1611689252-419f609127487bc58997494d5155888d (Эльсгольц Дифференциальные уравнения и варианционное исчисление)

Л.Э.ЭльсгольцДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕИСЧИСЛЕНИЕОГЛАВЛЕНИЕОт редакторов серииЧАСТЬ IДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯВведениеГлава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимисяпеременными§ 4. Линейные уравнения первого порядка§ 5. Уравнения в полных дифференциалах§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравненияdy/dx=f(x,y)§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительнопроизводной§ 9.

Теорема существования и единственности для дифференциальныхуравнений, не разрешенных относительно производной. ОсобыерешенияЗадачи к главе 1Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциальногоуравнения п-го порядка§ 2. Простейшие случаи понижения порядка§ 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами иуравнения Эйлера§ 5.

Линейные неоднородные уравнения§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентамии уравнения Эйлера§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейныхколебаний§ 9. Понятие о краевых задачахЗадачи к главе 2Глава 3. Системы дифференциальных уравнений§ 1. Общие понятия§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путемсведения к одному уравнению более высокого порядка889151519242732396168758285858793107113124137147159165168168171§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами§ 6.

Приближенные методы интегрирования систем дифференциальныхуравнений и уравнений n-го порядкаЗадачи к главе 3Глава 4. Теория устойчивости§ 1. Основные понятия§ 2. Простейшие типы точек покоя§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корнеймногочлена§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущенияхЗадачи к главе 4Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка§ 1.

Основные понятия§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производныхпервого порядка§ 3. Уравнения Пфаффа§ 4. Нелинейные уравнения первого порядкаЗадачи к главе 5ЧАСТЬ IIВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВведениеГлава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами§ 1. Вариация и ее свойства§ 2.

Уравнение Эйлераx1§ 3. Функционалы вида∫ F ( x, y , y ,..., y , y' , y'12n12,..., y 'n )dx178181192199201203203206215221227230234238241241243255260278280284284292305x0§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимыхпеременных§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме§ 7. Некоторые приложенияЗадачи к главе 6Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторыедругие задачи§ 1. Простейшая задача с подвижными границами§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида308312317320324327327334x1∫ F ( x, y, z, y ' , z' )dxx0§ 3.

Экстремали с угловыми точками338§ 4. Односторонние вариации346Задача к главе 7349Глава 8. Достаточные условия экстремума351§ 1. Поле экстремалей351§ 2. Функция E(x, y, p, y')357§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду368Задачи к главе 8373Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум375375§ 1. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn)=0382§ 2. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn, y'1ь y'2,..., y'n)=0§ 3.

Изопериметрические задачи385Задачи к главе 9393Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах394§ 1. Прямые методы394§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера395§ 3. Метод Ритца397§ 4. Метод Канторовича406Задачи к главе 10412Ответы и указания к задачам414Рекомендуемая литература421Предметный указатель422ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ327—350Асимптотически устойчивое решениеВариационное исчисление 281204— —, основная лемма 295Бернулли уравнение 30Вариационный принцип 281, 320Бесселя уравнение 139Вариация 284, 288, 289, 309, 313— функции 141—143Вейерштрасса функция 359Бигармоническое уравнение 317Векторная линия 245Близость кривых 285, 286Брахистохрона 281, 304, 332, 364— поверхность 244Взаимности принцип 388Вариации постоянной метод 28Влияния функция 123, 161 — 165Вариационная задача 281Вронского определитель 97, 185— — в параметрической формеГалеркина метод 410317—320Гамильтона — Якоби уравнение 370— — на условный экстремум 375—Гамма-функция 140393Геодезическая линия 282, 381— —, прямые методы решения 394—Голономные связи 382413Граничная задача 13, 159— — с подвижными границамиГрина функция 161 — 165Гурвица теорема 227Дикритический узел 211Динамическая система 170Дирихле задача 315Дифференциальное уравнение 9— — Бернулли 30— — Бесселя 139— — в полных дифференциалах 32Дифференциальное уравнение вчастных производных 10— — — — — первого порядка 241—279— — высшего порядка 85—167— —, интеграл 20— —интегрирование 10— —,— с помощью рядов 137—146— — Клеро 73— — Лагранжа 73— — линейное высшего порядка93—106, 113—124———неоднородноеспостоянными коэффициентами124—136— — — однородное с постояннымикоэффициентами 107—110— — — первого порядка 27— — —, фундаментальная системарешений 100— —, не решенное относительнопроизводной 68— —, общее решение 15, 86— —, общий интеграл 20, 32— — обыкновенное 10— — однородное 25— —, операторный метод решения129—136— —, особое решение 57, 78— —, периодические решения 143—146— —, порядок 10— — Пфаффа 255— —, решение 10, 169— — Риккати 31— — с разделенными переменными19——сразделяющимисяпеременными 21— —, теорема существования иединственности решения 39—61, 75— 82, 85—87— — Эйлера 110—113, 136Изоклины 17Изопериметрическая задача 282, 317,385Изопериметрические условия 282,386Интегралдифференциальногоуравнения 20— первый 89, 179— полный 261Интегральная кривая 16, 169— — особая 78—- поверхность 261, 268Интегрируемая комбинация 178Интегрирующий множитель 35Канторовича метод 406—412Квазилинейное уравнение в частныхпроизводных 243Клеро уравнение 73Ковалевской теорема 242Коши задача 13— метод 121, 268Краевая задача 13, 159Лагранжа уравнение 73Лагранжа — Шарли метод 264Лагранжиан 324Лапласа уравнение 315Лежандра условие 362Линейная зависимость 96, 185—системадифференциальныхуравнений 181—192— — — — с постояннымикоэффициентами 192—199Линейноедифференциальноеуравнение 27— — — в частных производныхнеоднородное 243— — — — — — однородное 243— — — высших порядков 93—106,113—124———спостояннымикоэффициентами107—110,124—136— — —, фундаментальная системарешений 100Линейныйдифференциальныйоператор 94—183— функционал 287Липшица условие 40Ляпунова второй метод 215— теорема 215, 217— функция 215Максимум функционала 289— — сильный 290— — слабый 290— — строгий 289Малкина теорема 235Малого параметра метод 147—158Метрическое пространство 48Минимум функционала 289Минимум функционала сильный 290— — слабый 290Наклон поля 351Наложения принцип 114, 189Начальная задача 13Неголономные связи 382Непрерывный функционал 285, 286Неустойчивое решение 204Неустойчивый предельный цикл 226— узел 208, 211— фокус 209Общее решение дифференциальногоуравнения 15, 86Общий интеграл дифференциальногоуравнения 20Обыкновенноедифференциальноеуравнение 10Огибающая 74Операторлинейныйдифференциальный 94, 183Операторныйметодрешениядифференциальных уравнений129—136— многочлен 129Определитель Вронского 97, 185Оптимальная функция 391Оптимальное управление 391Особая интегральная кривая 78— точка 57Особое решение дифференциальногоуравнения 57, 78Остроградского уравнение 314Остроградского—Гамильтонапринцип 320Остроградского—Лиувилляформула 106Первогоприближениясистемауравнений 221Первый интеграл 89, 179Периодическиерешениядифференциального уравнения143—146Периодичности условия 157Плотность функции Лагранжа 324Покоя точка 171, 205Поле собственное 351— центральное 351— экстремалей 352Полная интегрируемость уравненияПфаффа 256Полное пространство 48Полный интеграл 261Полуустойчивый предельный цикл226Порядокдифференциальногоуравнения 10Последовательныхприближенийметод 199Предельный цикл 23, 226— — неустойчивый 226— — полуустойчивый 226— — устойчивый 226Пространство метрическое 48— полное 48— равномерной сходимости 50— фазовое 12, 170Прямые методы в вариационномисчислении 394—413Пуассона уравнение 315Пфаффа уравнение 255Равномерной сходимостипространство 50Расстояние 48Резонанс 145, 152Риккати уравнение 31Ритца метод 397—406Рунге метод 64, 201Связи голономные 382— неголономные 382Связный экстремум 282Седло 59, 208Сжатых отображений принцип 48Сильный экстремум 290, 360Системы дифференциальныхуравнений 168—202— линейных дифференциальныхуравнений 181—192— — — — с постояннымикоэффициентами 192—199Слабый экстремум 290, 359, 360Собственное поле 351Специальные решения 253Стационарного действия принцип320Строгий экстремум 290Суперпозиции принцип 114, 189Трансверсальности условие 331, 336Узел 58— дикритический 211— неустойчивый 208, 211—- устойчивый 207, 211Управление оптимальное 391Управляющая функция 391Уравнения в частных производных10— — — — первого порядка 241 —279Уравнивание 61Условный экстремум 282, 375—393Устойчивое' решение (по Ляпунову)204— — по отношению к постояннодействующим возмущениям236Устойчивый предельный цикл 222— узел 207, 211— фокус 209Фазовая траектория 170Фазовое пространство 12, 170Фокус 59— неустойчивый 209— устойчивый 209Фундаментальная система решений100Функционал 280, 284— линейный 287— непрерывный 285, 286Характеристик метод 268Характеристики 245, 248, 254, 268,269, 273Характеристическая полоса 269, 273Характеристическое уравнение 107,194Центр 59, 210Центральное поле 351Цикл предельный 23, 226Четаева теорема 218Штермера метод 62, 200Эйлера дифференциальное уравнение110—113, 136— конечно-разностный метод 395—397— ломаная 13, 40— метод 39, 61, 199— уравнение (в вариационномисчислении) 297, 306, 368, 377Эйлера — Пуассона уравнение 310Экстремаль 297, 310Экстремум связаный 282— условный 282, 375—393— функционала 290— — сильный 290, 360— — слабый 290, 359, 360Якоби первый метод 277— уравнение 356— условие 355.