Особенности динамики сжимаемых газов (элементы газовой динамики)

Особенности динамики сжимаемых газов(элементы газовой динамики)При рассмотрении движения сжимаемых газов (т.е., когда const - плотность нельзя принять постоянной)ограничимся случаем одномерного движения. Такое ограничение оправдано для большинства аэродинамических задач например, движение тела относительно среды принято рассматривать как взаимодействие тела с параллельноструйнымпотоком, движение потока вдоль протяженной твердой поверхности также приближенно можно рассматривать какодномерное.Предметом рассмотрения являются не только сами особенности движения сжимаемых газов, но и те условия, прикоторых эти особенности существенно не проявляются, т.е., когда сжимаемостью можно пренебречь и применятьрезультаты, известные, например, в гидравлике.Как и раньше, поток будем считать сплошным, т.е., для него справедливо уравнение неразрывности, которое вданном случае необходимо записывать как условие постоянства массового расхода в сечениях трубки токаdQ md (VS)1 d1 dVdx 0 , илиdx dxV dx1 dS 0 , илиddVdS0,(1)S dxVSгде x - координатная переменная вдоль направления движения, V = V(x) - средняя скорость потока в сечении,S=S(x) - площадь соответствующего сечения.Qm=VS=const, илиДля получения уравнения, аналогичного уравнению Бернулли, нужно вспомнить, что при решении уравненийдинамики Эйлера существенно используется баротропность потока, т.е.

зависимость плотности только от давления. Кбаротропным, в частности, относится адиабатический (т.е., происходящий без теплообмена с окружающей средой)процесс, уравнение которогоkp1kppp   0  const ,или const ,или (2)kp    ,k 0  00где k - показатель адиабаты, а p0. и 0 - начальные (известные) значения давления и плотности. Из (2) видно, что11k p kp  0    , т.е. зависит только от давления. Поэтому дляизменение плотности описывается выражением  p const 0u2dpадиабатического процесса справедлив интеграл БернуллиU const , где U - потенциал массовых сил. С2учетом (2)dpk p, в чем можно убедится непосредственной подстановкой выражения для  из (2), вынесением k 1 константы за знак интеграла и последующим интегрированиемdpconst  dpdpp1 k 1 kpdp const1k1kppp1 k 1k pp1  1 k .k 1  1 1 kТаким образом, для адиабатического процесса можно записать уравнение Бернулли видаu2k pU const .2k 1 (3)Выражение, аналогичное (3) может быть получено для всего класса политропных (т.е., происходящих без изменениятеплоемкости) процессов, описываемых уравнениемp const , где 1  n  k.

Однако, процессы, происходящие приnдвижении твердого тела в воздушной среде, можно приближенно рассматривать именно как адиабатические, так кактеплопередача хотя и происходит, но гораздо медленнее, чем изменение остальных параметров этого взаимодействия.Для совершенных газов, т.е. таких, для которых справедливо уравнениеp = TR,(4)где T - температура в градусах Кельвина, а R - газовая постоянная, из (2) следуют следующие соотношения дляадиабатического процесса:  T0   0 TВыражение для скорости звукаk 1 p p  0a2 k  1 k.(5)dp, в рассматриваемом случае с учетом (2) можно записать в видеd1dp d  k p 0  dd(k ) p 0 k 1p k 1pconst  k  constkkk ,d d  k0  ddk0kp2т.е.

a  k , а с учетом (4) - в видеa2 = kRT,a2 (6)а уравнение Бернулли (3) - в одной из следующих эквивалентных форм:u2ku2a2RT  const , илиUU const .k 122(7)k 1Соотношения (1) - (7) являются основными расчетными формулами при решении задач динамики сжимаемых газов.Оценка параметров заторможенного газа («заторможенного потока»)Определим параметры газа в точке полного торможения при встрече с твердым телом. Для этого рассмотрим линиютока, попадающую в точку полного торможения и начинающуюся в невозмущенной взаимодействием с твердым теломчасти потока. Параметры потока в невозмущенной части обозначим V, p, , T, a, а в точке торможения - V0, p0, 0, T0, a0,причем V0 = 0.

Влиянием массовых сил можно пренебречь.Уравнение Бернулли (7) для рассматриваемой линии тока в точке в невозмущенной части потока и в точкеV2kkk 1 2RT  0 торможения в этом случае будет иметь видRT0 , откуда T0  T V ,илиk 1k 12kR k 1 2 k 1 2 V k 1 2 T0  T1 V   T1 V   T1 M  , где M  - число Маха.

С учетом равенства (5),2a 2kRT2a 221 k 1очевидно, чтоПоследнее k 1 2 M  0  1 2выражение, аможно k 1 2 p 0  p1 M 2представитьвk k 1.видестепенногоряда1  x m  1  mx  m(m  1) x 2  ...  m! x r  ... , при x = (k-1)M2/2 и m = k/(k-1), т.е.2!(m  r )!r!k 2  M 2 2  k 4pkV 2 k 2 k 4 k(2  k ) 6p 0  p1  M  M M  ...

  p  p M 1 M  ...  p (1   ) 284824242a 2ppkV 2M2 2  k 4V 2(1   )  p (1   ) , где  M  ... - сумма членов ряда, зависящих от М.p24242kТак как m не целое, то ряд будет бесконечный, однако при М<1 - сходящийся. Сравнение с формулой,выражающей величину давления заторможенного потока несжимаемого газа, показывает, что эффект от адиабатическогоизменения плотности выражается величиной , т.е. целиком зависит от числа Маха.При М<0,6 величина  не превышает 0,1, т.е.

соизмерима с точностью расчетного или экспериментальногоопределения большинства аэродинамических параметров. Поэтому во многих случаях эффект от сжимаемости учитываютлишь при скоростях, превышающих 0,6 местной скорости звука.Истечение газа из сосуда через насадок переменного сечения.Определим параметры газа, истекающего из сосуда высокого давления через протяженный насадок (сопло),имеющей переменное сечение, т.е. насадок, площадь сечения которого S(x) меняется по длине насадка. Параметры потокав произвольном сечении, имеющем координату х, обозначим V=V(x), p=p(x), =(x), T=T(x), a=a(x), а в сосуде - V0, p0, 0,T0, a0, причем V0 = 0. Влиянием массовых сил можно пренебречь.Уравнение Бернулли (7) для произвольной линии тока, начинающейся в глубине сосуда и проходящей черезV2k pk p0рассматриваемое сечение, в этом случае будет иметь вид 0, откуда можно найти скорость,2k 1 k  1 0выразив ее в зависимости от давления с учетом уравнений адиабатического процесса (2)k 112 12k 1 k 1 2 2k  p 0 p  ppp2k 0p 2k 2k 0V    k1 0  1  k  1  0  p 0  k101 p02k 1p  2k2. a 0 1 k 1 p0 Из полученного выражения видно, что теоретически существует наибольшее значение скорости, соответствующее1212 2k p 0 2 2kнулевому давлению: при p=0V  Vmax  RT0   a0 .k 1 k 1 k  1 0 ВеличинаVmax определяется только параметрами газа в резервуаре.

Для атмосферного воздуха, т.е. при k = 1,4Vmax 2 a0  a0 5 .1,4  1Значение скорости на выходе из сопла, т.е. при атмосферном давлении p = pатм (иногда это значение называют«расчетным» Vр ) для атмосферного воздуха:k 1k 11 p атм  2k p атм  2k p атм  72 .Vp  a 0 1  Vmax 1  Vmax 1 k 1p 0 p 0 p 0 2VmaxV2k pСоставив соответствующее уравнение Бернулли, и воспользовавшись соотношениями (2),22k 1 (5) и (6) (или записав это уравнение Бернулли в эквивалентных формах (7)), через Vmax можно выразить параметры потокав рассматриваемом сечении:k k 11 k 12 a TV2p V 2 V 2 V2    1  1; 1; 1;. (8)22 2 V2 T0p 0  VmaxaVmaxV00maxmax Из последнего соотношения видно, что скорость потока и местная скорость звука в одном и том же сечении связаныa2V2эллиптической зависимостью 1 , и существует точка, в которой они равны.

Эта точка называется2a 02 Vmaxкритической точкой потока, также называется и сечение, образованное такими точками. Это сечение отделяет часть потока,в которой движение происходит с дозвуковой скоростью V < a, от той, где скорость потока сверхзвуковая V > a.Значения параметров потока в критической точке также называются критическими и определяются соотношениями,очевидным образом получаемыми из (8) при V = a:12Vmax a 0 2  2 V  a   a0T  T0  ;;22k1k1Vmax  a 0k k 11 k 1 2  2 p  p 0 ;.0 k  1= 1,4, откудаV  a   0,913a 0 ; T  0,833T0 ; k  1Для атмосферного воздуха kp   0,528p 0 ;   0,636 0 .Изменение параметров потока в зависимости от изменения площади сечения насадка можно получить из уравнениянеразрывности (1).Так какa2 dpd1 dp, то, а изменение давления можно выразить через изменение скоростиddx a 2 dxdpdV .dxdt(9)Последнее выражение получается из закона изменения количества движения для участка трубки тока длиной dx,если, как и раньше, пренебречь массовыми силами, т.е., в качестве внешних сил учитывать лишь силы давления на торцахрассматриваемого участка трубки тока.3Для установившегося одномерного движенияdV V V dxdVd dVVV, следовательно,dtdxdxt x dta 2 dx V 2  dV V dSdVV dSпоэтому уравнение неразрывности (1) приобретает вид 1  0 , или 1  M 2.2  dxdxS dxS dxa dS2 dV  , называетсяПоследнее уравнение, которое представляют также в эквивалентной форме 1  MVSуравнением Гюгонио и связывает изменение скорости в потоке с изменением площади сечения.Необходимо обратить внимание на следующее из этого уравнения принципиальное отличие в изменении скоростидля дозвуковых (M< 1) и сверхзвуковых (M > 1) скоростей течения.

При M < 1 увеличение площади сечения (приводит к замедлению потока (dS0)dxdV 0 ), а при M > 1 - наоборот, к ускорению. Это отличие лежит в основеdxбольшинства особенностей, которые отличают сверхзвуковое движение от дозвукового, и которые приходится учитывать взадачах аэродинамики высоких скоростей.Уравнение Гюгонио используют для расчета формы насадков и сопел реактивных двигательных установок, т.е. дляопределения S(x), обеспечивающих требуемое изменение скорости потока или максимальной скорости на срезе сопла. Вомногих случаях главным вопросом такого расчета является вопрос создания сверхзвуковой скорости потока и еедальнейшее возрастание до выхода из сопла.