рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 7

Коэффициент трения равен f.α2.29. Груз положили на наклоннуюплоскость и сообщили направленную вверхначальную скорость v0. Коэффициент трения между плоскостью игрузом равен f. При каком значении углаmнаклона α груз пройдет вверх по плоскостиРис.2.19α38Рис.2.20наименьшее расстояние? Чему оно равно?2.30. Небольшое тело m начинает скользить по наклоннойплоскости из точки, расположенной над вертикальным упором А(рис.2.20).

Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостьюравен f = 0,14. При каком значении угла α время соскальзывания будетнаименьшим?2.31. Груз массой m лежит на гладкой поверхности клина сострым угломα и удерживаетсяпосредством легкой нити, закрепленной→mу его верхнего ребра (рис. 2.21). Каковоaнатяжение нити и давление груза наклин, если он станет двигаться вправо сαrускорением a ?Рис.2.212.32. Система грузов, изображеннаяна рис.2.22, находится в лифте,m1которыйдвижетсявверхсra.ускорениемНайтисилу→aнатяжения нити, если коэффициент m2трения между грузом массы m1 иопорой равен f.

Блок невесом.Рис.2.222.33. В условиях предыдущейзадачи (2.32) найти силу натяжения нити, если система движется сrускорением a , направленным горизонтально вправо.2.34. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта,перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массамиrm1 и m2, m2 > m1. Кабина поднимается с ускорением a . Пренебрегаямассами блока и нити, а также трением, найти силу, с которой блокдействует на потолок кабины.2.35.

Небольшое тело массой m = 1кг движется без начальнойrrскорости под действием силы F = (β − γt )i , где β = 2H , γ = 1H c .Найти максимальную скорость тела в промежутке времени 0 < t < 4 c .2.36. В условиях задачи 2.35. определить путь S , который телопройдет до остановки.2.37. Определить законrдвижения материальнойточки массой m,rrесли на нее действует сила F = α j + βt k , где α, β постоянные и приrrrt = 0, r = 0, v = v0 i .2.38. Определить траекторию материальнойточки с массойrrrαm = 3 кг, движущейся под действием силы F = α i + βt j , гдеrr= 2 Н, β = 3 Н/c и при t = 0 r = 0, v = 0.392.39. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения fлежит небольшое тело массой m..

В момент времени t = 0 rк немуrприложили горизонтальную силу, изменяющуюся по закону F = a t,rгде a - постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые tсекунд после начала действия силы.2.40. На небольшое тело массой m, лежащее на гладкойгоризонтальной плоскости, в момент времени t = 0 начала действоватьсила, зависящая от времени по закону F = at, где a - положительнаяпостоянная. Направление этой силы все время составляет угол α сгоризонтом. Определить момент времени, в который тело оторвется отплоскости, а также вектор скорости тела в любой момент времени до ипосле отрыва.rF2.41.Наматериальнуюточкумассойmдействуетсилаr= kt i , где k - положительнаяпостоянная. В начальный момент времениrrскорость точки v = v0 i . В какой момент времени модуль скороститочки будет в два раза больше первоначального модуля скорости?2.42.

Санки массой m в течение времени t0 тянут сгоризонтальной силой F = kt, где k - положительная постоянная.Коэффициент трения между санками и дорогой равен f . Какоерасстояние пройдут санки от начала движения до полной остановки?Начальная скорость санок равна нулю.2.43. Два тела массами m1 и m2 связаны невесомой инерастяжимой нитью, выдерживающей силу натяжения Т,расположены на гладкой горизонтальной поверхности (рис.2.23). Ктелам приложены силы F1 = αt2, F2m2= 2αt2, гдеα→ m1→F1положительная постоянная.

Найти, вF2какоймоментвременинитьоборвется.Рис.2.232.44. В условиях предыдущей задачи (2.43) найти скоростьсистемы в момент обрыва нити, если при t = 0 v0 = 0.2.45. К бруску массой m, лежащему на гладкой горизонтальнойплоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. Впроцессе его прямолинейного движения угол α между направлениемэтой силы и горизонтом меняют по закону α=ks, где k - постоянная, s- пройденный бруском путь (из начального положения).

Найтискорость бруска как функцию угла α.rr2.46. Закон движения материальной точки имеет видrr= αt3 i + βt j , где α и β - положительные постоянные. При каком40соотношении между α и β в момент времениt = 1 c угол ϕ междуrrвектором скорости v и вектором силы F , действующей на точку,равен 60°?2.47. Материальная точка массой m = 1 кг движется по законуrrrr = αt i + βsin(ωt) j . Определить модуль силы, действующей наматериальную точку в момент времени t = 1 с, если α = 2 м/c,β=3м, ω = π/2 рад/с.2.48.

Частицаm в моментr массыrr t = 0 начинает двигаться поддействием силы F = F 0 sin(ωt), где F 0 и ω - постоянные. Найти путь,пройденный частицей, в зависимости от t.2.49. В моментr t =r 0 частица массыr m начинает двигаться поддействием силы F = F 0 sin(ωt), где F 0 и ω - постоянные. Скольковремени будет двигаться частица до первой остановки? Какой путь онапройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этомпути?2.50. На материальную точку массой m действует силаrrrF с = mω2 R sin(ωt) i +mω2 R cos(ωt) j .

Определить путь, пройденныйматериальной точкой за время отсчитываемое от начала действияrсилы, если при t = 0 v = 0.2.51. Стальной шарик радиусом r = 0,5 мм падает в широкий сосуд,наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося(равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения вглицерине равен η = 1,4 Н с/м2, плотность глицерина ρ1 = 1260 кг/м3,плотность стали ρ2 = 7800 кг/м3.

Указание. Для решения задачинеобходимо воспользоваться гидродинамической формулой Стокса,выражающей силу сопротивления, испытываемую шариком в вязкойжидкости: Fс = 6πrηv.2.52. Найти ускорение тела, движущегося вертикально вверх сначальной скоростью v0, еслиr сила сопротивления воздухаrпропорциональна скорости тела ( F с= – kvy j , где k=mg/ v0 – положительная постоянная).2.53. Снаряд массой m вылетает из ствола со скоростью v0 подуглом α к горизонту.Считая, что сила сопротивления воздухаrrменяется по закону F с = – k v , определить время подъема снаряда намаксимальную высоту.

Коэффициент пропорциональности k таков, чтопри скорости v = v0 Fc = mg.2.54. В условиях задачи (2.53) определить максимальную высотуподъема снаряда.2.55. В условиях задачи (2.53) найти закон движения снаряда.2.56. В условиях задачи (2.53) вывести уравнение траекториидвижения снаряда412.57. Материальная точка массойm = 2кг движется подrrН⋅мα, v - модуль скорости точки.действием силы F = − i , где α = 1сvВ какой момент времени скорость точки уменьшится вдвое, если ееначальная скорость v0 = 2 м с ?2.58. В условиях задачи 2.57 найти в какой момент времениматериальная точка на мгновение остановится.2.59.

Скорость тела массой m в вязкой жидкости убывает спройденным расстоянием l по закону v = v0 - βl, где v0 - начальнаяскорость, а β - положительная постоянная. Как зависит сила вязкоготрения, действующая на тело со стороны жидкости, от скорости тела?2.60. В условиях предыдущей задачи (2.59) определить законизменения скорости тела от времени t.2.61. В условиях задачи (2.59) определить путь, пройденныйтелом за первую секунду его движения в вязкой жидкости, если вначальный момент времени начальная скорость тела равна v0.2.62. Моторная лодка массой m двигалась по озеру со скоростьюv0.

Считая силу сопротивления воды пропорциональной квадратускорости, определить зависимость скорости лодки от времени послевыключения мотора F с = –αv2, где α - постоянная.2.63. В условиях задачи (2.62) определить зависимостьпройденного лодкой пути от времени после выключения мотора.2.64. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя,пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадратих радиуса: Fс = ρ0r2v2, где ρ0 ≈ 1,3 кг/м3 - плотность воздуха. Какиекапли, крупные или мелкие, падают на Землю с большей скоростью?Оцените скорость капли радиуса r = 1 мм при ее падении с большойвысоты.2.65.

Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скоростьот v0 до v. Найти время движения пули в доске, считая силусопротивления пропорциональной квадрату скорости.2.66. Сила сопротивления воздуха, действующая на каплитумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость:Fс =γrv, где γ - положительная постоянная. Капли радиуса r = 0,1 мм, падаяс большой высоты, у Земли имеют скорость около 1 м/с. Какуюскорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? Вдесять раз меньше?2.67. Небольшой брусок начинает скользить по наклоннойплоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трениязависит от пройденного пути z по закону f = γ z, где γ - постоянная.Найти максимальную скорость бруска.423.Динамика системы. Импульс.

Работа и энергия.Законы сохранения импульса и энергии3.1.Основные понятия и законыРассмотрим механическую систему, состоящую изnматериальных точек.Центром масс системы называется точка С, радиус-векторкоторой задается соотношениемnrmi ri∑rrc = i =n1,(3.1)∑ mii =1где mi - масса i -ой частицы, или в координатной формеnxc =∑ mi xii =1n∑ mii =1n;yc =∑ mi yii =1n∑ mii =1n;zc =∑ mi zii =1n∑ mi.i =1Импульсом системы называется векторная величина, равнаявекторной сумме импульсов всех входящих в систему частицr n r n r r n(3.2)P = ∑ pi = ∑ mi vi =vc ∑ mi ,i =1i =1i =1rrгде vi - скорость i -ой частицы в инерциальной системе отсчета, vc скорость центра масс системы, равнаяrr drcvc =.(3.3)dtЗапишем основное уравнение динамики (второй закон Ньютона)для каждой частицыrrrrrdpi r= Fi1 + Fi 2 + Fi 3 + ...Fin + Fi внеш ,(3.4)dtrrгде Fij - сила, действующая на i -ую частицу со стороны j -ой, Fi внеш внешняя сила, действующая на i -ую частицу.Просуммировав по всем точкам системы с учетом того, что потретьему закону Ньютона сумма внутренних сил системы равна нулю,получим второй закон Ньютона для системы взаимодействующихчастиц вrвидеdP k r внеш(3.5)= ∑ Fj .dt j =143Скорость изменения полного импульса системы равна суммевнешних сил, действующих на точки системы.