Программа для подготовки к рубежному контролю №2 (Программа для подготовки к рубежному контролю №2 ИУ, РЛ, БМТ (2014-2015 уч. год))

Программа для подготовки к рубежному контролю № 2 по ФНПИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2014-2015 уч. годТеоретические вопросы(как они сформулированы в билетах рубежного контроля)Часть А1. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в Rn .2. Дать определение предельной точки, граничной точки множества, и замкнутого множества в Rn .3. Дать определение ограниченного и связного множества в Rn .4. Дать определение предела функции нескольких переменных (ФНП) помножеству и непрерывной ФНП.5. Дать определение частной производной ФНП в точке.6.

Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.7. Сформулировать теорему о связи непрерывности и дифференцируемостиФНП.8. Сформулировать теорему о необходимых условиях дифференцируемостиФНП.9. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемостиФНП.10. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.11. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе.12. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.13. Сформулировать теорему о необходимых и достаточных условиях того,чтобы выражение P (x, y) dx + Q(x, y) dy было полным дифференциалом.14. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции вида z = f (u(x, y), v(x, y)).15.

Записать формулу для вычисления производной сложной функции видаu = f (x(t), y(t), z(t)).16. Сформулировать теорему о неявной функции.17. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функции z(x, y), заданной уравнением F (x, y, z) = 0.18. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по направлению.19.

Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.20. Перечислить основные свойства градиента ФНП.21. Сформулировать теорему Тейлора для функции двух переменных.22. Сформулировать теорему об условиях существовании касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0.23. Записать уравнения касательной и нормали к поверхности F (x, y, z) = 0в точке (x0 , y0 , z0 ).124. Дать определение (обычного) экстремума (локального максимума и минимума) ФНП.25. Сформулировать необходимые условия экстремума ФНП.26. Сформулировать достаточные условия экстремума ФНП.27.

Дать определение условного экстремума ФНП.28. Дать определение функции Лагранжа и множителей Лагранжа задачина условный экстремум ФНП.29. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП.30. Сформулировать достаточные условия условного экстремума ФНП.Часть Б1. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.2. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.3. Доказать теорему о независимости смешанных частных производных отпорядка дифференцирования (для вторых производных функции двух переменных).4.

Вывести формулу для дифференцирования сложной ФНП (можно ограничиться случаем функции вида z = f (x(t), y(t))).5. Сформулировать теорему о неявной функции. Вывести формулы для частных производных неявной функции.6. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0.Примеры задачЧасть А1.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S вточке M :а) S : z = 2x2 − 3y 2 + x + y, M (1, 1, 1);б) S : x3 + y 4 + z 2 = 10, M (2, −1, −1);в) S : ex+y+z = sin(x − 2y − z), M (1, 2, −3).2. Исследовать на экстремум следуюшие функции:а) z = 9x2 − 4xy + 6y 2 + 16x − 8y − 2;б) z = 1 + 6x + 8y − 2x2 − 4xy − 5y 2 ;в) z = y 3 − x2 + 2xy − y 2 − 3y.3. Исследовать на экстремум функциюа) z = x2 + y 2 при условии x + y = 1;б) z = x + y при условии x2 + y 2 = 1;22в) z = xy при условии x3 + y1 = 1.2Часть Б1. В каких точках поверхности 4x + 9y + 25z = −xyz касательная плоскостьпараллельна одной из координатных плоскостей?2. Найти такие a, b, c, чтобы однополостный гиперболоидкасался плоскости 4x + y + 2z = 1 в точке (4, 5, −10).x2a2+y2b2−z2c24. Среди касательных к эллипсоиду22yzx++=175 48 12найти ту, которая отсекает от положительного октанта x > 0, y > 0, z > 0тетраэдр наименьшего объёма.√2225.

Среди эллипсоидов xa2 + yb2 + zc2 = 1, проходящих через точку (1, 2, 5),найти тот, который имеет наименьший объём. (Указание: Объём эллипсоидас полуосями a, b, c равен4πabc.)36. На кривой4x2 + 8xy + 3y 2 + 1 = 0найти точки, наименее удалённые от оси OX.22Часть А=13. Найти те нормали к гиперболическому параболоиду x2 − y 2 = 2z, которыепроходят через точку (6, 0, 0).2Примерный вариант билета рубежного контроля27. Среди эллипсоидов xa2 + yb2 + zc2 = 1, касающихся плоскости 7x + 4y + 4z == 9 найти тот, который имеет наибольший объём. (Указание: сначала найтинеобходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач;оценка 20 балловТеория1. Дать определение предельной точки, граничной точки множества,замкнутого множества в Rn .2.

Записать формулы для вычисления частных производных сложнойфункции вида z = f (u(x, y), v(x, y)).3. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП.Задачи4. Составитьpуравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = x − x2 + y 2 в точке (4, 3, −1).5. Исследовать на экстремум функцию z = e2x + e2y − x − y.6. Исследовать на экстремум функцию z = e−2xy при условииx2 y 2+= 1.94точку M на эллипсоиде с полуосями a, b, c, в которой касательная плоскость имеетнормальный вектор (7, 4, 4); условие принадлежности точки M плоскости 7x + 4y++4z = 9 даст уравнение связи.)Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 4–12 балловТеория7. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемостиФНП.Задача8. На поверхности27 8 8+ + =1xy zнайти точку, наименее удалённую от точки O(0, 0, 0).3.