Типовое задание для самостоятельной работы

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ1. Решить задачу поиска безусловного экстремума функции:f ( X )  x 2  2 x  y  3 y 2  20 x  10 y  2  extr .Задание:а) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованиемнеобходимых и достаточных условий безусловного экстремума);б) сделать три итерации методом градиентного спуска из начальной точкиX 0  (1,  2)T в направлении экстремума;в) сделать две итерации методом наискорейшего градиентного спуска из начальнойточки X 0  (1,  2)T в направлении экстремума;г) сделать две итерации методом Гаусса−Зейделя из начальной точки X 0  (1,  2)Tв направлении экстремума;д) сделать две итерации методом сопряженных градиентов из начальной точки0X  (1,  2)T в направлении экстремума;е) сделать одну итерацию методом Ньютона из начальной точки X 0  (1,  2)T внаправлении экстремума.2. Решить задачу поиска условного экстремума при ограничении типа равенств:f ( X )  x12  2 x22  2 x1  6 x2  12  extrпри ограничении 2 x1  x2  1 .Задание: найти решение задачи:а) графически;б) использованием необходимых и достаточных условий условного экстремума;в) методом штрафных функций.3.

Решить задачу линейного программирования:f ( X ) = 4 x1 + x2  extr− x1 + x2  1,2 x1 + x2  4,x1 , x2  0 .Задание: найти решение задачи:а) графически;б) симплекс-методом.2564. Решить систему линейных алгебраических уравнений:2 x1x15 x110 x1+−−+3 x22 x23 x22 x2− 4 x3− 5 x3+ x3− x3+ x4+ x4− 4 x4+ 2 x4====2,−5,−1,13.Задание: найти решение системы:а) методом простых итераций (точность счета   0, 01 );б) методом Зейделя (точность счета   0, 01 ).5. Решить нелинейное алгебраическое уравнение:x3  11x 2  36 x  36  0 .Задание:а) отделить корни алгебраического уравнения;б) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке[a, b] (точность счета   0, 01 );в) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций наотрезке [a, b] (точность счета   0, 01 );г) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деления наотрезке [a, b] (точность счета   0, 03 ).6.

Дана сеточная функция, определенная таблицей:xy  f (x)112103241Задание:а) построить интерполяционный многочлен Лагранжа;б) построить интерполяционный многочлен Ньютона;в) аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядковнаименьших квадратов.257методом7. Дана сеточная функция, определенная таблицей:xy  f (x)112103241Задание:а) найти производные первого порядка, используя все двухточечные шаблоны вовнутренних точках интервала [ x0 , x3 ] ;б) найти производные первого порядка, используя все трехточечные шаблоны вовнутренних точках интервала [ x0 , x3 ] ;в) найти производные второго порядка, используя все трехточечные шаблоны вовнутренних точках интервала [ x0 , x3 ] ;x3г) вычислить интеграл f ( x)dx , используя формулу прямоугольников;x0x3д) вычислитьинтегралf ( x)dx ,используямодифицированнуюформулуx0прямоугольников;x3е) вычислить интегралf ( x)dx , используя формулу трапеций.x08.

Дана задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:y   y  tg x  cos x,y (0)  2.Задание: найти решение задачи Коши:а) аналитически;б) явным методом Эйлера на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбратьN  2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;в) методом предсказания и коррекции на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезкавыбрать N  2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одномчертеже;г) неявным методом Эйлера на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбратьN  2, 4, 5 .

Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;д) методом трапеций на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбрать N  2, 4, 5 .Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже.258МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮТИПОВОГО ЗАДАНИЯВ приведенной таблице указаны ссылки на теорию и алгоритмы решения задач,содержащихся в типовом задании. Рекомендуется сначала изучить материал лекции,обращая внимание на основные определения, постановки задач, принципы формированиячисленных методов. Далее необходимо проработать материал практического занятия, изучивалгоритм и пошаговое решение типового примера.Номера лекций изанятийНомер задания, темаЛекция 1,3,4Занятия 1,21.

Необходимые и достаточные условия безусловногоэкстремума. Численные методы первого и второгопорядкаЛекции 2,5Занятие 32 Необходимые и достаточные условия условногоэкстремума. Ограничения типа равенств.Численные методы поиска условного экстремумаЛекция 5Занятие 43. Задача линейного программированияЛекция 7Занятие 54. Итерационные методы решения систем линейныхалгебраических уравненийЛекция 9Занятие 55.

Итерационные методы решения нелинейныхуравненийЛекции 11, 12Занятие 66. Методы интерполяции и аппроксимации сеточныхфункцийЛекция 137. Методы численного дифференцирования иинтегрирования сеточных функцийЛекции 14Занятие 78. Численные методы решения обыкновенныхдифференциальных уравнений259.