Методы оптимизации в экономике, страница 4

Предполагая, что каждый может быть использован только на одной работе и каждая работа может выполняться только одним механизмом, определить закрепление механизмов за работами, обеспечивающее максимальную производительность, Исходные данные: а)п=З, СИ вЂ” — 2, С~2=3 С~э-Сзз-6 Си — 2 С2 — 2Сц 1 — 1 3 Сзу = 1;,2ь1 б)п = З,С = ЗС,С = 2С, С = Сз (по отношению к варианту: а),~ =1,3 =1,3. 3. Министерству необходимо составить план развития каждого из 1 ш предприятий, выпускающих однородную продукцию. Число возмож- 1 24 1 ных вариан*ов развития 3 -го предприятия различно и ра~~о л;.

Реализация ~ -го вар~а~~а развития 1 -го предпри~ти~, / = Х, ~; требует капитальных затрат, равных К и обеспечивает выпуск продукции и объеме 0 единиц. 11рй этом экояомическни эч~фект от капйгальных вложений на развитие ~ -го предприятия по ~ -му варианту равен С;;, Учитывая, что необходимо выпустить продукции в количестве В единиц, а общая величина капиталовложений ограничена и равна к, составить такой план развития предприятий, при котором экономический эффект от реализации выбранных вариантов развития предприятий является максимальным. Исходные данные: а) т=3,л~ — — 2,пз — — З,пз=2, ' 1;~,Ь;~,С;.,В,й задаются дополнительно; б) А=3,п =З,п =2,п =1, 1;~,Ь;~,С;~,В,1 задаются дополнительно; 4, В аэропорту для перевозки пассажиров по и маршрутам может быть использовано т типов самолетов.

Вместимость самолета ~ -го типа равна а; человек, а количество пассажиров, перевозимых по у -му маршруту за сезон, составляет Ь; человек. затраты, связанные с использованием самолета г-го типа на у-м маршруте, составляют С; рублей. Определить, сколько самолетов данного типа и на каждом из маршрутов следует использовать, чтобы удовлетворять потребности в перевозках при наименьших общих затратах.

5. Имеется и городов, расстояние между ~ -м и ~ -м городом равно С; . Найти маршрут, имеющий минимальную длину, начинающийся и оканчивающийся в одном и тот же городе и включающий по одному разу все остальные города. б. Производится раскрой т различных партий материалов, причем каждая из партий состоит из Ь; единиц материала, имеющего одинаковую форму и размер (например, металлические пластины). Из материалов всех партий требуется выкроить максимальное количество деталей, в каждую из которых входит Ы, у = Т, л, деталей у'-го вида, если при раскрое единицы материала г -й партии по lг-му варианту, 1 = Г,Х, получается а;~ деталей у -го вида.

7.На трех авиалиниях имеется 3 типа самолетов в количестве соответственно л1, из, пз. Месячный объем перевозок ~ -го типа самолета на ~ -й авиалинии составляют Ь; единиц груза. Надо распределить 18 20 15 Й с;.~~ = 22 20 16 , а1 = 15 17 20 1 д' 1 с 3Фъ 1 АУХФ~О 20 20 25 10 15 20 600, п2 = 700, аз = 500; б)п1 = ЗО, п2 = 40, пз = 50, а1 800 о2 700, аз = 900, 11Ь; 11, 11с; 11, а; аналогичны случаю а) .

8. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из четырех видов изделий. Затраты ресурсов на изготовление 1-го изделия соответственно составляют А; ( кг), В; ( кг), С; (станко-час), а прибыль, получаемая предприятием, Р;. Запасы ресурсов ограничены и составляют Х11, П2, 172 . Производственные издержки на одно изделие 1-го вида 5; руб, обп1ая сумма не должна превышать 5 руб. Сколько изделий каждого вида надо выпустить, чтобы прибыль была максимальной, если изделий перво~о вида надо выпустить не более и, второго — не менее и, а 3-го и 4-го в отношении 1:27 Исходные данные: А = ( 3, 5, 2, 4 ), В = ( 22, 14, 18, 30 ), С = ( 10, 14, 8, 16 ), Д1 = 60, Д2 = 130„Р1 —— ЗО, Р2 — — 56, Рз — — !8, 51 — — 6,. 5 = 9.

Яз — — 12. 54 3 5 96,п1 5 п2 1 9. С вокзала можно отправлять ежедневно пассажирские, скорые и курьерские поезда. Известно, что в пассажирском поезде имеется 2 1 мягких вагона, 5 купейных, 8 плацкартных, 2 почтовых„З багажных. Аналогично в скором поезде эти соотношения составляют 2, б, 7, 2, 1 вагонов, а в курьерском соответственно 3, 5, 5, 1 (багажных вагонов нет). Плацкартный вагон вме1цает 60 пассажиров, купейный — 45, мяг- ~ кий — 40. Вокзал располагает багажными, почтовыми, плацкартными, купейными и мягкими вагонами. Требуется выбрать такое соотношение 1 между числом курьерских, скорых и пассажирских поездов, чтобы чис- . ло перевозимых ежедневно пассажиров было максимально.

Исходные данные: а) а1 = 70, а2 — — 60, аз = 750, а4 = 250, а5 = 100; 1 26 б) й» = 80, й2 = 80, йз = 700, й4 --- 200, а5 = 150; 10. На самолете нужно перевезти груз, со~~~~щий из трех ~идо~ ящиков размерами 20х10х20,30х15х10,30х10х10, весом Р»,Р,,Рз. «~виоле и»ивет оа съаничения по тч лтзопо ч ьемно~ ти и габапитюл так что общая масса груза ограничена Р, а ограничения по длине, ширине, высоте сосгйияю'г ~~, О~Й, 'йй~ усл.ед. 11енность каждого ящика нзвсстна и составляет Д», Д2, Дз .

В каком количестве нужно взять ящики каждого вида, чтобы общая ценность перевозимого груза была максимальной? а) Р» — — 10, Р2 — — 20, Рз — — ЗО, Р = 500, Д» = 2, Д2 —— 3, Дз — — 5; б)Р» — — 20, Р = зо, з —— 4о, Р = боо, д» вЂ” — з, д2 —— 2, д 11.

Три предприятия выпускают комплекты продукции, состоящие из трех видов деталей. В комплект входит п» деталей первого вида, л2 деталей второго и пз деталей третьего вида В единицу времени 1 -е предприятие выпускает т;. деталей » -го вида. Для производства деталей нужны ингредиенты четырех наименований, запас которых ограничен величинами 500, 400, 450, 480. Известен расход 1 -го ингредиента на 1-и предприятии в единицу времени — Р; . Из данного запаса ингредиентов необходимо выпустить наиболь»пее количе' 'гво комплектов. Исходные данные: Г 20 15 101 а) г»1 = З,и2 = 4,пз — — 2, ~~т;. ~~ = 30 15 8 40 20 12 10 9 8 9 61 ~[Р; И= 8 8 8 8 5~, 18 15 10 15 8~ б) п» вЂ” — 8,»т2 = б„пз = 10, ~~ »п;.

Й, ~~ Р; 1~ (аналогичен случаю а). 12. Необходимо оптимальным образом распределить пз видов работ между т сотрудниками, если известно, что оценка 1-й работы, выполненная » -м сотрудником, составляет й; условных единиц. Предполагается, что все сотрудники должны быть обеспечены работой. 1. Ааулич И.Л. Математнчесиое программирование в примерах и задачах. -М., Высшаи шиол~ 1986.

2. Хорожиоаа ТИ., Ииоземцееа З.С. Прииладное математическое программирование дли инженеров-организаторов управлении производством. -М.: МАИ, 1988. По своему первоначальному замыслу теория игр была разработана ее создателями кзк математический аппарат, обслуживающий принятие Оптимальных решений в Области экономики. ~ю этом достаточнО четко говОрит название первой монографии пО теории нгр Д.Неймана и О.Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», вышедшей первым изданием в 1944 г. в Пристоне. Авторы имели в виду применение теории игр в условиях конкурентной экономики. Однако разработанная ими теория оказалась существенно шире. Рассмотрим простейшие конечные игры — матричные игры и методы их решения. 4.1. Матричные игры Матричная игра определяется как конечная игра двух лиц: Г = <Х,У,А(тх и)>, (4.1) где Х,У вЂ” множества смешанных стратегий соответственно для 1-го и 2-го игроков; А — матрица выигрышей (платежей) первого игрока.

Второй игрок проигрывает ровно столько, сколько выигрывает 1-й, поэтому игра (4.1) называется игрой с нулевой суммой. Решением такой игры является ситуация равновесия, определяе- мая вектором , х ~ Х, у е У, удовлетворяющим условию Рй П т и Ю В Х Ха;х1Ъ' < Х Ха;,х Уу < Х Ха;1х;*Ус, (4.2) 1=11=1 1=11=1 1=1 1=1 'Фхе Х, 'Фуя У пг1~ ~ г1 и гг 1~ Рл а и цена игры К = Х Х а; х; у 1=1 1 =1 Согласно теореме Неймана, всякая матричная игра имеет хотя бы,' одну ситуацию равновесия; определение (4.2) показывает, что ситуа-', ция определяет седловую точку функции выигрыша.

Матричная игра ~ Г = < Х, У, А(2х2) > имеет аналитическое решение. В самом деле, матрица выигрышей А имеет вид Принимая за х — первую стратегию и ( 1-х ) — вторую стратегию 1-го игрока, а Также за у — первую С~ратегию и (1 — у) — вторую стратегию 2-го и1"рока, получаем значения функции выигрыша: Н(х У) = [х 1 х 1А ~ 1 1 = ХУ (а11-а21-а12+агг)+ !" у 12- )+У( 2— Воспользовавп1ись свойством оптимальных Стратегий Н(х',у') шах Н(х,у') ш)п Н(х',у ) Х У и необходимыми условиями экстремума функций, получим агг а 21 х'- ( а11 а21 а12+ агг ) агг - а12 у*-, ( а11- "21 — а12+ агг ) 1'( А)— а11 агг — а21 а12 11 21 а12+ а22) Матричные игры размерности ( 2 х т ), ( п х 2) решаются графически с использованием формул (4.3)-(4.5) [1 21.