Раздаточный материал и конспект лекции по комплексированию измерителей

12345Оптимальные комплексированные системыФильтр ВинераНаблюдается процесс y(t), зависящий от фильтруемого (информационного) процессаθ(t). Эта зависимость задается взаимной корреляционной функцией информационного инаблюдаемого процессов Rθy(t1,t2). Известна также автокорреляционная функциянаблюдаемого процесса Ry(t1,t2). Процессы θ(t) и y(t) в общем случае могут бытьнегауссовскими.Необходимо синтезировать оптимальный по критерию минимума СКОt2⎛ (t ) ⎤ → min ⎞ линейный фильтр получения оценки θ (t ) : θ (t ) = g (t , τ) y (τ)d τ ,⎡θ(t)−θ⎜⎣⎟∫0 опт⎦⎝⎠где gопт(t,τ) – импульсная характеристика оптимального фильтра.

Как показано Н.Винером,gопт(t,τ) может быть найдена из интегрального уравнения (уравнения Винера)tRθy (t , ν) = ∫ g опт (t , τ) R(τ, ν)d τ, ν ∈ [ 0, t ] .0Если процессы y(t) и θ(t) стационарны и стационарно связаны, то корреляционные функцииRy(t1,t2) и Rθy(t1,t2) зависят только от разности τ = t1– t2.

Импульсная характеристикаоптимального фильтра в этом случае находится из уравнения Винера-ХопфаtRθy (τ) = ∫ g опт (t ) Ry (τ − t )dt , .0Решение уравнения Винера-Хопфа возможно для процессов, спектральная плотностькоторых G(ω) является дробно-рациональной относительно ω2, и для случая векторныхпроцессов y(t) и θ(t), что характерно для комплексированных систем, представляет труднуюзадачу.Фильтр Калмана непрерывного процессаНаблюдается векторный процесс y(t) = H(t)θ(t) + n(t), где n(t) – белый гауссовский шум(ошибки измерений), H(t) – матрица преобразования θ(t) в наблюдения. Фильтруемый(информационный) векторный случайный процесс θ(t) описывается линейнымдифференциальным уравнениемdθ(t )= Φ(t )θ(t ) + B(t )u(t ) + Γ(t )ξ (t ), θ(0) = θ0 ,dtГде Φ(t) – матрица функций, определяющая корреляционные свойства информационногопроцесса (изенение параметров системы во времени), B(t) – матрица весовых функций,определяющих влияние детерминированного векторного процесса u(t) на поведениесистемы, Γ(t) – аналогичная матрица, определяющая влияние компонентов векторногобелого шума ξ(t) – случайную составляющую информационного процесса.Оптимальный фильтр Калмана, также минимизирующий СКО, при этих условияхописывается уравнениемd θ (t )= Φ(t )θ (t ) + B(t )u(t ) + K (t ) ⎡ y (t ) − H (t )θ (t ) ⎤ , θ (0) = θ0 , где⎣⎦dtK (t ) = R θ (t )H T (t )N −n1 - матричный коэффициент усиления,Rθ(t) – матрица дисперсий ошибок фильтрации, которую можно найти из матричногоуравнения РиккатиdR θ= Φ(t )R θ + R θTΦ(t ) − R θ H T (t )N −n1H(t )R θT + Γ(t )Sξ Γ T (t ), R θ (0) = R θ 0 ,dtгде Nn и Sξ - корреляционные матрицы ошибок измерения n(t) и порождающего шума ξ(t)6соответственно.Фильтр Калмана непрерывного процессаФильтр Калмана дискретного процессаУравнения фильтра Калмана дискретного векторного процесса*1.

θ k = Φθ k −12. Ψ*k = ΦΨ k −1ΦT– уравнение экстраполяции оценки– корреляционная матрица ошибок экстраполяции3. Ψ −k 1 = Ψ*k−−11 + H T R −1H– корреляционная матрица ошибок оценивания4. K k = Ψ k H T R −1– матричный коэффициент усиления фильтра Калмана5. θ k = θ k + K k ⎛⎜ y k − Hθ k ⎞⎟ – основное уравнение фильтрации⎝⎠**7Раздаточный материал по теме «Комплексирование измерителей»8Ошибки измерения скорости9.