Методичка к ДЗ 1 (Власов А.В. - Расчет силы выдавливания методом верхней оценки)

Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаКафедра «Технологии обработки давлением»Власов А.В.Расчет силы выдавливания методом верхней оценкиМетодические указания к выполнению домашнего заданияпо курсам «Методы расчета технологических операций обработкидавлением»в 9 семестре для студентов направления 15.05.01и«Методы анализа пластических деформаций»в 1 семестре для магистрантов направления 15.04.01Москва 2017 г.СодержаниеОсновные положения метода верхней оценки ................................................. 3Содержание задания ............................................................................................ 6Схемы вариантов заданий ...................................................................................

7Примеры выполнения ........................................................................................ 11Пример 1 ........................................................................................................................................................... 11Пример 2 ................................................................................................. Ошибка! Закладка не определена.Приложение: численная проверка решения.................................................... 21Пример 1 ........................................................................................................................................................... 21Пример 2 ................................................................................................. Ошибка! Закладка не определена.Литература ..........................................................................................................

232Основные положения метода верхней оценкиМетод верхней оценки основан на применении теоремы о верхнейоценке (кинематической теоремы теории пластичности) и принципаминимума полной мощности к кинематически возможному полю скоростей вдеформируемом теле.Под кинематически возможным полем скоростей vi** понимают полеудовлетворяющее кинематическим граничным условиямvi**F  Fv v0iи условиям непрерывности: условие постоянства объема  ii**  0 условие равенства нормальных составляющих скоростей на поверхностяхразрыва fs: vi**F  Fv v0iКинематическая теорема теории пластичности утверждает, чтомощность поверхностной нагрузки, соответствующей кинематическивозможному полю скоростей на заданных скоростях всегда большемощности действительной поверхностной нагрузки.Для идеального жестко-пластического тела неравенство теоремы оверхней оценке принимает вид:****** pi v0i dF   s   dV  k  vs df   p0i vi dF , i  x, y, zFvFvFpVfsFpЗдесь:- часть внешней поверхности тела, на которой заданы кинематическиеграничные условия;- часть внешней поверхности тела, на которой заданы силовые граничныеусловия;3V - объем тела;pi , p0i - соответственно неизвестные и заданные удельные внешниенагрузки;k  s - постоянная пластичности (максимально возможное касательное3напряжение) ** - интенсивность скоростей деформаций кинематически возможного поляскоростей.****v s  v1**  v2 - разрыв касательных составляющих на поверхности f SПринцип минимума полной мощности гласит, что полная мощностьдостигает абсолютного минимума на действительном поле скоростей.Следовательно, наилучшей (минимальной) верхней оценки можнодостигнуть, определив минимальное значение правой части неравенстваверхней оценки при предложенной конфигурации кинематическивозможного поля скоростей.Использование принципа полной мощности позволяет уменьшитьошибку верхней оценки деформирующей силы.С этой целью следует задать кинематически возможное поле скоростейзависящим от одного или нескольких параметров a j .

В этом случаефункционал полной мощности превращается в функцию этих параметров, аусловие стационарности функционала в систему алгебраических уравнений:p (a )0a jЗдесь p(a) функциональная зависимость верхней оценки удельнойдеформирующей силы от параметров, характеризующих кинематическивозможное поле скоростей.Решив систему уравнений, получим значения параметров aоптj ,соответствующие минимальной верхней оценке для выбраннойконфигурации кинематически возможного поля скоростей.В домашнем задании метод верхней оценки используется для анализапроцессов выдавливания в условиях плоской и осесимметричнойдеформации. В этом случае последовательность решения может бытьследующей:1.

Выделяют очаг пластической деформации, который разделяют на зоны.2. Поле скоростей в очаге пластической деформации ставят в зависимостьот некоторого параметра (в домашнем задании в качестве варьируемогопараметра удобно выбрать высоту очага пластической деформации).3. В каждой зоне задают функцию изменения одной из компонент поляскоростей.Предложеннаяфункциядолжнаудовлетворятькинематическим граничным условиям и условиям непрерывностинормальных составляющих на границах между зонами.4. Интегрированием закона постоянства объема находят недостающиекомпоненты поля скоростей.45. Используя поле скоростей, определяют компоненты тензора скоростейдеформаций в каждой зоне.6.

По значениям компонент тензора скоростей деформаций определяютвыражения для интенсивности скоростей деформаций, а по полюскоростей – выражения для величин разрыва скоростей.7. Составляют неравенство теоремы о верхней оценке, выполняютинтегрирование и определяют верхнюю оценку удельной силыдеформирования в функции неизвестного параметра.8. Определяют размеры очага деформации (неизвестный параметр)минимизацией выражения для удельной силы деформирования.5Содержание заданияДля заданного варианта схемы выдавливания (на схемах сечениезаготовки показано точечной штриховкой) в условиях осесимметричной(схемы О1 - О18) или плоской деформации (схемы П1 – П18) сиспользованием метода верхней оценки выполнить следующее: Привести расчетную схему процесса Построить эпюры кинематически возможных скоростей в различныхзонах очага пластической деформации. Получить аналитическое выражение для верхней оценки удельнойдеформирующей силы в зависимости от варьируемого параметра. Построить график зависимости величины удельной деформирующей силыот варьируемого параметра. Определить величину варьируемого параметра. Определить величину верхней оценки удельной и полнойдеформирующей силы. Выполнить численную проверку вычислений. Поменять знак скорости V1 на противоположный.

Определить верхнююоценку деформирующей силы. Сравнить результаты и сделать выводы. Ввыводах следует обосновать в каком случае движения матрицы иливставки со скоростью V1 сила трения будет активной, а в какомреактивной.При оформлении домашнего задания необходимо привести подробныйвывод аналитической зависимости с указанием сделанных допущений.Каждый шаг решения задачи должен сопровождаться пояснительнымтекстом, рисунками, ссылками на ранее полученные математическиезависимости.Задание оформляется на листах формата А4.6Схемы вариантов заданийd=2rd=2rd=2rV0V0V0V1d1=2r1d1=2r1V1V1d1=2r1D=2RD=2RO1D=2RO2O3d1=2r1d1=2r1d=2rD=2RV1V1d=2rd=2rV1D=2RD=2RV0V0O4V0O5O6V0d1=2r1d1=2r1d=2rD=2RV1V1d=2rD=2RV1d=2rD=2Rd1=2r1V0V0O7O8O97d1=2r1d=2rV1d=2rV1D=2RV1d1=2r1d=2rD=2RD=2RV0V0O10V0O11V0O12V0V0d1=2r1V1d=2rd=2rV1V1D=2Rd1=2r1D=2Rd=2rD=2RO13O14V1V1O15V0V1D=2Rd2=2r2D=2RD=2RV0d=2rd1=2r1d=2rd=2rd1=2r1d1=2r1V0O16O17O1882b2b2bV0V0V1V0V12e2e2a2e2a2aП1П2П32e2b2bV1V1V12a2bV12aV0П42aV0V0П5П6V02e2bV12aV12bV12b2e2a2aV0V0П7П8П992e2b2bV12b2eV12aV12a2aV0V0П10V0П11V0П12V0V02eV12bV12b2bV12a2e2a2aП13П14V1П15V1V1V02aV02a2a2b2b2e2e2c2b2eV0П16П17П1810Примеры выполненияПример 1Исходные данныеR  20мм , r  10мм ,  s  400МПа ,  s m 0.3 0.17333d=2rzV0bfvze3k vzh2adv1vz4vkV1D=2RРис.1.

Расчетная схема• Очаг деформации охватывает цилиндрическую область неизвестнойвысотой h.• Очаг деформации делим на две зоны: цилиндрическая зона 1,кольцевая зона 2• В стенках стакана (зона 3) и вблизи дна контейнера (зона 4) материалне деформируется.11• Трение на границах очага деформации (на контактных поверхностях eпуансон – заготовка и f контейнер – заготовка) принимаем поПрандтлю-Зибелю.Используем цилиндрическую систему координат, начало которойсовместим с точкой очага деформации, расположенной на оси заготовки нарасстоянии h от торца пуансона.Зададимся следующей схемой движения металла в выделенных зонах:в зоне 1 металл движется вниз и в сторону, а в зоне 2 – вверх и в сторону.Границы разрыва скоростей1: a: между зоной 1 и зоной 2 – разрыв в скоростях v z b: между зоной 2 и зоной 3 – разрыв в скоростях v  c: между зоной 1 и зоной 4 – разрыв в скоростях v  d: между зоной 2 и зоной 4 – разрыв в скоростях v Условия неразрывности на границах разрыва скоростей: граница a: v1 r v2 граница b: v z 2z h v z3 границы c,d: v z1z 0 r v z2z 00Кинематические граничные условия: на границе между зоной 1 и пуансоном: v z1z h на границе между зоной 2 и контейнером: v2 v 0 R0Силовые граничные условия: на границе между зоной 1 и пуансоном:  z    k  mk    s s на границе между зоной 2 и контейнером:   z   k  mk    s sУдельныесилытрениясчитаемнаправленнымипротиипредполагаемого направления течения металла.

Знак удельных сил трениявыбираем в соответствие с их направлением относительно координатныхосей.Условие неразрывности для всего очага деформации – равенстворасходов металла на входе и выходе из очага деформацииvo   r 2  vz 3   R 2  r 2Отсюда скорость истечения металла в зазор между матрицей ипуансоном:1В дальнейших выкладках для простоты опустим значок **, обозначающий,что мы имеем дело с кинематически возможными скоростями.12vz 3  vи vo   r 2 R2  r 2Выберем кинематически возможное поле скоростей по координате zВ зоне 1 осевая скорость пропорциональна координате z и не зависитот координаты  :zvz1  v0hТакой закон удовлетворяет всем граничным условиям.