1611676862-ba1845e0f8d4e98efc1ab758d3d58ed3 (Пространство Rn)

Пространство RnОпр. Множество всех упорядоченных наборов x = (x1 , ..., xn ), где xi ∈ R, i = 1, n, называютn-мерным координатным пространством и обозначают через Rn , т.е. Rn = R... × R} .| × {znВ евклидовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского |(x, y)| ≤ ||x|| · ||y||.Пространство Rn является евклидовым пространством со скалярным произведением (x, y) =n√∑xi yi и евклидовой нормой ||x|| = (x, x).i=1Открытые и замкнутые множества в Rn .Опр.

Открытым шаром в пространстве Rn радиуса ε с центром в точке a называют множествоBε (a) = {x ∈ Rn | ||x − a|| < ε}. Замкнутым шаром в пространстве Rn радиуса ε с центром вточке a называют множество Bε (a) = {x ∈ Rn | ||x − a|| ≤ ε}.Опр. Точка a ∈ Rn называется внутренней точкой множества A ⊂ Rn , если существует такоеε > 0, что Bε (a) ⊂ A. Множество всех внутренних точек множества A называется внутренностью множества A и обозначается через A◦ .Опр. Точка a ∈ Rn называется внешней точкой множества A ⊂ Rn , если существует такоеε > 0, что Bε (a) ∩ A = ∅. Множество всех внешних точек множества A называется внешностьюмножества A.Опр.

Точка a ∈ Rn называется граничной точкой множества A ⊂ Rn , если не является нивнешней, ни внутренней точкой множества A. Множество всех граничных точек множества Aназывается границей множества A и обозначается через ∂A.Опр. Множество A ⊂ Rn называется открытым, если A = A◦ ; замкнутым, если Rn \ A открыто.Опр. Окрестностью точки (множества) в Rn называется любое открытое множество, содержащее эту точку (это множество). ε-окрестностью множества A ⊂ Rn называется множество∪Bε (x).Uε (A) =x∈AТеорема. Объединение произвольного семейства (пересечение конечного числа) открытых множеств открыто.

Пересечение произвольного семейства (объединение конечного числа) замкнутых множеств замкнутых.Опр. Точка a ∈ Rn называется граничной точкой множества A ⊂ Rn , если не является нивнешней, ни внутренней точкой множества A. Множество всех граничных точек множества Aназывается границей множества A и обозначается через ∂A.Теорема.

Граница множества является замкнутым множеством.Теорема. Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда A ⊃ ∂A.∪Опр. Замыканием множества A называют множество A = A ∂A.Опр. Точка a ∈ Rn называется предельной точкой множества A ⊂ Rn , если ε > 0 шар Bε (a)содержит хотя бы одну точку из A, отличную от a.Теорема.

Пусть a ̸∈ A. Тогда a - предельная точка A ⇔ a ∈ ∂A.Теорема. Множество A замкнуто ⇔ A содержит все свои предельные точки.Компактные множества в Rn .Опр. Множество A ⊂ Rn называют ограниченным, если существует ε > 0, что шар Bε (0)содержащит множество A.Опр. Пусть I – произвольное множество. Семейство множеств {Aα ⊂ Rn , α ∈ I} называютпокрытием множества A ⊂ Rn , если A ⊂∪Aα .

При этом, если I - конечно, то покрытие назы-α∈Iвают конечным; если все элементы покрытия являются открытыми множествами, то покрытие∪e называютназывают открытым. Если Ie ⊂ I и A ⊂Aα , то семейство {Aα ⊂ Rn , α ∈ I}α∈Ieподпокрытием покрытия {Aα ⊂ R , α ∈ I}.nОпр. Множество A ⊂ Rn называют компактом в Rn , если из всякого открытого покрытиямножества A можно выбрать конечное подпокрытие.Теорема. (Гейне-Бореля) Множество A компактно ⇔ A замкнуто и ограничено.Предел последовательности в RnОпр.

Пусть дана последовательность {xk }k∈N ⊂ Rn . Элемент a ∈ Rn называют пределом последовательности xk и пишут lim xk = a, если ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀k ∈ N (k ≥ N ⇒ ||xk − a|| < ε).k→∞Если lim xk ∈ Rn , то говорят, что последовательность xk сходится, иначе расходится.k→∞Опр. Говорят, что последовательность {xk }k∈N имеет бесконечный предел и пишут lim xk = ∞,k→∞если ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀k ∈ N (k ≥ N ⇒ ||xk || > ε).Теорема. lim xk = a ⇐⇒ lim ||xk − a|| = 0 ⇐⇒ ∀i = 1, n lim xki = ai .k→∞k→∞k→∞Свойства.

1. Если последовательность xk сходится, то она ограничена и ее предел единственен.2. Если lim xk = a и lim xk = b, то lim (αxk + βy k ) = αa + βb, где α, β ∈ R.k→∞k→∞k→∞3. Если lim xk = a, то lim ||xk || = ||a||.k→∞k→∞4. Если lim xk = a и lim xk = b, то lim (xk , y k ) = (a, b).k→∞k→∞k→∞Теорема. (кр. Коши) lim xk ∈ Rn ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀k, m ∈ N (k, m ≥ N ⇒ ||xk − xm || < ε).k→∞Теорема. (Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности {xk }k∈N ⊂ Rn можноизвлечь сходящуюся подпоследовательность.Теорема. Если элементы сходящейся последовательности принадлежат замкнутому множествуA, то предел этой последовательности также принадлежит A.Теорема. Если элементы ограниченной последовательности принадлежат компакту A, то изнее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность предел которой также принадлежит A.Предел отображения многих переменных.Опр.

Пусть a ∈ Rn — предельная точка X ⊂ Rn и пусть дано отображение f : X → Rm .Элемент b ∈ Rm называют пределом отображения f в точке a и пишут lim f (x) = b, если∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ X (0 < ||x − a|| < δ ⇒ ||f (x) − b|| < ε).x→aОпр. Говорят, что в точке a отображение f имеет бесконечный предел и пишут lim f (x) = ∞,x→aесли ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ X (0 < ||x − a|| < δ ⇒ ||f (x)|| > ε).Опр. Элемент b ∈ Rm называют пределом отображения f на бесконечности и пишут lim f (x) =x→∞b, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ X (||x|| > δ ⇒ ||f (x) − b|| < ε).Опр. Говорят, что отображение f имеет бесконечный предел на бесконечности и пишут lim f (x) =x→∞∞, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ X (||x|| > δ ⇒ ||f (x)|| > ε).Теорема.(Гейне)lim f (x) = b (∞) ⇐⇒ ∀{xn } ⊂ X( lim xn = a (∞) ⇒ lim f (xn ) = b (∞)).n→∞x→a (∞)n→∞Теорема.

(о повторном пределе) Пусть a – предельная точка множества X ⊂ Rn , b – предельнаяточка множества Y ⊂ Rm и пусть для отображения f : X × Y → Rk существует (конечныйили бесконечный) пределlim(x,y)→(a,b)ϕ(y) = lim f (x, y). Тогда lim φ(y) =x→ay→bf (x, y), и для любого y ∈ Y существует (конечный) пределlim(x,y)→(a,b)f (x, y)..