1612725512-bef439519923449298573107f5123b54 (2016 - Программа курса), страница 2

Исследовать асимптотику на большихвременах. С какой скоростью движется центр пакета и как меняется его ширина?10. С помощью интегрального представления1Γ()� −1 (1 − )−−1 11 (; ; ) =Γ()Γ( − ) 0найти асимптотику вырожденной гипергеометрической функции, если = , →+∞, при > 1 или < 1.11. Методом усреднения исследовать эволюцию медленной переменной в уравненииВан дер Поля с нелинейным трением̈ + 02 = (̇ − ̇ 3 2 ), → 0.Пример экзаменационного билета∞1.

Найти асимптотику интеграла ∫−∞ −3 − −3, → +∞.2. Найти решение уравнения + − = 2 , (0, , ) = 2 + 2 .Примеры дополнительных задачA. Найти асимптотику интеграла:11. ∫0 ln , → +∞.2.2∞ −�ch2 − 2 �,∫−∞ ∞4 → +∞.3. ∫−∞ − , → +∞.В. Решить уравнение в частных производных:1. Задачу Коши − = 1, ( = 1) = 2 .2. Уравнения Лапласа в единичном шаре с граничным условием |=1 =3 cos 2 − 1.3. Задачу Коши + = , (, 0) = .Список вопросов, знание которых необходимо для сдачи экзамена1. Метод характеристик.2.

Квазилинейное уравнения I порядка.3. Канонический вид уравнения II порядка. Формула Даламбера.4. Автомодельное решение уравнения теплопроводности.5. Метод Фурье для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.6. Разделение переменных в цилиндрических и сферических координатах.Функции Бесселя, полиномы Лежандра и Эрмита.7. Асимптотика интеграла Лапласа. Метод стационарной фазы.МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ(6 семестр)профессор Давид Абрамович ШапироПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП1.

Симметрия молекул (повороты, отражения, зеркальные повороты). Определениегруппы, гомоморфизм, изоморфизм. Примеры конечных групп: Cn, Dn, T, O, Y.2. Основные понятия теории групп: порядок элемента и группы, подгруппа, смежныйкласс, класс сопряженных элементов, нормальная подгруппа, центр, факторгруппа.3. Матричные представления конечных групп. Единичное, точное, регулярное представления, размерность представления. Приводимые и неприводимые представления.

Лемма Шура. Соотношение ортогональности неприводимых представлений.Таблица характеров. Соотношение ортогональности характеров. Разложение представления на неприводимые.4. Симметрии, законы сохранения и вырождение в квантовой механике. Снятие вырождения при понижении симметрии. Использование симметрии для расчета кратности вырождения колебаний молекул.5. Общие свойства групп Ли, связность, размерность, компактность. Примеры группЛи: GL(n,C), U(n,C), SU(n,C), O(n,R), SO(n,R). Алгебра Ли, структурные константы. Инфинитезимальные операторы (генераторы). Алгебра Ли группы Ли.6. Восстановление группы Ли по ее алгебре Ли.

Экспоненциальная формула. ГруппаSO(3), SU(2) и их параметризации. Изоморфизм алгебр Ли ASU(2) и ASO(3). Гомоморфизм группы SU(2) на SO(3). Спиноры.7. Построение неприводимых представлений группы вращений. Повышающий и понижающий операторы, оператор Казимира. Базис представления из сферическихгармоник.

Связь с квантованием момента импульса.8. Тензорное произведение представлений. Разложение Клебша – Гордана. Тензорныепредставления группы, понятие тензора. Симметричные тензоры, симметризаторыЮнга. Инвариантные тензоры, расчет количества независимых компонент. Правила отбора.МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА1.

Необходимые условия существования обратного оператора. Фундаментальное решение и функция Грина краевой задачи. Принцип взаимности. Функция Гринауравнения Штурма – Лиувилля на конечном интервале.2. Альтернатива Фредгольма. Разложение обратного оператора по проекторам, нулевые моды. Обобщенная функция Грина.3. Принцип максимума для оператора Лапласа. Единственность решения задач Дирихле и Неймана. Особенность фундаментального решения уравнения Пуассона впространствах разной размерности. Формула Грина.

Функции Грина второго родадля задач Дирихле и Неймана. Потенциалы объемного заряда, простого и двойногослоя. Функция Грина уравнения Гельмгольца. Применение в квантовой теории рассеяния.4. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Решение с помощью преобразования Фурье. Единственность решения волнового уравнения.

Запаздывающаяфункция Грина. Правило обхода полюсов. Принцип Гюйгенса - Френеля.Литература1. С. К. Годунов. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.2. И.В. Колоколов и др. Задачи по математическим методам физики. УРСС, 2002.3. Е.В. Подивилов и др. Рабочая тетрадь по математическим методам физики, Новосибирск: НГУ, 2012.4. Л. Д. Ландау, Е.

М. Лифшиц. Квантовая механика.5. Дж. Мэтьюз, Д. Уокер. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972.6. М. И. Петрашень, Е. А. Трифонов. Применения теории групп в квантовой механике.Дополнительная литература1. Г. Вейль. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1970.2. Е. Вигнер. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомныхспектров. М.: Изд. иностранной литературы, 1961.3. Б. А.

Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия.4. Г. Я. Любарский. Теория групп и физика. М.: Наука, 1986.5. А. Мессиа. Квантовая механика. Т.1,2. М.: Наука, 1979.6. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. Т.2.

М.: Мир, 1984.7. С. Л. Соболев. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.8. Дж. Эллиот, П. Добер. Симметрия в физике. Т.I, II. М.: Мир, 1983.Примерная программа семинаровдоцент Евгений Вадимович Подивилов1. Группа симметрии правильного треугольника: таблица умножения, подгруппы, смежные классы. Задачи 292, 293, 295, 294, 296, 283, 297, 284.2. Классы сопряженных элементов, инвариантные подгруппы, фактор-группы.Группы подстановок. Задачи 302 (а), 303, 306, 307, 309 (а).

Найти порядок группывращений куба.3. Группа симметрии квадрата и куба. Центр группы. Задачи 302 (б), 287, 299,286, 305.4. Матрицы неприводимых представлений группы треугольника. Характеры.Соотношения ортогональности. Разложение произвольного представленияна неприводимые. Найти неприводимые представления группы треугольника ипостроить таблицу неприводимых характеров.

Построить и сравнить таблицы неприводимых характеров групп D2 и C4. Задачи 309 (б), 310, 311.5. Таблица неприводимых характеров группы квадрата. Кратности вырождениянормальных колебаний симметричной молекулы. Задачи 344. Двумерная система из трех одинаковых грузов в вершинах правильного треугольника. Грузы соединены между собой и с центром одинаковыми пружинами.

Выписать матрицыисходного представления и разложить его на неприводимые. В молекуле C2H6 треугольник из атомов водорода развернут относительно второго треугольника на 60◦.Найти кратности вырождения нормальных колебаний. [То же для NH3 и CH3F].6. Действие элемента группы на функциях. Снятие вырождения при понижениисимметрии в задачах о колебаниях круглой мембраны и об уровнях энергииквантовой системы. Прямое произведение представлений. Снимается ли вырождение колебаний круглой мембраны, если на ее края помещены четыре одинаковых груза в вершинах квадрата? Задачи 349, 350.7.

Примеры групп Ли, вычисление размерности. Различные параметризации.Генераторы, алгебры Ли. Восстановление группы Ли по ее алгебре с помощью экспоненциальной формулы. Задачи 329, 328 (в), (г), 315.8. Неприводимые представления группы SO(2) и их характеры.

Тензорныепредставления, разложение по неприводимым, инвариантные тензоры.Найти размерность пространства тензоров n- го ранга, разложить по неприводимым.Сколько независимых компонент имеет тензор третьего ранга, инвариантный относительно группы SO(2).9. Неприводимые представления групп O(2) и SO(3) и их характеры. ОператорКазимира в представлении на функциях. Задачи 316, 317(а), 333.10. Преобразование тензоров при вращении и инверсии. Разложение Клебша –Гордана.

Задача 334. Разложить D(1)� D(1) на неприводимые в группе SO(3). Выделить линейные комбинации компонент бесследового симметричного тензоравторого ранга, которые преобразуются при вращении как Y2,m.11. Симметризация тензоров и разложение симметричного тензора на неприводимые. Представления в пространстве полиномов. Задача 340(a),(б),(в).12. Количество независимых компонент инвариантного тензора.

Правила отбора. Сколько независимых компонент имеет тензор второго ранга, инвариантныйотносительно группы SO(3), D3 [T]? То же для симметричного тензора. Найти правила отбора для дипольного момента в группах SO(3), D3 [T].13. Связь групп SU(2) и SO(3). Оператор Казимира и неприводимые представ��⃗ = � ⃗ задаетсяления. Задача 317 (б), 318. Линейное преобразование вектора ⃗: ′формулой ����⃗′ ⃗� = exp(−�⃗⃗/2)(⃗⃗)exp(+�⃗⃗/2).

Найти матрицу R̂343].[341-14. Построение функции Грина для одномерных краевых задач. Фундаментальное решение. Скачок производной. Задачи 219, 220, 199, 224 (а), 225 (а),(б), 227.15. Функция Грина для оператора Штурма-Лиувилля. Нулевые моды и обобщенная функция Грина. Принцип взаимности. Задачи 228 (а), (б).16. Функция Грина уравнений Пуассона и Гельмгольца.Задачи Дирихле и Неймана. Характер особенностей в двумерном и трехмерном случаях. ФункцияГрина второго рода. Интеграл Пуассона.

Метод изображений и метод конформных преобразований. Задачи 230, 231, 232, [233], 204, 236,17. Функция Грина уравнений теплопроводности и Фоккера–Планка. Преобразования Фурье по координатам и времени. Задачи 238, 207 (а), 240, 241, 242 сx3, [208].18. Функция Грина уравнения Шрёдингера. Правило обхода полюсов.Запаздывающая функция Грина волнового уравнения. Формула Кирхгофа.[Пропагатор уравнения Клейна – Гордона – Фока.] Задачи 207 (б), 246, 209-212[213].Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели.Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.ЗАДАНИЯЗАДАНИЕ № 1(сдать до 25 марта)1. Определить порядок и число классов сопряженных элементов в группе вращенийтетраэдра T.

Найти инвариантную подгруппу H и фактор-группу T/H. Построитьтаблицу неприводимых характеров.2. В квантовой механике можно обозначить спиновую волновую функцию электронакак α, если спин направлен «вверх» или β, когда спин направлен «вниз». Состояния α и β ортогональны. Для системы из трех электронов можно сформироватьволновые функции вида α(1)α(2)α(3), α(1)α(2)β(3) и т.д., всего 8 волновых функций.Эти волновые функции преобразуются друг через друга под действием элементовгруппы подстановок P3. Разложить данное представление на неприводимые.3. Построить таблицу неприводимых характеров полной группы тетраэдра Td. Четыреодинаковых грузика соединены попарно одинаковыми пружинами так, что в равновесии находятся в вершинах правильного тетраэдра. Найти кратности вырождения нормальных колебаний системы.