рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 3

Тогда колесо будет вращаться вокруг неподвижной осиАВ, а точки дороги, соприкасающиеся с колесом, будут иметь скоростьv′ = −v . Так как скольжение колеса отсутствует, то его наружные точкибудут иметь скорость v′ , равную по модулю v . Тогда выражение дляω примет вид222v⎛v⎞ ⎛ v ⎞⎛r⎞ω = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1+ ⎜ ⎟ .r⎝r⎠ ⎝ R⎠⎝ R⎠rУгол между вектором ω и вертикалью α = arctg ω2 ω1 = arctg R r .rУгловое ускорение ε есть скорость изменения угловой скоростиrω , при этом модуль вектора ε не меняется.15rКонец вектораω описывает в горизонтальной плоскостиокружность радиуса ω2 за время, равное периоду T1 вращения колеса2πω2v2= ω1ω2 =.T1rRЗадача 1.11. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оситак, что его угловая скорость ω зависит от угла поворота ϕ по законуω = ω0 − bϕ , где ω0 и b положительные постоянные.

В моментвремени t = 0 угол поворота ϕ = 0 . Найти зависимость от времени : 1)угла поворота; 2) угловой скорости.Решение. Угол поворота вращающегося твердого тела за время tвокруг оси OO′ . Поэтому ε =tϕ(t ) = ∫ ω(t )dt , где ω(t ) - зависимость от времени угловой0скорости. Для нахождения ω(t ) воспользуемся зависимостью ω(ϕ)ω = ω0 − bϕ .Продифференцируем ее по времени tdωdϕ, oткуда получим дифференциальное уравнение вида= −bdtdtdωdω= −bω . Решим его, разделив переменные= −b ⋅ dt .dtωИнтегрируя обе части уравнения, найдем его решение в видеln ω = −bt + C1 .Обозначим C1 = ln C , ln ω − ln C = −bt ; ln ω C = −bt .

Откуда ω = Ce − bt .Постоянную интегрирования C найдем из начального условия. Так какпри t = 0 ϕ = 0 , то ω = ω0 , откуда ω(t ) = ω0e − bt .ωdt = dϕ ,Поскольку, по определению,ω = dϕ dt , тоtt00интегрируя это выражение получим ϕ(t ) = ∫ ω(t )dt = ∫ ω0e −bt dt .Окончательно, зависимость угла поворота от времени имеет видωϕ(t ) = 0 (1 − e −bt ) .b161.3.

Задачи для самостоятельного решения1.12.Материальнаяточкаrrrrr = αt 3i + β t 2 j + γtk [м ], где α = 1мдвижетсяпозакону, β = 2 м 2 , γ = 4 м . Найтисс3срасстояние точки от начала координат через две секунды после началадвижения.rrr1.13.Частица движется по закону r = B sin ωti + A sin 2ωtj [м ] , гдеA, B, ω - постоянные. Найти уравнение траектории.rrr1.14.Закон движения точки имеет вид r = αt 2i + βt 3 j [м ], гдеα = 1м с 2 , β = 1м с3 .

Найти угол между радиус-вектором и векторомскорости в момент времени t1 = 1c .r rr1.15.Материальная точка движется по закону r = t 2i + tj [м ]. Вкакой момент времени угол между радиус-вектором и векторомускорения будет равен 60°?1.16. Две материальные точки движутся в плоскости так, чтокоординаты первой точки x1 = cos 2πt [м ] , y1 = sin 2πt [м ] , а радиусrrrвектор второй r2 = 2ti + (0,5 − 2t 2 ) j [м ] . Чему равно расстояние междуточками в момент времени t = 0,5 c ?1.17.Уравнение траектории материальной точки имеет видy = 0,2 x 2 + 15 x 3 , а vx = 0,5 м с . Считая, что в начальный момент точканаходилась в начале координат, определить v y в момент времениt = 1c .1.18.Материальнаяточкадвижетсяпозаконуrrr r23r = ti + 2t j + 3t k [м ] .

В какой момент времени ускорение точки будетравно a = 22 м с 2 ?1.19. Закон движения материальной точки имеет видrr⎛ π ⎞rr = α cos⎜ t ⎟i + β sin[2πt ] j [м ] , где α = 2 м, β = 0,5 м . Найти величину⎝2 ⎠вектора скорости точки в момент времени t = 1c .1.20.Материальнаяточкадвижетсяпозаконуrrrr = α sin (2πt )i + β cos(3πt ) j [м ] , где α, β - постоянные.

Определитьзависимость от времени векторов скорости и ускорения точки.1.21. Законы движения двух материальных точек имеют видrrrrr1 = (2t − 1)i [м ], r2 = (8 − t ) j [м ] . В какой момент времени расстояниемежду точками будет минимальным? Чему оно равно?1.22. Закон движения материальной точки имеет видrrrr = (α + βt )i + (γt + δt 2 ) j [м ], где β = 3 м с , γ = 4 м с , δ = −1м с 2 .

Найти17векторы скорости и ускорения и угол между ними в момент времениt1 = 2 c .rr1.23. Материальная точка движется по закону r = (5 − 4t 2 ) j [м ] .Найти перемещение за вторую секунду движения.rrr1.24. Частица движется по закону r = αti + (β − γt ) j [м ], гдеα = 1м с , β = 4м, γ = 3 м с . Найти уравнение траектории и векторперемещения за первые три секунды движения.1.25. Частица движется так, что координаты зависят от времениследующим образом x = (0,4t + 1)[м ], y = 0,3t [м ].

Найти угол междурадиус-вектором и скоростью частицы в момент времени t1 = 1c .1.26. Материальная точка движется так, что координаты зависятот времени по законам x = t (1 − t )[м ], y = t (1 + 2t )[м ]. В момент времениt1 = 1c определить ускорение точки и угол между векторами скоростии ускорения.1.27.Координаты частицы зависят от времени по законамx = 0,3t 3 [м ] , y = (1 − 0,3t 2 )[м ] . Найти величину ее скорости и ускорениядля момента времени t1 = 1c .1.28.Частица движется так, что радиус-вектор зависит отrrrвремени по закону r = αti + βt 3 j [м ] , где α, β - постоянные. Найтиуравнение траектории и зависимости от времени вектора ускорения иего модуля.1.29. Координаты частицы зависят от времени по законамx = A cos(ωt )[м ] , y = A cos(2ωt )[м ] , где A, ω - постоянные.

Найтиуравнение траектории и зависимости от времени векторов скорости иускорения.1.30. Материальная точка движется так, что радиус-векторrrrзависит от времени по закону r = A cos(ωt )i + B cos(ωt + ϕ0 ) j [м ] , гдеA, B, ϕ0 , ω - постоянные. Найти уравнение траектории.1.31. Частица движется так,что радиус-векторзависит отrrrA, ωвремени по закону r = Asin(ωt )i + Acos⎛⎜⎝ 2ωt ⎞⎟⎠ j [м] , гдепостоянные. Найти уравнение траектории и зависимость от временивеличины скорости.1.32. Материальная точка начала движение из начала координати движется так, что ее скорость зависит от времени по законуrrrv1 = (αt 2 + β t )i + γt 3 j [м с].

Одновременно вторая точка началадвижение и движется так, что радиус-вектор зависит от времени поrrrзакону r2 = δt 3i + θt 4 j [м ] , где α, β, γ , δ, θ - постоянные. Найти угол ϕмежду ускорениями точек через промежуток времени τ после началадвижения.181.33. С летящего горизонтально на высоте h0 со скоростью v0вертолета сброшен груз. На какой высоте скорость груза направленапод углом α к горизонту? Определить радиус кривизны траектории вэтой точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.1.34.Камень брошен горизонтально. Через τ после броскаскорость камня оказалась направлена под углом α к горизонту.

Найтивеличину скорости в этот момент. Сопротивлением воздухапренебречь.1.35.Тело брошено с высоты h0 со скоростью v0 под углом αк горизонту. Найти, на каком расстоянии по горизонтали от местаброска упадет тело и чему будет равен радиус кривизны траектории вточке падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.1.36.

Тело брошено с поверхности земли со скоростью v0под углом α к горизонту. Найти нормальное и тангенциальноеΔtпосле броска. Сопротивлением воздухаускорения черезпренебречь.1.37. Тело брошено с поверхности земли со скоростью v0под углом α к горизонту. Найти радиус кривизны в высшей точкетраектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.1.38. Под каким углом к горизонту и с какой скоростью нужнобросить тело с поверхности земли, чтобы радиус кривизны траекториив высшей точке R = 10 м оказался равен максимальной высотеподъема тела над поверхностью земли? Сопротивлением воздухапренебречь.rrr1.39. Материальная точка движется по закону r = αt 3i + β tj [м ] ,где α = 0,03 м с 2 , β = 0,02 м с .

Чему будет равен радиус кривизнытраектории в момент времени t1 = 2 c .1.40.С какой наименьшей скоростью и под каким углом кгоризонту нужно бросить камень, чтобы выбросить его из колодцаh радиуса R , находясь на дне колодца около его стены?глубинойСопротивлением воздуха пренебречь.1.41.Автомобиль прошел путь S = 100 км. В течение первогочаса он двигался со скоростью v = 80 км/ч , затем остановился наполчаса , и продолжил движение до конечного пункта со скоростью вдва раза меньшей начальной.

Определить среднюю путевую скоростьна всем пути.1.42.Найти среднюю путевую скорость мотоциклиста, если напрохождение трех участков трассы, длины которых относятся как 3:5:7, он затратил промежутки времени, находящиеся в отношении 5:7:9.Скорость на первом участке пути v = 100 км/ч, на последующихучастках он также двигался равномерно.191.43.Материальная точка совершила три последовательныхперемещения вдоль оси X, величины которых относятся как 1:2:3,поворачивая в конце каждого участка на угол α = 30° к предыдущемунаправлению движения со скоростями v3 = 30 м/с, v2 = 20 м/с иv1 = 10 м/с соответственно. Найти среднюю путевую скорость и векторсредней скорости.rr1.44.Материальная точка движется по закону r = (1 − 3t + t 2 )i [м ] .Найти среднюю путевую скорость за три секунды после началадвижения.1.45.Точка движется по криволинейной траектории так, чтокриволинейная координата меняется по закону s = 2 + t − 3t 2 [м].