Силаева Т.А. - Методы решения задач оптимального проектирования ВС (Методы решения задач оптимального проектирования ВС (Силаева Т.А.)), страница 4

Провести сравнительный анализ полученных на первой итерации результатов решения заданной задачи безусловной оптимизации функции с помощью трех итераг(ионных методов, сформулировать выводы н показать полученные результаты преподавателю. 3. Выполнить на ЭВМ расчет безусловного экстремума функци.ч 1'(Х) с точностью е= 10 согласно методам: Ньютона и трем градиентным, включав метод сопряженных градиентов, 4. Выполнить сравнительный аяалвз результатов решения одной и той же задачи безусловной оптимизации фупкцив с помощью пяти яспользуемых в работе методов и сформулировать выводы. Пусть помер варианта задания Д2= 20. Тогда задана следующая задача безусловной оптимизации: ех(г 1(Х), Х где 1(Х) = х г+ х3+ х3+ хз ха — 3 х(+ 6х3+ 2.

3 2 2 Вначале найдем решение данное задачи по классическому методу. Согласно необходимому условию экстремума функции 1(Х) получаем Т~Х(~) ~= — 5. Формируем систему уравнений (1.14) 6 х » 0 О 0 2 1 0 1 2 4Е()= — 3, 1 2»(О)+ Е(Е)= — 3 з = е (о) + 2 е (о) 3 з = 0 1 бх» 0 12х1, Л» —— бх» ь г= Зх» — 3 2хг+ хз+ 6 2хз+ хг Находим ЧУ(Х) = 24 Решая данную систему уравнений, находим х» — — + 1, хг= — 4, хз-— 2, т.е. получили две стационарные точки: Х» = (1; — 4; 2), Хг= ( — 1„.— 4;2). Проверяем выполнение достаточного условна в Х» и Хг. Для этого находим определители третьего, второго и первого порядков Зг матрицы Гессе А (Х) = — ' — (Х) ~а,,а*, =бх»(-1) ~1 2~+0(-1) ~0 2 + 1+» 1 2 1! »+г 1 О Получаем Ье(Х») > О, Е»,(Хг) < 0 (Е= 1, 3), поэтому Х» точка минимума, а Хг — точка перегиба (стацнонарная точка, не являющаяся ни точкой минвмума, ни точкой максимума).

Прн этом Т(Х» ) = — 12, Т(Хг) = — 8. Далее для изучения других методов решения задач безусловной оптимизации функции согласно порядку выполнения набора- торной работы выполняем вручную по одной итерации в решении заданной задачи с помощью трех итерационных методов: Ньютона, градиентного спуска прн заданном Ее= 0,2 и наискорей»пего спуска. Прн этом начальную точку Х( ) выбираем исходя нз полученной (о> классическвм методом точки минимума Х*= Х» — — (1; — 4; 2), тогда Х (о) = (2; — 3; 3) .

Применим метод Ньютона для поиска стацнонарныя точек. Для заданной функции .Е(Х) = х»+ хг+ ха+ хгхз — Зх»+ 6хг+ 2 3 г г находим »Р» (Х ) = 3 х 1 — 3, (Р г (Х ) = 2 х г + х з + 6, (Р з (Х ) = 2 х з + х г . г Выбираем Х(О) = (2; — 3; 3) н е= 10, находим 6 (")Е'"'+ ОЕ'"'+ ОЕ'"'= — З~~х(')1'+ 3, '»+ г+ з= (х» )+ 0 Е(1 + 2»г + 1 Е(")= — 2х( ) — Х®-' 6' О Е (е> + 1 Е (к) + 2 Е (С) 2 х ( ) — х ( ) Примем й= О. Подставляем в систему уравнений (1,14) значение Х, тогда система примет ввд: (о) Решив данную систему уравнений, получим Т(о) = (- 0,75; — 1; — 1) .

Поэтому Х(П = Х(о>+ Т(о) = (1,25; — 4; 2) Е'(Х( ) )= — 11„7969. Выполнив аналогичные действия на ЭВМ, при й= 1 получим Т( )= ( — 0,225;0;О), Х( )= (1,025; — 4; 2) Т Х( )= — 11,9981 в т.д. вплоть до выполнения условия ~ ( Е, ~ ь е пря Ег= 4, »=1 Теперь применим метод градиентного спуска для нахождения минимума заданной функции ,Е(Х) = х»+ хг+ хз+ хгхз — Зх»+ 6 ха+ 2.

3 г г Выбираем Х(о>= (2; — 3;3), е= 10 н й(")= й= 0,2 для любого й. При й= 0 получим 3(х(()) — 3 9 (7 ( .(о)) 2х()+ х()+ 6 2 3 (о) (о) хз +х2 3 (~ Ч~(х())(~ = 99499 У(х(~))= — 5 Согласно итерацяонной формуле для поиска минимума (см. (1.6), (1.9) н (1.10)) Х(а+ 1) = Х(")- Ь р (Х(ь) ) 2 9" 02 определяем Х = — 3 — 0,2 3 = — 3,6 . Тогда (() 3 3 2,4 — 2,88 Ру(ХС1) )= 1,2 1,2 И ЧУ(х ) ~ ) = 3,3428, У(х( ))= — 10,1120, Выполнив аналогичные действия на ЭВМ, получим 0,776 — 1,1935 Х( = — 3,84 ~, )7У(Х( ) )= 0,48 -2,16 ~ 0,48 / ~ 1)У(х( ') / ~ = 1,3730, у(х") )= — 11,7839 Выбираем Х( )= (2; — 3; 3) и е= 10 2 Зх(-3 2х2+ 3 2х3+ х2 Находим Ч)'(Х) = и т.д. вплоть до выполнения условия (1.7) на итерации й= 12.

Применим также методы наискорейшего спуска н сопряженных градиентов для поиска минимума заданной функции ~(х)= х(+ х2+ х3+ х2х3 — Зх)+ бх2+ 2. 3 2 2 На итерации й= О, т.е. при нахождеяин Х( ), оба метода сов ()) падают: Х( ) = Х ( ) — й ( ) (77" (Х( ) ) . Получаем (7у(Х( ) )= (9; 3; 3), (( (77'(Х( )) ~ ! = 9 9499, ~(х(~))= — 5. Для определения оптимального шага й в направлении по(о) иска минимума находим (ь"')= у(х"')= у(х"'- й"'~у(х'"))= 9Ь (о) = (2 — 9Ь (о) ) ( — 3 — ЗЬ ( ) ) + (3 — ЗЬ ( ) ) + 3 3 Ь ( с ) 3- зй(')! + ( 3 Зй (О) )(3 Зй(О) 1 3(2 9Ь(О) )+ 6( 3 ' Зй(О) )+ 2 Согласно необходимому условию экстремума функции з(Ь (о) '( приравниваем к нулю ее первую производную: з (П (Ь ( ) )= — 27(2 — 9Ь( ) ) + 18(1 — Ь ( ) )- — 18(1 — Ь(с) )- 9(1 — Ь(о) ) + 9(1+ Ь(о) )+ 27 — 18= О. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно Ь (о).

2187(й(о) ) + 1026Ь(о) 99 О рошая которое находим Ь (о) 0 1358 н й (о) 0 ЗЗЗЗ Проверяем в этих двух точках выполнение достаточного условия минимума функции з(й ), так как определяем минимум (о) ~ функции ~(Х) . Для этого находим вторую производную функции з(й(О)): з(2)(Ь(о))= -4374Ь(о)+ 1026. Отсюда получаем з ( )(й( ))= 432011> О, з ( )(Ь( ) ) = — 431854< О. Поэтому в качестве оптимального шага выбираем Ь( ) = 0,1358. (о) Тогда определяем Х( ) = Х( ) — Ь ( ) РУ Х( ) ~=' О 7778; — 3 4074; 2 5926) Ч)(Х( ) )=.

(-1„1852; 1,7778; 1,7778), 27 0,7778+ Ь(1) 0,4828 — 3,4074 — Ь(1) 2,0119 2,5926 — Ь( ) 2,0119 х Х (2) Х (1) Ь (1) = У вЂ” 3,4074- Ь ( ) 1,7778 2,5926- Ь ( ) 1,7778 ляем аул ьтаты 28 ~ ~ ЧУ(Х(~) ) ~ ~ = 2,7795 и 7(Х(~) )= — 10,8093. Данные значения, полученные на итерации Ь= О, совпадают для обоих рассматриваемых методов: наискорейшего спуска и сопряженных градиентов. Согласно порядку выполнения данной лабораторной работы на этом завершаем решение вручную заданной задачи безусловной оптимизации н далее выполняем расчет экстремума на ЭВМ. Однако для изучения методов наискорейшего спуска и сопряженныч градиентов продолжим рассмотрение првмера.

На итерации Ь= 1 прн использовании метода наискорейшего спуска для определения оптимального шага Ь в ваправлевнн (1) поиска минимума находам х(Ь(1) )= 7(Х(2) )= 7(Х(1) — Ь(1) Ч 7(Х(1 0,7778+ Ь( ) 1,1852 Решая задачу ш(п г(Ь(1) ), получаем Ь(1)= 0,2867. Тогда опреде- И ".' Х(»= Х(')- Ь(') ЧУ(Х(1))= (1,1175;-3,9170; 20830), Ч((Х( ) )= (0,7466; 0,2489; 0,2489), И ЧУ(Х()) ~/ = 08254 в У(Х())= — 11,9363. Аналогично можно получить Х .и т.д. вплоть до выполне(з) нвя условия (1.7) при Ь= 9, как показывает расчет на ЭВМ.

При применении метода сопряженных градиентов для определения оптимального шага Ь( ) находим 0,7778 — ЬВЭ ( — 1,1852+ 0,07804. 9) ~ = У вЂ” 3,4074- Ь( ) (1,7778+ 0,07804 3) ~,= 2,5926- Ь(1) (1,7778+ 0,07804 3) Решая задачу ппп х(Ь( ) ), получаем Ь( )= 0,30324, (1) 1 (1) ио) Тогда определяем — 0,4828 2,0119 = (0,9242; — 4,0175; 1,9825), 2,0119 ЧУ(Х(2) )= (- 0,4376; — 0,0525; — 0,0525), Й Ч7(Х(г) ) 0 4438 н,((Х( ) ) 119823 Аналогично можно получить Х в т.д. вплоть до выполне- (3) ння условия (1.7) прн Ь= 7, как показывает расчет на ЭВМ. Отметим, что прн применении обоих методов получены ре- которые я должны были иметь место прн решении задачи поиска минимума любой дифференцируемой непостояяной функции 7(Х). Кроме того, в точке Х , найденной по методу сопряжен- (2) ных градиентов, значения нормы градиента и функции меньше, чем в точке Х, полученной по методу наискорейшего спуска, (2) что демонстрирует лучшую сходимость первого метода по сравнению со вторым.

Аналогично нз сравнения результатов решения задачи с помощью методов наискорейшего н градиентного спусков следует, что в каждой точке Х н Х значения нормы гради- (0 (г) ента н функции меньше прн использовании метода наискорейшего спуска, чем метода градиентного спуска, что свидетельствует о лучшей сходимости первого метода по сравнению со вторым. 29 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА 1. Наименование работы. 2. Цель работы.

3. Решаемая задача согласно Вашему варнанту задания. 4. Решение задачи безусловной оптимизации функции с помощью классического метода и выполненве первой итерации при решении задачи согласно каждому из трех итерационных методов: Ньютона, градиентного и наискорейшего спусков. 5. Полученные на ЭВМ результаты решения с точностью е= 10 задачи безусловной оптимизации функции на всех итерациях с помощью итерационных методов: Ньютона, градиентного н наискорейшего спусков, сопряженных градиентов. 6. Выводы на основе сравнительного аяализа результатов решения одной и той же задачи безусловной оптимизации функции с помощью пяти методов. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Сформулируйте необходимые и достаточные условия безусловного экстремума функции. 2. В чем состоит метод Ньютона и что он позволяет найтись 3.