) координаты. Вынужденные колебания. Резонанс. б. Нелинейные колебания Метод фазовой плоскости Метод малого параметра: теорема Пуанкаре, теорема существования периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений Метод усреднения: стандартная по Богол1обову форма, принцип усреднения, первая теорема Боголюбова, усреднение и многочастотных системах в иерезонансном случае Метод нормальных форм: понятие нормальной формы системы дифференциальных уравнений, теорема Пуанкаре.

Нормальные формы при резонансах. Методы нормализации гамильтоновых систем: метод Биркгофа, метод Дел ри — Хори. 7. Вариационные принципы механики Принцип наименылего принуждения Гаусса. Принцип Гамильтона-Остроградского. Принцип наименьшего действия в формах Лагранжа и Якоби. 8. Гамильтонова механика Обобщенные импульсы. Преобразования Лежандра. Уравнения Рауса и Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона. Обобщенно- консервативные системы, интеграл Якоби. Первые интегралы.

Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля о фазовом объеме. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре-Картана. Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности, Производящие функции. Уравнение Гамильтона-Якоби. Переменные действие-угол. Теорема Лиувилля об инварнантных торах. 9. Элементы небесной механики. Задача двух тел. Первые интегралы задачи двух тел. Классификация траекторий.

Законы Кеплера для эллиптических траекторий. Понятие о задаче трех и более тел. 1. Аппель П. Теоретическая механика. ТЛ,2. Мл Физматгиз. 1960. 2. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат,1946. 3. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. Мл Наука, 1987. 4. Маркеса А.П. Теоретическая механика. Мл Наука, 1999. 5. Четаев Н.Г, Устойчивость движения. Мл Наука.1965. 6. Меркин Д.Р. Введение в теорнго устойчивости движения.

Мл Наука. 1971, 7. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. Мл Наука. 1988. 8. Уиттекер Е,Т, Аналитическая динамика. М.-Л,: ОНТИ. 1937. 9. Ланцош К. Вариационпые принципы механики. Мл Мир. 1965. Составители: д.ф,-м.н., проф. Холостова О,В, Завед >ощий кафедрой 802 Бардин Б.С. к » 2016 г. .