1612725512-bef439519923449298573107f5123b54 (2016 - Программа курса), страница 3

Можно ли найти собственные частоты, не решая секулярного уравнения?ЗАДАНИЕ №2(сдать до 25 апреля)4. Построить представление группы вращений в пространстве однородных полиномов третьей степени P ( x, y , z ) =∑m + n + l =3C mnl x m y n z l . Найти базис подпространствагармонических полиномов. Разложить исходное представление на неприводимые.Выразить базис неприводимых представлений через сферические функции Ylm.5.

Разложить на неприводимые представление группы вращений SO(3) на тензорахтретьего ранга в трехмерном пространстве. Рассмотреть полностью симметричнуючасть. Приводима ли она?6. Центробежная поправка в гамильтониане многоатомной молекулы имеет видV =∑τi jk lJ i J j J k J l , где Ji – вектор углового момента, τijkl – симметричный тензор.i jk lСколько независимых компонент содержит тензор τ, если молекула имеет симметрию треугольника C3v?7. Две переменные z1 , z2 преобразуются вещественной матрицей из группы G=SL(2) ′ 1� 1 � = � � � � ,22 ′ − = 1.Найти генераторы Iˆ1 , Iˆ2 , Iˆ3 группы G в представлении на функциях w( z1 , z2 ) и ихкоммутационные соотношения. Найти собственные функции оператора Казимира.Построить повышающий и понижающий операторы для Iˆ3 .8.

Вывести правила отбора для матричных элементовэлектрического дипольного момента в молекуле метана CH4 для переходов между состояниями, которыепреобразуются по неприводимым представлениям.ЗАДАНИЕ № 3 (сдать до 25 мая)9. Найти функцию Грина и решение уравнения y'''= f(x) с граничными условиямиy(0)=a, y(1)=0, y'(0)+y'(1)=0. При каких a задача разрешима?10. Найти функцию Грина неоднородного уравнения теплопроводности на поверхности цилиндра радиуса R: = Δ2 u + f(z, φ, t).Выписать решение задачи с источником=f Qδ ( z − Vt ) .11.

Найти функцию Грина второго рода G(x,t|t') механической системы, состоящей из шарика,скользящего по вертикальной спице, соединенного с пружинкой и полубесконечной струной,натянутой вдоль оси оси x.ρ utt (x, t ) = T u xx (x.t ), mutt (0, t ) = −k u (0, t ) + T u x (0, t ) + f.Пример экзаменационного билета1. Правило обхода полюсов. Построить функцию Грина уравнения Шредингераi =2 2, (, 0) = ().2. Каждому повороту группы 3 соответствует линейное преобразование коэффициентов квадратичной формы (, , ) = 2 + 2 + 2 + + + .

Разложить полученное представление на неприводимые.Примеры дополнительных задач1. Построить функцию Грина уравнения " + ′ − 2 = (), y(0) = y′(1) = 0.2. Построить функцию Грина уравнения " + 2 = (), ′(0) = ′(1) = 0.3. Найти функцию Грина уравнения теплопроводности на единичной окружности.4.

Какова максимальная размерность неприводимого представления группы 4 ?5. Найти число независимых компонент симметричного тензора ранга 3, инвариантного относительно группы 4 .6. Построить таблицу неприводимых характеров группы 6 .Список вопросов, знание которых необходимо для сдачи экзамена1. Правые смежные классы, классы сопряженных элементов, инвариантные подгруппыв группе 3 .2. Неприводимые представления и характеры 3 , 4 , (3).

Разложение представления группы на неприводимые.3. Кратность вырождения колебаний молекулы.4. Размерность групп (), (), (), (), (). Параметризация группы (3).5. Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля. Условия на скачке. Нулевые моды.6. Функция Грина уравнений Пуассона и Лапласа. Задачи Дирихле и Неймана.7. Функция Грина уравнения теплопроводности и волнового уравнения..