рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 5

Найти угловуюαOrvCскорость и угловое ускорениеколеса.1.92.Вусловияхпредыдущей задачи найти уголмеждувекторомугловойскорости колеса и вертикалью.1.93.Круглый конус сРис. 1.11α=30° иуглом полураствораСR = 5мкатитсярадиусом основанияравномерно по горизонтальной плоскости.Вершина конуса О закреплена и находитсяОна одной высоте с точкой С – центромАоснования конуса (рис. 1.11). Скоростьточки vC = 10 м с .

Найти модули угловой Кскорости и углового ускорения конуса.1.94.Найти скорости точек В и СВконического катка (рис. 1.12), если скоростьРис.1.12движения центра катка А по его траектории v A . Каток катится безскольжения по неподвижной конической поверхности К.1.95.Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω0вокруг горизонтальной оси. В момент t = 0 ось начали поворачиватьвокруг вертикальной оси с постоянным угловым ускорениемε0 = 0,1рад c 2 . Найти модули угловой скорости и углового ускорениячерез t = 3,5 c .252.Динамика точки2.1.Основные понятия и законыКак отмечалось в предисловии, описаниединамикиматериальной точки и поступательного движения твердого теласовпадают.Законы динамики справедливы в инерциальных системахотсчета.

В большинстве задач система отсчета, связанная с Землей,считаетсяинерциальной. Любая система отсчета, движущаясяравномерно относительно Земли, также будет инерциальной. В такихсистемах отсчета тело приобретает ускорение только благодарядействию на него некоторых сил.Первый закон Ньютона: если на тело (точку) не действуют силы,оно сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерногодвижения.Импульс материальной точки – это произведение ее массы наскоростьrrp = mv .Второй закон Ньютона или основное уравнение динамики :скорость изменения импульса материальной точки (тела) равнавекторной сумме приложенных силrdp r=F.dtВ частном случае, если масса тела не изменяется в процесседвижения, второйзакон Ньютона имеет вид в векторной форме записиr rma = F .В координатной формеma x = Fx ,ma y = Fy ,ma z = Fz .Третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют с силами,равными по величине и противоположно направленными.262.2.Примеры решения задачЗадача 2.1.

Два тела массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг связаныневесомой, нерастяжимой нитью и движутся по горизонтальнойповерхности под действием силы F = 10 н, направленной под углом α= 30° к горизонту и приложеннной к телу m1. Определить ускорение, скоторым движутся тела и силу натяжения нити, если коэффициенттрения между телами иугоризонтальной→→поверхностью равен μ =→0,2.→ →Решение.Силы,αдействующие на тела m1,m2, показаны на рис.2.1.хЗапишем второй законНьютона для каждого→→mmg1g2груза в проекциях на→→Fкоординатные осиm1:ГрузРис.2.1F cos α − Fтр1 − T = m1a ,F sin α + N1 − m1 g = 0 .Груз m2: T − Fтр 2 = m2 a ,N 2 − m2 g = 0 ,Fтр1 = μN1 , Fтр 2 = μN 2 ,откуда Fтр1 = μ(m1 g − F sin α ) ,Fтр 2 = μm2 g .⎧ F cos α − μ(m1 g − F sin α ) − T = m1a⎨⎩T − μm2 g = m2 a .Решаяэтиуравнениясовместно,F cos α − μ(m1 g − F sin α ) − μm2 g = (m1 + m2 )a ,F cos α − μ(m1 g − F sin α ) − μm2 g= 1,26 м с 2 .a=m1 + m2Сила натяжения нити: T = μm2 g + m2 a = m2 (μg + a ) = 6,44 H .находимоткудаЗадача 2.2.

На столе (рис. 2.2) лежит доска массой М = 1 кг, а надоске – груз массой m = 2кг. Какую горизонтальную силу надоприложить к доске, чтобы она выскользнула из-под груза?27Коэффициент трения между грузом и доской μ1 = 0,25, а между доскойи столом μ2 = 0,5.уРешение. На рисункеrпоказанысилы,N1приложенные к доске игрузу.rrrrrFтр1Ускорение грузу mFтр1 N Fmg2х сообщает сила трения F .тр1Пока доска и грузrrдвижутсявместесrrFтр 2 MgN1ускорением r a , груз нескользит, Fтр1 - это силаРис. 2.2трения покоя.

Скольжениеначинается при её максимальном значении Fтр1 = μ1 N1 = μ1mg . Второйзакон Ньютона μ1mg = ma , т.е. максимальное ускорение, с которымможет двигаться груз: amax = μ1 g . С таким максимальным ускорениемдолжна двигаться и доскаF − Fтр1 − Fтр 2 = Mamax = Mμ1 g ,Fтр 2 = μ 2 N 2 = μ 2 ( N1 + Mg ) = μ 2 (mg + Mg ) = μ 2 g (m + M ),F = Fтр1 + Fтр 2 + Mμ1 g = μ1mg + μ 2 g (m + M ) + μ1Mg == μ1 g (m + M ) + μ 2 g (m + M ) = g (μ1 + μ 2 )(m + M ) = 22 H .rQrTxrTyrNrarαN m gr3y′α ra′αrm2 gРис. 2.3rFинx′Задача 2.3. Вмеханическойсистеме, показанной на рис.

2.3,массы тел равныm1 , m2 , m3 , угол αизвестен,трениянет, массы блока инитипренебрежимо малы.Найтиускорениетела m3 относительно тела m2 .rm1 gРешение. Запишем второй закон Ньютона для тел m1 и m2сначала в векторном виде28rr rm1a = m1 g + T ,rr r r rm2 a = m2 g + Q + T + N ,а затем в проекциях на координатные оси⎧m1a = m1 g − T⎪⎨m2 a = T + N sin α⎪0 = m g − Q .2⎩Последнее уравнение в данной задаче не используется, т.к. онослужит для определения нормальной реакции Q опоры и,соответственно, силы трения между телом m2 и поверхностью опоры,но по условию трения нет.r rr rДля тела m3 : m3 (a′ + a ) = m3 g + N⎧m3 (a′ − a cos α ) = m3 g sin α⎨⎩− m3a sin α = − m3 g cos α + N .При составлении векторного уравнения движения для тела m3учитывалось, что оно участвует одновременно в двух независимыхrдвижениях: относительно тела m2 с ускорением a ′ ( система отсчета х’,rу’) и вместе с телом m2 с ускорением a ( система отсчета х, у).Результирующее движение в неподвижной системе отсчета х, у будетr r rпроисходить с ускорением a3 = a ′ + a .Рассмотрим совместно уравнения⎧m1a = m1 g − T⎪m a = T + N sin α⎪ 2⎨⎪m3 (a′ − a cos α ) = m3 g sin α⎪⎩− m3a sin α = − m3 g cos α + N .Эта система содержит четыре неизвестных: T, N, a’,a.

Сложивпервые два уравнения системы, исключим Т:(m1 + m2 )a = m1 g + N sin α .Из последнего уравнения найдем N и подставим найденноезначение N = m3 ( g cos α − a sin α ) в предыдущее уравнение, откудаполучим (m1 + m2 )a = m1 g + m3 ( g cos α − a sin α )sin α .m + m3 cos α sin αРешая его относительно а, получаем: a = 1.m1 + m2 + m3 sin 2 αТеперь, подставляя найденное значение а, находим искомоеm (1 + ctgα ) + m2 + m3ускорение a′ = 1g sin α .m1 + m2 + m3 sin 2 α29Задача 2.4.

К неподвижной перекладине АВ прикреплена нить иось блока, как показано на рис. 2.4. Определить результирующую силу,действующую на перекладину, если массы грузов m1 = 80 кг, m2 = 60кг. Трением, массами блоков и растяжением нити пренебречь.rРешение. Нить и связьDперекладинысблокомrrDрастянуты. Разрезаем мысленноАTrсвязи, как показано на рисунке.rTТогда силы будут направленыTrrrrrна разрез, в том числе T и D .TTT rРезультирующаясила,a2rrдействующая на перекладинуa1T1rT1АВ, будет равна R = T + D .2 x1 m grЗдесь Т – натяжение нити, D –2x1rнагрузка на ось неподвижногоm1 gблока во время движенияРис 2.4грузов.

Поскольку блок невесомD = 2T , поэтому R = 2T + T = 3T .Записываем второй закон Ньютона применительно кдвижущимся грузам m1 g − 2T = m1a1 , T − m2 g = m2 a2 .Ускорения а1 и а2 связаны между собой. При смещении осиподвижного блока вниз на х1 груз m2 подвинется на расстояние х2 = 2х1, иd 2xrrтак как a = 2 , то a2 = 2 a1 . Решая уравнения совместно:dt⎧m1 g − 2T = m1a1 ,m1 g − 2Tm= 1 ,⎨T − m2 g 2m2⎩T − m2 g = m2 2a1 ,2m1m2 g − 4m2T = m1T − m1m2 g ,T (m1 + 4m2 ) = 3m1m2 g , получимT=3m1m2 g= 441,45 Н. Откуда R = 3T = 1324,3 Н.m1 + 4m2rFЗадача 2.5. Две пластинымассами m1 и m2 соединилипружиной (рис.2.5). С какойсилой F надо надавить наверхнюю пластину, чтобы послепрекращения действия силыm1m230Рис.2.5верхняя пластина, подпрыгнув, приподняла и нижнюю? Массойпружины пренебречь.Решение. Пружина в начальный момент сжата на величинуx1 = m1 g k по сравнению со своей длиной в недеформированномсостоянии.

Чтобы пружина могла приподнять при своем растяжениинижнюю пластину, она должна быть растянута по сравнению снормальной своей длиной на величину, большую, чем x2 = m2 g k .Следовательно, надо надавить на верхнюю пластину с силойF ≥ k ( x1 + x2 ) = (m1 + m2 )g .Задача 2.6. Тело массой m = 1 кг, брошенное под углом α кгоризонту, имеет в верхней точке траектории полное ускорение,равное a = 12 м с 2 (рис 2.6). Определить силу сопротивления среды вэтой точке.yРешение. Судя по условиямrrvзадачи, при движении тела наFc arτнего действует постоянная силатяжести и переменная силаrv0rxсопротивления. В верхней точкеrgαa1траекториискоростьтелагоризонтальнаВv = vx .Рис.2.6противоположнуюсторонуrrнаправлена сила сопротивления Fc и ускорения aτ .

Перпендикулярноrr raτ направлено нормальное ускорение an = g . Полное ускорение222a = aτ + an = aτ + g 2 .rrСила сопротивления Fc = maτ . Сила тяжестиrr rrРавнодействующая этих сил R = mg + Fc = ma .В результатеr222Fc = R 2 − (mg ) = (ma ) − (mg ) = m a 2 − g 2 = 6,9 Н .rrP = mg .Задача 2.7. С каким ускорением должен ехать автомобильмассойmrN1внизпоrra1настилуFтр1массой М наyнаклоннойrплоскости сr x′Fтр1rα N1угломN2rrmgнаклона α,Mg αчтобы настилxαrскользил поFтр 2Рис.2.7наклоннойплоскости31равномерно вверх? Коэффициент трения автомобиля о настил равен k1,настила о наклонную плоскость k2 (рис.2.7).Решение.

На рис.2.7 показаны силы, действующие наrдвижущийся автомобиль: сила тяжести mg , сила нормальной реакцииrrопоры N1 и сила трения Fтр1 , которая является силой трения покоя,препятствующей проскальзыванию ведущих колёс автомобиля оповерхностьдороги, т.е. это и есть сила тяги, движущая автомобильrFтр1 < k1 N1 .rНа настил действуют силы: сила тяжести Mg , силы со стороныrrrавтомобиля Fтр1 , N1 и со стороны наклонной плоскости - силы N 2 иrFтр 2 .Второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системыкоординат х, у для автомобиля, движущегося с ускорением a1 , приметвидmg sin α + Fтр1 = ma1 ,N1 − mg cos α = 0 .В проекции на оси координат х, у для настила, движущегосяравномерно вверх, второй закон Ньютона имеет видFтр 2 + Mg sin α − Fтр1 = 0 ,N 2 − N1 − Mg cos α = 0 ,Fтр 2 = k2 N 2 .Решая систему уравнений, получим⎛ M⎞a1 = g ⎜1 + ⎟(sin α + k2 cos α ) .m⎠⎝При реализации условий задачи ускорение автомобиля независит от k1, т.е.

от трения между автомобилем и настилом.Задача 2.8. Система, изображённая на рис. 2.8 находится влифте, поднимающимся вверх с ускорением а. Найти натяжение нити,rесли коэффициент трения междуyr a1rr Nгрузом m1 и опорой равен k.TTrFтрРешение. Движущийся сxускорением а лифт являетсяrr Trнеинерциальнойсистемой.a1m1 grrrСвяжем систему координат сTm1aaлифтом и, чтобы использоватьrm2 gзаконы Ньютона, приложим кrтелам системы силы инерции m1 аm2 aРис.2.832и m2 а, рис.2.8.