1612725512-bef439519923449298573107f5123b54 (2016 - Программа курса)

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ(5 семестр)профессор Давид Абрамович Шапиро1.УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА1. Метод характеристик для линейных и квазилинейных уравнений с частнымипроизводными. Задача Коши. Образование разрывов.2. Понятие характеристик для систем линейных и квазилинейных уравнений сдвумя переменными. Классификация по типам: гиперболические, эллиптические, параболические системы.3. Приведение гиперболической системы к каноническому виду. ИнвариантыРимана, простая волна Римана.4.

Метод годографа для уравнений газовой динамики. Точные решения дляполитропного газа.2.УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА1. Волновое уравнение. Вывод из уравнений Максвелла и газодинамики. Решение одномерного волнового уравнения, формула Даламбера.2. Приведение гиперболического, эллиптического и параболического уравнения с двумя переменными к каноническому виду.3. Приведение многомерных уравнений второго порядка к каноническому виду.

Характеристики гиперболического уравнения и их физический смысл.4. Понятие автомодельности. Автомодельные подстановки для уравнений теплопроводности. Бегущие волны.5. Разделение переменных. Метод Фурье.СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1. Разделение переменных в задаче круглой мембране. Функции Бесселя.2.

Разделение переменных в уравнении Шрёдингера для частицы в центрально-симметричном поле. Присоединенные функции Лежандра. Сферическиегармоники. Функции Бесселя с полуцелым индексом.3. Решение дифференциального уравнения второго порядка вблизи обыкновенной точки и регулярной особой точки. Характеристические показатели.4. Функция Гаусса и вырожденная гипергеометрическая функция.5. Уравнение Шрёдингера для осциллятора и атома водорода. Полиномы Эрмита и Лагерра.АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ1. Асимптотика интегралов Интеграл Лапласа.а) Случаи стационарной точки на границе и внутри отрезка интегрирования.

Асимптотика Γ– функции Эйлера.б) Метод стационарной фазы. Асимптотика функции Бесселя.в) Метод перевала. Асимптотика функций Лежандра и Эйри.2. Метод усреднения. Асимптотика усредненного решения дифференциального уравнения.Литература1.

В. Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука,1984.2. С. К. Годунов. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.3. И.В. Колоколов и др. Задачи по математическим методам физики. УРСС, 2002.4. Е.В. Подивилов и др. Рабочая тетрадь по математическим методам физики, Новосибирск: НГУ, 2012.5. Л. Д. Ландау, Е.

М. Лифшиц. Квантовая механика; Гидродинамика.6. Дж. Мэтьюз, Д. Уокер. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972.7. Ф. Олвер. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.Дополнительная литература8. В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978. — § 7; Обыкновенные дифференциальные уравнения. —Изд. 3e.

М.: Наука, 1984. — § 11.9. А. Найфэ. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.10. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. М.: Мир, Т.1 —1982.11. Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976. — Гл.VII.Примерная программа семинаровдоцент Евгений Вадимович Подивилов1. Собственные значения. Функции от матриц. Резольвента. Задачи 14, 2, 5, 20.Решить задачу 20 с помощью собственных значений.2.

Унитарные и эрмитовы матрицы, проекторы. Матрицы Паули.Задачи 1, 4, 8. Вывести формулу =σ iσ j ieijkσ k + δ ij . Показать, что для всякой матрицы 12x2 коэффициенты разложения A= a0σ 0 + a ⋅ σ даются формулой aa = Tr ( Aσ a )2(σ0 – единичная матрица). Найти общий вид проектора 2x2. Решить задачу 20 с помощью раздожения по матрицам Паули.3. Свойства δ-функции. Ортогонализация. Полнота системы функций. Проверкасамосопряженности дифференциальных операторов.

Задачи 21 а,б, 24, 27 а,б,30. Показать, что оператор –d2/dx2+U(x) самосопряжен на отрезке [0,1], если функции удовлетворяют граничным условиям: u(0)=u(1)=0; u'(0)=u'(1)=0, линейной комбинации этих двух, или периодическим u(0)=u(1), u'(0)=u'(1).4. Линейные уравнения первого порядка. Характеристики. Условие разрешимости задачи Коши. Задачи 36 а,б, 37, 38, 42.5. Квазилинейные уравнения.

Опрокидывание. Задача 43. Найти точку опрокидывания уравнения Хопфа для начального условия u(x,0)=1-th(x) . Найти закон расширения области неоднозначности. Найти точку опрокидывания неоднородногоуравнения Хопфа ut+uux=1. [+ 45a].6. Системы линейных уравнений. Приведение к каноническому виду. Задачи 48,47 а,б. Пример системы квазилинейных уравнений, задача 53.7. Инварианты Римана и характеристики в случае двух переменных. Задача ополитропном газе.

Задачи 49, 50, 51, 52 [+58].8. Характеристические переменные. Области эллиптичности и гиперболичности. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Исключение первых производных. Задачи 59 а,б,в, 60 а. Исключить первую производную в уравнениях u xx − u yy + u x + u y = 0 ; ( x − y )u xy − u x + u y = 0 .9. Поиск автомодельной подстановки с помощью масштабных преобразований.Автомодельные решения линейного и нелинейного уравнения теплопроводности. Решения нелинейных уравнений типа бегущей волны. Солитоны.Задача 98. Найти автомодельное решение задачи ut=uxx, u(x,0)=x3, u(0,t)=0.

Задача100 при n=2. Задачи 102, 103, 110 [+108,111].10. Решение волнового уравнения, уравнений теплопроводности и Лапласаметодом Фурье. Задачи 68, 71, 72, 73, 75,79. [+76,78].11. Разделение переменных уравнения Шредингера в ортогональных системахкоординат.

Разделить переменные стационарного уравнения Шредингера в сферических координатах. Задачи 88 в, г.12-13. Сферические гармоники. Полиномы Лежандра, Лагерра и Эрмита: разложение, рекуррентные соотношения, производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности. Задачи 127, 128, 130, 157,158, 137, 159. Получить формулу Родрига для полиномов Лагерра из интегральногопредставления14-15. Основные свойства функции Бесселя: разложение, рекуррентные соотношения, производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности. Задачи 161, 162, 139, 142, 143, 144, [+147, 148].16.

Характеристические показатели в особых точках. Определяющее уравнение. Гипергеометрические функции. Выразить ln(1+z)/z и (1-z)n через гипергеометрическую функцию. Задачи 120, 152, 153. Выразить функцию Эйри через вырожденную гипергеометрическую функцию. [Решить уравнение Шредингера дляатома водорода в параболических координатах].17. Асимптотика интеграла Лапласа. Задачи 177, 163, 180, 181, 182.

Найти асимптотику интеграла∞∫ dt exp  −t02−a, a → ∞ .t2 18. Метод стационарной фазы. Задачи 173, 185, 186, 187.19. Метод перевала. Седловые точки, рельеф функции, линии Стокса. Асимптотика функции Эйри. Задачи 190, 189, 191, 165, 185 (методом перевала).20. Асимптотики функции Бесселя и Лежандра. Метод перевала для подынтегральной функции с полюсами. Найти асимптотику функции Бесселя с произвольным индексом, пользуясь представлением Шлефлиz1t− 12  t  −ν −1t dt , |z|→∞.

Задачи 194, 193.Jν ( z ) =e2π i ∫γ21. Метод усреднения. Преобразование Боголюбова – Крылова. Задачи167, 169, 170, 195, 196, 171, 197, 168 [+198].Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели.Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.ЗАДАНИЯЗАДАНИЕ № 1(сдать до 25 октября)1. Найти , = 1 −1��2 −1 1тремя способами: разложением в ряд, приведением к диагональному виду и с помощью резольвенты.2. Найти решение кинетического уравнения1+ � + [ ]�=0в скрещенных электрическом и магнитном полях E⋅H=0. Как выглядятхарактеристики?3. Решить задачу Коши для нелинейного уравнения Шредингера в оптическом волокне с запаздывающей нелинейностью+ ||2 = ||2, (0, ) = (1 + 2 /2 )−1 ,где A(z,t) – комплексная функция двух действительных переменных, a - действительный параметр.

Найти точку опрокидывания.4. Определить тип уравнения� − � − 2 − = 0,привести к каноническому виду и решить задачу Коши (0, ) = ℎ−1 , (0, ) =0. Исследовать разрешимость.ЗАДАНИЕ № 2(сдать до 25 ноября)5. Найти семейство преобразований симметрии, свести к обыкновенному дифференциальному уравнению и найти точное решение нелинейного уравнения 2 2 += . 2 26. Решить уравнение теплопроводности = ∆в бесконечном цилиндре радиуса R, если на границе цилиндра температура осциллирует как u(t)=T0 sin ωt.

Исследовать распределение температуры по радиусу приω>>χ /R2.7. Найти собственные частоты ω колебаний шара радиуса R с граничным условием1 2 −Δ=0,��=0с2 2 =в пределе ωR/c>>1.8. Показать, что уравнение Шрёдингера для двумерного «атома водорода» в электрическом поле 1ψ− Δ2 ψ −+ ψ = ψ2� 2 + y 2допускает разделение переменных в параболических координат = , = 2 − 22.Найти уровни энергии E и волновые функции ψ связанных состояний при = 0.Сравнить с ответом в полярных координатах.ЗАДАНИЕ № 3 (сдать до 25 декабря)9. Найти решение ψ(x,t) уравнения Шрёдингераi∂ψ 2 ∂ 2ψ=−+ mgxψ∂t2m ∂x 2с начальным условием ψ(x,0)=A exp(-|x|/a).