Методичка к ДЗ 1 (Власов А.В. - Расчет силы выдавливания методом верхней оценки), страница 2

Закон дляскорости v определяем из условия постоянства объема:      z  0vvvv;  ; z  z   0 . zhТогдаv v vz0zпоследнюю формулу можно преобразовать к виду:v1 v   0  0 hИнтегрируя, получим:1vv   0  2  f  z  , при   0, v  0  f  z   02 hОкончательно:1v1vv  0  , тогда    0  2 h2 hПоскольку напряженное состояние осесимметричное, то скоростисдвиговых деформаций      z  0 .

Т.к. v  f    , а vz  f  z  , то  z  0 . Таким образом оси  , , z - главные. Интенсивность скоростейдеформаций в 1 зоне:v232    2     z 2     z 2   2z   z2   032hЗададимся в зоне 2 также линейным полем осевых скоростей.Граничным кинематическим условиям будет удовлетворять поле:r2zR2  r 2 hИз условия неразрывности       z  0 следует:vz 2  v0v1 r2v   0 0 h R2  r 2Интегрируя, получим:131 v0r2v   2  f z222 h R rДля нахождения произвольной постоянной необходимо использоватькинематические граничные условия либо на внешней, либо на внутреннейгранице зоны. Так при   R, v  0 :v0r2f  z   const R22h R 2  r 2Окончательно:v0r 2  R2v 2  2h R 2  r 2  Полученное поле удовлетворяет граничным условиям на внутреннейгранице зоны   r : vv0r 2  R2v 2 r   0 r  v 1 2h  r 2h R 2  r 2  r rv0r/(2h)v-v0 v0r2/(R2-r2)2h12vz1vz2Рис.

2. Поля скоростей в очаге пластической деформацииВ зоне 1:vz1  v0v 1 zh1 v02 hВ зоне 2:vz 2  v0r2zhR2  r 2vr 2  R2v 2  0 2h R 2  r 2  По прежнему      z  0 , v  f    , vz  f  z  и   z  0 .v z v0r2z   2zh R  r2vvr 2  R2      0  212h R  r 2   214v0r 2  R2    212 2 2hRrvA    2    z 2    z 2  32 2z   z2  2  23v0 r 2R433h R  rВерхнюю оценку удельной силы деформирования определяем изнеравенства верхней оценки:****** pi v0i dF   s   dV  k  vs df   p0i vi dFFv224V IIIfFs  p IIIIVВычислим последовательно интегралы, входящие в неравенство.I: Мощность неизвестных поверхностных сил на известных скоростях.В нашем случае задана скорость пуансона vo . Поверхностные силы внаправлении скорости пуансона – это удельные деформирующие силы q .r2 pi v0i dF    q   v0   2 d   qv0 rFvII:0Мощность пластической деформации:** s   dV   s   1dV1   2dV2  VVV2 1r vR vr2R 4  3 400  s   2 hd    2 hd   2240 h3hR rr2R R 4  3 4vr1220  s  v0 r d 23 R2  r 2 rОпределим интеграл с помощью замены  2  x15RrR 4  3 42d 2 R2R 2 2   3x2 dx r2  R4 x 3x 2R2  R4  R ln3x2 3x 2 R2 r 222443RRR3r24422 2 R  R  3r  R ln R ln22R3r332442442 R  R  3r  2 R  R  3r  R ln3r 2Окончательно мощность пластической деформации1R2 r4R 2  R 4  3r 4  **22  1  3 s   dV   s v0r 1  ln22423RrR3rVIII: Мощность сил трения сдвига на поверхностях разрыва скоростей.Согласно расчетной схеме существует четыре поверхности разрыва.Величины разрывов скоростей на поверхностях разрыва: граница a: разрыв в скоростях vz между зоной 1 и зоной 2:z r2zz  R2 vz 21  vz 2  vz1  v0 v0  v0 h R2  r 2hh  R 2  r 2  граница b: между зоной 2 и зоной 3 – разрыв в скоростях vv0r 2  R2v 23  v 2  v 3  2h R 2  r 2   граница c: между зоной 1 и зоной 4 – разрыв в скоростях vvv14  v1  v 4  0 2h между зоной 2 и зоной 4 – разрыв в скоростях v vr 2  R2v 24  v 2  v 4  0 2h R 2  r 2  С учетом полученных значений разрывов скоростей мощность силсдвига:16k  v**s df  k   v z12df   v  23df   v  24df   v 14dfffSfbfdfc aRvrvh vR2r 2  R200 k z  2 rdz  2     2 d    0   2 d   22 0 h R 2  r 2r 2h R  r  0 2hR3  r 3v0 R 2h 2 v0 r 22k2 r2 R  R  r  h R2  r 22h R 2  r 2 3   v0 r3  3h 33 h 1  2R2 2 R  r  r 3  R 2  r 2 r h  R  r 3 R 2  r 2  3h IV: Мощность известных внешних сил.Такими силами являются контактные силы трения  k   s s .Поскольку мы принимаем внешнее трение по закону Зибеля, то его можносчитать известной внешней силой.p0i   kВ общем случае s v0 r 2 R2dF   k vme sign vFp dF** p0i viFpFpДля определения мощности необходимо знать скорости движенияметалла на контактной поверхности vme и относительные скоростискольжения материала по инструменту v Fp  vme  vdie .

Очевидно, что принеподвижном инструменте v Fp  vme тогда** p0i viFpdF   k vme dFFp контакт между зоной 1 и пуансоном (пуансон не движется в направлениитечения металла по поверхности) скорость металла:vve  v 1  0  .2h контакт между зоной 2 и контейнером (по условию скорость контейнераравна скорости пуансона v1  v0 )r2z 0скорость металла v f  v z 2  v0R2  r 2 hскорость относительного скольжения r2r2zz v f  vme  vdie  v z 2  v0  v0  v0  v0   1 R2  r 2 h R2  r 2 h17для заданных размеров матрицы и пуансона v f  0 на всейповерхности f, следовательно sign v f  1С учетом скоростей скольжения (учитываем знак сил трения):** p0i viFpdF    ke v 1dF     kf v z 2  1dF FeFfrhvzr2    s s 0  2  d    s s v0  2R  dz 222hhR r00 rRh    s s v0r 2   3h R 2  r 2 Окончательно мощность известных внешних сил:Rh **2 r p0i vi dF   s s v0r  3h  2 2 R r FpЗаметим, что второй интеграл (мощность сил трения на контактезаготовки с контейнером) положителен, что свидетельствует, что эти силыявляются активными силами трения.Неравенство метода верхней оценки получает вид:1R 2 r4R 2  R 4  3r 4  22qv0 r   s v0 r 1 2  1 3 ln22423R r R3r 33  s v0 r 2  R 2 h 1  2 R 2 2 R  r  r 3  R 2  r 2 r h  R  r 3 R 2  r 2  3h Rh2 Rh   r    s s v0 r 2   3h R 2  r 2r 2 Проведя преобразования и приведя подобные члены, получим:q1R 2 r4R 2  R 4  3r 4 12  1 3 ln42s3 R2  r 2 R3rС 3Rr 2  2 R3  1  R2 1h 3 s   R2  r 2 3  R 2  r 2 rA331 1  2 R 2 2 R  rh 3  R  r 3 R 2  r 2   r 1   3 s 3B18Или окончательно, относительная величина удельной силыдеформирования, соответствующая кинематически возможному полюскоростей:Bqo** (h)  C  Ah hВ приведенных выше формулах неизвестна величина очагапластической деформации h .

Минимальная верхняя оценка достигается:qq  min при0hС учетом сделанных обозначений:q  BB  Ah    A 0h h hh2Отсюда: h илиBA22r R  r 3  3 4 R  Rr  r  3r  s  R  r  h3R3Rr  3 s 3r 2  2 R 2Подставив исходные данные получим :h  14.04 мм – высота очага пластической деформацииqo (h)  3.581 – относительная удельная силаq  qo   s  1406 МПа – удельная силаPд  635.9 кН – сила выдавливания на пуансоне20 qo15105010203040h, ммРис.

3. Изменение относительной удельной силыИзменение скорости движения матрицы на противоположное приведетк изменению только мощности сил на поверхности f:19 r2zz v f  vz 2  vzк  v0  v0  v0   1 R2  r 2 h R2  r 2 hr2 z r2v f dF     s s v0  1  2 Rdz  h R2  r 2 Ff0 r3 r 2 2 R h2   s s v0  2 Rh 22 3h R  r h 2В неравенстве верхней оценки изменится только коэффициент A:q1R 2 r4R 2  R 4  3r 4 12  1 3 ln42s3 R2  r 2 R3r  kfh С3 2 R  Rr 2  1  R2 1h 3 s   R2  r 2 3  R 2  r 2 rA331 1  2 R 2 2 R  rh 3  R  r 3 R 2  r 2   r 1   3 s 3BВысоту очага пластической деформации определяем из условияминимума полной мощности22r R  r 3  3 4 R  Rr  r  3r  s  R  r  h3R3Rr  3 s 2 R 2  r 2Подставив исходные данные получим :h  7.65 мм – высота очага пластической деформацииqo (h)  4.467 – относительная удельная силаq  qo   s  1767 МПа – удельная силаPд  808.4 кН – сила выдавливания на пуансонеЧисленная проверка решения приведена в приложении.В выводах необходимо сравнить два варианта решения, указать в какомиз них реализуются активные силы трения.20Приложение: численная проверка решенияПример 12122Литература1.

Власов А.В. Курс лекций «Теория обработки металлов давлением»2. Шестаков Н.А. Энергетические методы расчета процессов обработкидавлением: Учебное пособие. – М.:МГИУ, 1998.23.