рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 2

Лодка, имеющая скорость v0 , спускает парус вмомент времени t0 и продолжает двигаться так, что скорость лодкиобратно пропорциональна времени t. Показать, что ускорение лодки ана этом участке движения пропорционально квадрату ее скорости.vtРешение. В соответствии с условиями задачи v = 0 0 (при этомtначало отсчета t и t0 одно и то же). Тогда мгновенное значениеv2v0t0dv d ⎛ v0t0 ⎞v0t0ускорения a == ⎜, то a = −⎟ = − 2 . Так как t =v0t0vdt dt ⎝ t ⎠tt > t0 ).(приЗадача 1.2. Кинематическое уравнение движения материальнойточки по прямой (ось х) имеет вид x = A + Bt + Ct 3 , гдеA = 4м, B = 2 м , C = −0,5 м 3 . Для момента времени t1 = 2 cccопределить: 1) координату x1 точки, 2) мгновенную скорость v1 ,3) мгновенное ускорение a1 .Решение. 1.Координату точки, для которой известнокинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнениедвижения вместо t заданное значение времени t1 :x1 = A + Bt1 + Ct13 = 4 м.2.

Мгновенную скорость в произвольный момент времениxповремени:найдем,продифференцировавкоординатуdxv== B + 3Ct 2 .dtТогда в заданный момент времени мгновенная скоростьv1 = B + 3Ct12 = − 4 м .сЗнак «минус» указывает на то, что в момент времени t1 = 2cточка движется в отрицательном направлении координатной оси.3.

Мгновенное ускорение в произвольный момент временинайдем, взяв вторую производную от координаты x по времени:d 2 x dv= 6Ct .a= 2 =dtdtМгновенное ускорение в заданный момент времени равноa = 6Ct1 = −6 м 2 .с9Знак «минус» указывает на то, что вектор направлен в сторону,противоположную координатной оси х, причем в условиях даннойзадачи это имеет место для любого момента времени.Задача 1.3. Две частицы (1 и2) движутся со скоростями v1 и v2rv1(рис.

1.4) по двум взаимноl0перпендикулярным прямым кlточке их пересечения О. В момент 1l (t )t =0онинаходилисьнарасстояниях l1 и l2 от точки О.rπv2Через сколько времени расстояние2междучастицамистанетl2минимальным? Чему оно равно?Решение.НачальноеРис.1.4.22расстояние между частицами равно l0 = l1 + l2 . Через промежутоквремени t частицы пройдут расстояние v1t и v2t , и расстояние междучастицами станет равным22l (t ) = l12 (t ) + l22 (t ) = (l1 − v1t ) + (l2 − v2t ) .Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когдаподкоренное выражение минимально. Обозначим22z = (l1 − v1t ) + (l2 − v2t ) .Исследуемфункциюzнаэкстремумdz d 2= (l1 − 2l1v1t + v12t 2 + l12 − 2l2v2t + v22t 2 ) = −2l1v1 + 2v12t − 2l2v2 + 2v22t = 0 ,dt dtlv +l vl1v1 + l2v2 = t (v12 + v22 ), t z min = 1 12 2 2 2 .v1 + v2Тогда минимальное расстояние между частицами будет22lmin=⎛lv +l v ⎞ ⎛lv +l v ⎞= ⎜⎜ l1 − v1 1 12 2 2 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ l2 − v2 1 12 2 2 2 ⎟⎟ =v1 + v2 ⎠ ⎝v1 + v2 ⎠⎝(l v21 1+ l1v22 − l1v12 − l2v1v2 )2(v21+ v22 )222 1v22 (l1v2 − l2v1 ) + v12 (l2v1 − l1v2 )2=(l v+(v212+ v22 )2=+ l2v22 − l2v22 − l1v1v2 )2(v21+ v22 )2=(l1v2 − l2v1 )2 (v22 + v12 ) =(v21+ v22 )210=(l1v2 − l2v1 )v12 + v22.Задача 1.4.

Частица перемещается в пространстветак, что ееrrr rрадиус-вектор изменяется по закону r = ti + 2 j − (t + 1)k [м ] .Найти вектор средней скорости частицы соответствующийинтервалу времени (t, 2t).Решение. По определению, вектор средней скоростиперемещения:rr Δrv =, где Δt = 2t − t = t ,Δtr rr r rrrrr rsΔr = r (2t ) − r (t ) = 2ti + 2 j − (2t + 1)k − ti − 2 j + (t + 1)k = ti − tk [м ] .r rr t i − tk r r мТогда v ==i −k.сt[ ]Задача 1.5. Две материальные точки одновременно началиrrrrrrдвижение по законам r1 = at 2i + (bt 3 + ct 2 ) j [м ], r2 = dt 3i + (et 4 + ft ) j [м ].Определить угол между ускорениями точек в момент t1 после началадвижения.Решение. По определению скорости найдем законы измененияrrrv1 = 2ati + (3bt 2 + 2ct ) j м ;скоростейматериальныхточексrrr23v2 = 3dt i + (4et + f ) j м .сДифференцируяполученныезависимости,такжепоопределению получаем ускорения материальных точек в любоймомент времениrrrrrra1 = 2ai + (6bt + 2c ) j м 2 ; a2 = 6dti + 12et 2 j м 2 .ccОбозначим ϕ1 , ϕ2 - углы, которые составляют векторыr rускорения a1 , a2 с осью ОХ.

Очевидно, чтоa6bt + 2c 3bt + c 3bt1 + ctgϕ1 = y1 =,==2aax1aa[ ][ ][ ]ay2[ ]12et 2 2et 2et1==.6dtax 2ddУгол между ускорениями⎛ 3bt + c ⎞⎛ 2et ⎞Δϕ = ϕ1 − ϕ 2 = arctg⎜ 1⎟ − arctg⎜ 1 ⎟ .⎝ a ⎠⎝ d ⎠tgϕ2 ==Задача 1.6.Радиус-вектор частицыменяется со временем t поrr rзаконуr = b t (1 − αt )[м ], где b - постоянный вектор, α 11rrположительная постоянная. Найти: а) скорость v и ускорение a какфункцию времени; б) промежуток времени Δt , по истечении которогочастица вернется в исходную точку, а также путь s , который онапройдет при этом.rr dr r= b (1 − 2αt ) м ; векторРешение. Вектор скорости v =сdtrrr dvускорения a == −2αb м 2 , т.е.

движение равнозамедленное.сdtВозвращение частицы к моменту времени Δt в исходную точку1rозначает r (Δt ) = 0; (1 − αΔt ) = 0; Δt = [c].[ ][ ]αДля нахождения пройденного пути определим время остановки1[c] .частицы: v = 0; (1 − 2αtост ) = 0; tост =2αСмещение частицы к моменту остановки будетr1 ⎛1 ⎞ bΔrост = btост (1 − αtост ) = b ⎜1 − α, а весь пройденный⎟=2α ⎝2α ⎠ 4αrrrrrb[м] .путь будет s = r (tост ) − r (0 ) + r (Δt ) − r (tост ) = 2 Δrост =2αЗадача 1.7.

Материальная точка движется по законуrrrr = α sin (5t )i + β cos 2 (5t ) j . Определить вектор скорости, векторускорения и траекторию движения материальной точки.Решение. Находим компоненты радиус-вектораx(t ) = α sin (5t ), y (t ) = β cos 2 (5t ) = β[1 + cos(10t )]/ 2 .Определяем компоненты вектора скоростиvx (t ) = 5α cos(5t ), v y (t ) = −5β sin (10t ) и вектора ускоренияax (t ) = −25α sin (5t ), a y (t ) = −50β cos(10t ) .Для получения уравнения траектории исключим время t изсистемы уравнений x(t ) и y (t ) . Материальная точка движется по3параболе y = 3 − x 2 .4Задача 1.8. Частица движется в плоскости ХОУ со скоростьюrrr rrv = αi + βxj , где i , j - орты осей Х и У; α, β - постоянные. Вначальный момент частица находилась в точке x = y = 0 .

Найти:1) уравнение траектории частицы у(х); 2) радиус кривизны траекториив зависимости от х.Решение. 1. Найдем уравнение движения частицы в декартовыхrrrкоординатах и исключим из них время t . По условию v = αi + βxj ,откуда12vx = α ⎫2222 2⎬, v = vx + v y = α + β x .v y = βx ⎭rr drПо определению, v =, или в декартовых координатахdtdxdyvx = ; v y = . Т.к. dx = vx dt , x = ∫ vx dt = ∫ αdt = αt + C1 .dtdtКонстанту C1 интегрирования найдем, используя начальныеt =0⎫условия:⎬ ⇒ 0 = 0 + C1 ⇒ C1 = 0. Следовательно, x = α t .x = 0⎭1Так как dy = v y dt , то y = ∫ v y dt = ∫ βxdt = ∫ αβ tdt = αβ t 2 + C2 .2Константу интегрирования найдем аналогично предыдущему:t =0 ⎫12⎬ ⇒ 0 = 0 + C2 ⇒ C2 = 0.

Следовательно, y = αβ t .y = 0⎭2Найдем уравнение траектории у(х)xt=x = αt⎫α⎪⇒122⎬y = αβ t ⎪αβ xβ 2y=x .=⎭22 α22αТраектория частицы представляет собой параболу.График траектории изображен на рис. 1.5.2. Чтобы определить радиусyR,надокривизнытраекторииrvyrвоспользоватьсявыражениемдляv2rvaнормального ускорения an = , откудаraτRϕr ϕ rv2xavxR= .nan0НормальноеускорениеanРис.1.5.можнонайтиизследующихсоотношений:dvdvdva = an2 + aτ2 , aτ = , a = ax2 + a y2 , a x = x , a y = y .dtdtdtdv dxТак как vx = α = const , a x = 0, a y = y= βα , то a = a y = βα .dx dtdvaτ = ,Таккактотангенциальноеускорениеdtdv dxα 2β x,анормальноеускорениеaτ ==22 2dx dtα +β x13an = a 2 − aτ2 =α 2βα +β x222.32α⎛ β x ⎞⎜1 + 2 ⎟⎟ . Отметим, что дляβ ⎜⎝α ⎠определения нормального ускорения можно использовать формулуrran = a cos ϕ , где ϕ - угол между векторами an и a .αv.Как следует из рис.1.5 cos ϕ = x , т.е.

cos ϕ =vα 2 + β2 x 2Радиускривизны2 2R=Используя an = a cos ϕ , получаем an =α 2βα 2 + β2 x 2, что совпадаетс ранее полученной формулой.Задача 1.9. Точка движется, замедляясь, по прямой сускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по законуa = α v , где α - положительная постоянная. В начальный моментскорость точки равна v0 . Какой путь s она пройдет до остановки? Закакое время τ этот путь будет пройден?Решение. Для решения задачи надо знать зависимости v(t ) инайдем,используявыраженияs (t ) .Зависимостьv(t )dva = − ; a =α v .dtЗнак «минус» соответствует тому, что скорость точки убывает современем ( dt > 0, dv < 0 ). Приравнивая правые части, получимдифференциальное уравнениеdvdvα v = − , разделяя переменные, имеем= −αdt .dtvПроинтегрируем с учетом начальных условий ( t = 0, v = v0 )vtvtdv1=−α∫ v∫ dt , 2 v v = −α t 0 , 2 v − v0 = −αt , v = − 2 αt + v0 .v000Возводя в квадрат, окончательно получим1v(t ) = α 2t 2 − α v0 t + v0 .4Зависимость пути от времени s (t ) найдем с помощью формулыdsдля модуля скорости v = , из которой следуетdtttα v0 2α2⎛1⎞s = ∫ vdt = ∫ ⎜ α 2t 2 − α v0 t + v0 ⎟dt , s (t ) = t 3 −t + v0t .4122⎝⎠00Исходя из того, что при t = τ v = 0 , имеем()141 22α t − α v0 t + v0 = 0 ,v4vv0τоткуда τ = 2 0 .s = ∫ vdtα0Пройденныйпутьds = vdt2v vбудет равен s = 0 0 .3ατtНа рис.1.6 изображен 0график зависимости v(t ) ,Рис.1.6.представляющийсобойпараболу.

Искомый путь sO′численно равен площадиrrω1заштрихованной фигуры.ωrrB αЗадача 1.10.При Aω2движении автомобиля его vrRrколесо радиусадвижется по окружностиR = ABврадиусаOгоризонтальной плоскости.Рис.1.7При этом центр колеса точкаАперемещаетсясОпределить угловую скорость и угловоепостоянной скоростью v .ускорение колеса, а также угол, который составляет вектор угловойскорости с вертикалью.Решение. Движение колеса (рис.1.7) представим как суммуrвращательных движений: с угловой скоростью ω2 вокругrгоризонтальной оси АВ и с угловой скоростью ω1 вместе с осью АВвокруг вертикальной оси OO′ .Результирующий вектор угловойr r rскорости ω = ω1 + ω2 , а его модуль ω = ω12 + ω22 .Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной савтомобилем.