Основы цифровой электроники часть 2 (Основы цифровой электроники)

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙЭЛЕКТРОНИКИПЕРВАЯ СТРАНИЦАУЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙОГЛАВЛЕНИЕОБ АВТОРЕ1.5. Логические основы проектирования цифровых устройствЗадачи, решаемые при разработке цифровых логических устройств, можно разделить на две категории:1. Синтеза.2. Анализа.Синтез - это процесс построения схемы цифрового устройства по заданию.Анализ - процесс обратный синтезу.Модель дискретного устройства, отражающая только его свойства по переработке сигналов, называетсядискретным (цифровым) автоматом.В общем случае, модель представляет собой многополюсный черный ящик с m входами и n выходами(рис.1.3).

Состояние автомата определяется состояниями сигналов на его входах и выходах. Совокупность входныхи выходных переменных Х и Z образуют входное и выходное слово автомата, соответственно.Различные значения входных переменных образуют алфавит (т.к. алфавит входных и выходных переменныхедин, в дальнейшем будет рассматриваться только один алфавит). В цифровой технике алфавит входного(выходного) слова содержит два значения (две буквы) "1" и "0".Каждое слово - набор переменных на входе или на выходе автомата, отличается от другого слова хотя быодной буквой. Каждая буква слова поставлена в соответствие с номером входа (выхода) автомата.ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙЭЛЕКТРОНИКИПЕРВАЯ СТРАНИЦАУЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙОГЛАВЛЕНИЕОБ АВТОРЕ1.4.

Основы алгебры логикиАлгебра логики (АЛ) является основным инструментом синтеза и анализа дискретных автоматов всехуровней. АЛ называют также Булевой алгеброй. АЛ базируется на трёх функциях, определяющих три основныелогические операции.1. Функция отрицания (НЕ). f1 =`X читается, как f1 есть (эквивалентна) НЕ Х. Элемент, реализующийфункцию НЕ, называется элементом НЕ (инвертором).Элемент НЕ имеет два состояния.2.

Функция логического умножения (конъюнкции). Функция логического умножения записывается ввиде f2=X1·X2. Символы логического умножения &, L, <×>, ´. Функция конъюнкции читается так: f2 есть(эквивалентна) Х1 и Х2, поскольку функция истинна тогда, когда истинны 1-й и 2-й аргументы (переменные).Конъюнкцию называют функцией И, элемент, реализующий эту функцию, элементом И.В общем случае функцию логического умножения от n переменных записывают так:Количество переменных (аргументов), участвующих в одной конъюнкции, соответствует количеству входовэлемента И.3. Логическое сложение (дизъюнкция). Функция логического сложения записывается в виде f3=X1 +X2, и читается так: f3 есть Х1 или Х2, поскольку функция истинна, когда истинна одна или другая переменная(хотя бы одна).

Поэтому функцию дизъюнкции часто называют функцией ИЛИ. Символы логического сложения+,V.В общем случае функция ИЛИ записывается:Используя операции (функции) И, ИЛИ, НЕ можно описать поведение любого комбинационногоустройства, задав сколь угодно сложное булево выражение. Любое булево выражение состоит из булевыхконстант и переменных, связанных операциями И, ИЛИ, НЕ.Пример булева выражения:.Основные законы алгебры логики. Основные законы АЛ позволяют проводить эквивалентныепреобразования функций, записанных с помощью операций И, ИЛИ, НЕ, приводить их к удобному длядальнейшего использования виду и упрощать запись.ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИN12345аб=1X+0=XX+1=1X+X=X=0X*1=XX*0=0X*X=XX+X*=1Аксиомы(тождества)=0678=XX+Y=Y+XX+X*Y=X9=10X*Y=Y*XX*Таблица 1.1Примечание=XЗакондвойногоотрицанияЗакон коммутативностиЗакон поглощенияПравило(закон дуальности)де-МорганаЗакон ассоциативности+Z=X+Y+Z11X+Y*Z=Закон дистрибутивностиБулевой алгебре свойственен принцип двойственности, что наглядно иллюстрирован в табл.

1.1. Какследует из табл. 1.1, только закон двойного отрицания не подчиняется этому принципу.Используя законы алгебры логики, можно упростить булевы выражения, в частности, правило склеиванияпозволяет упростить выражение типа.Действительно, используя законы 2, 5 и 11 можно записать исходное выражение в виде Х2(Х1 +`Х1 )=Х2. Так как логическая операция Х1 +`Х1 = 1 (см.

з-н 5), а Х2×1 = Х2 (см. з-н 2б), полученное выражениеистинно.Способы задания функций алгебры логики. При сопоставлении функций АЛ с дискретнымиавтоматами аргументы функций, сопоставляются с входами, а сами функции с выходами дискретного автомата.Поскольку дискретный автомат имеет конечное число входов, то мы будем иметь дело с функциейконечного числа аргументов. Если автомат имеет m входов, то количество входных переменных тоже m и числовозможных комбинаций наборов значений этих входных аргументов (переменных) К=2m.Поскольку автомат имеет конечное число входов, его состояние описывается конечным числомзначений функций выходов. Существует несколько способов задания функций АЛ и дискретного автомата.1. Табличный способ.

При этом способе функция задается в виде таблицы истинности,представляющей собой совокупность всех наборов переменных и соответствующих им значений функции.Таблица истинности содержит 2m строк, m столбцов (по количеству входов) и один столбец для записизначения функции.Например: пусть требуется задать функцию трех переменных F1(Х1,Х2,Х3) (рис. 1.4), т.е. автомат на тривхода и на один выход, следовательно, M=3, К=8.Следующий способ задания дискретного автомата – числовой.

В Этом случае функция задается в видедесятичных эквивалентов номеров наборов аргументов, при которых функция принимает единичное значение.Например, для рассмотренного выше примера функция F1 принимает единичные значения на наборах переменныхсо следующими номерами: 1, 2, 5, тогда числовой способ задания будет иметь вид.Координатный способ. При этом способе дискретный автомат задается с помощью карты его состояния,которая известна как карта Карно.Карта Карно содержит 2m клеток по числу наборов значений переменных.

Каждая клетка определяетсякоординатами строк и столбцов, соответствующими определенному набору переменных. Все входные переменныеразбиваются на 2 группы так, что одна группа определяет координаты строк, а другая - координаты столбцов. Вкаждой клетке карты Карно проставляется соответствующее значение функции на заданном наборе. Примерзадания функции трех переменных приведен на рис.

1.5. Числовое выражение этой функции выглядит так:Пример построения карты Карно для функции 4-х переменных. Пусть функция задана в числовой форме иимеет вид:,следовательно, К=16, m=4.Сначала проводим разметку координат карты Карно без указания значений функции. Для удобствавоспользуемся указанием "шапки" в виде прямых линий, “под” которыми переменные входят в значение координатбез отрицания (рис.1.6). Таким образом, по столбцам и по строкам переменные входят без отрицания в пределахлинии-шапки.Для наглядности координаты клеток карты Карно указаны в трех формах: в виде наборов переменных; ввиде двоичного числа, соответствующего порядковому номеру набора переменных; в десятичном эквивалентеномеров наборов переменных. На практике координаты внутри клеток не записывают (рис.

1.7), в клеткахуказываются единичные значения функции, соответствующие “координатным” наборам переменных. Нулевыезначения функции в клетки можно не записывать, т.е. клетки, координаты которых определяются наборамипеременных с нулевыми значениями функции, можно оставить пустыми.Следует отметить, что перестановка местами переменных Х1 и Х2, а так же переменных Х3 и Х4допускается, допускается также перестановка местами переменных Х1Х2 и Х4Х3.

При построении карты Карно, т.е.при задании логической функции, указывают лишь внешние элементы разметки координат (рис. 1.7).Аналитический способ задания функции алгебры логики. При этом способе функция задается ввиде аналитического выражения, полученного путем применения каких-либо логических операций.Например:.Совершенная нормальная дизъюнктивная форма (СНДФ). По таблице истинности можно составитьлогическое выражение, содержащее наборы переменных, в которые входят все переменные с отрицанием или без.Одна из его форм называется СНДФ.В качестве примера получения СНДФ рассмотрим случай задания логической функции в виде таблицыистинности.

Пусть задана функция трех переменных. Таблица истинности этой функции показана на рис. 1.8.(очевидно, что значения функции взяты произвольно и могут быть любыми).Из таблицы истинности видно, что функция принимает значение логической единицы только на трехнаборах переменных, т.е. на 2, 4 и 5-м наборах. Для второй строки (второго набора переменных) можно записать:Х1=0, Х2=1, Х3=0, следовательно, функция f(0,1,0)=1. Принято (по умолчанию) считать, что если переменная в"нормальном" состоянии имеет значение логической единицы, а в инверсном - логического нуля, тогда функциюдля второй строки можно представить в виде `X1Х2X3 = 1. Для четвертой строки - `X1X2Х3 = 1 и для пятой строки Х1X2Х3 = 1.

Аналитическое выражение функции выглядит как.Каждое произведение содержит все три переменные с отрицанием или без отрицания и соответствуеттолько одной строке набора переменных, на котором функция принимает значение логической единицы.Произведения, в которых содержатся все переменные с отрицанием или без, называются конституентамиединицы или минтермами. Функция будет представлять логическую сумму всех произведений, равных логическойединице. В нашем примере вся сумма (дизъюнкция) соответствует совокупности произведений переменных длятрех строк.СНДФ любой функции записывается по таблице истинности согласно следующему правилу.Для каждого набора переменных, на которых функция принимает значение логической 1,записываются конституенты , и все эти конституенты объединяются дизъюнктивно.Переменные каждой строки, имеющие значение логического 0, в конституенты входят сотрицанием (записываются в произведение в инвертированном виде), а переменные, имеющиезначения логической 1 - без отрицания.Любую логическую (булеву) функцию можно представить дизъюнкцией конституент.