Ильичев,Крапоткин,Савин - Линейные операторы (МУ - Линейные операторы)

mOSKOWSKIJ GOSUDARSTWENNYJ TEHNI^ESKIJ UNIWERSITETIMENI n | bAUMANA..a. t. iLXI^EW, w. g. kRAPOTKIN, a. s. sAWINlinejnye operatorymETODI^ESKIE UKAZANIQK WYPOLNENI@ TIPOWOGO RAS^ETAmOSKWAiZDATELXSTWO mgtu IMENI n | bAUMANA.2003.udk 517.1bbk 22.151.5K19K 19rECENZENT w.b. ~ADOWiLXI^EW a.t., kRAPOTKIN w.g., sAWIN a.s.lINEJNYE OPERATORY mETODI^ESKIE UKAZANIQ K WYPOLNENI@ TIPOWOGO RAS^ETA m iZD WO mgtu IM n | bAUMANAS:. {.:--..., 2003.-.ISBNw POSOBII DANY OPREDELENIQ I SFORMULIROWANY TEOREMY O LINEJNYHOPERATORAH W KONE^NOMERNYH LINEJNYH PROSTRANSTWAH pODROBNO RAZOBRANY PRIMERY I ZADA^I OB OSNOWNYH SWOJSTWAH LINEJNYH OPERATOROW DEJSTWIQH NAD NIMI MATRI^NOM PREDSTAWLENII LINEJNOGO OPERATORA SOBSTWENNYHWEKTORAH I SOBSTWENNYH ZNA^ENIQH I SWOJSTWAH LINEJNYH OPERATOROW W WE]ESTWENNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE pRIWEDENY ZADA^I TIPOWOGO RAS^ETApOSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW PERWOGO KURSA WSEH FAKULXTETOWbIBLIOGR NAZW.-,,-,-....

5.udk 517.1bbk 22.151.5aNDREJ tEJMURAZOWI^ iLXI^EWwALENTIN gEORGIEWI^ kRAPOTKINaLEKSANDR sERGEEWI^ sAWINlinejnye operatoryoPREDELENIE I PRIMERY1.3oPREDELENIE I PRIMERY LINEJNYH I NELINEJNYH OPERATOROW1pUSTX X I Y DWA MNOVESTWA gOWORQT ^TOOPREDELENO OTOBRAVENIE f X ! Y ESLI KAVDOMU \LEMENTUx 2 X POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE ODIN I TOLXKO ODIN \LEMENTf x 2 Y INYMI SLOWAMI ESLI f x1 6 f x2 TO x1 6 x2zAME^ANIE pONQTIE OTOBRAVENIE QWLQETSQ ODNIM IZCENTRALXNYH WO WSEJ MATEMATIKE oDNAKO W RAZLI^NYH EE RAZDELAH PO USTANOWIWEJSQ TRADICII WMESTO TERMINA OTOBRAVENIE MOGUT UPOTREBLQTXSQ DRUGIE kAK PRAWILO \TO ZAWISIT OT PRIRODY MNOVESTW X I Y nAPRIMER ESLI X I Y^ISLOWYE MNOVESTWA TO OTOBRAVENIE f X ! Y NAZYWA@T ^ISLOWOJ FUNKCIEJ OPREDELENNOJ NA MNOVESTWE X OTOBRAVENIEA L ! M LINEJNOGO PROSTRANSTWA L W LINEJNOE PROSTRANSTWO M NAZYWA@T OPERATOROM DEJSTWU@]IM IZ L W m oPERATORA L ! L INOGDA NAZYWA@T PREOBRAZOWANIEM PROSTRANSTWA LoPREDELENIE pUSTX L I M DEJSTWITELXNYE LINEJNYEPROSTRANSTWA IR MNOVESTWO WSEH WE]ESTWENNYH ^ISEL oPERATOR A L ! M NAZYWAETSQ LINEJNYM ESLI 8x y 2 L 8c 2 IRWYPOLNQ@TSQ USLOWIQA x y Ax Ay ADDITIWNOSTX OPERATORAA cx cAx ODNORODNOSTX OPERATORAzAME^ANIE oPERATOR A L ! M QWLQETSQ LINEJNYM TOGDAI TOLXKO TOGDA KOGDA 8x y 2 L 8b c 2 IR WYPOLNENO RAWENSTWOA bx cy bAx cAyoTS@DA PO INDUKCII SLEDUET ^TO LINEJNOSTX OPERATORA A \KoPREDELENIE.{.:(),,,.,() =(\),=.".-,,"\.-,.-,,{:,-:-,.:..,{{.:,-,:1)(2)(+) =+) =()().:,,(+) =,+-oPREDELENIE I PRIMERY1.4WIWALENTNA USLOWI@0k1 kXA @ cixiA = X ciAxii=18x1 ::: xk 2 L 8c1 ::: ck 2 IRi=1nULEWOJ OPERATORL ! M OPREDELQEMYJRAWENSTWOM x 8x 2 L NULEWOJ \LEMENT PROSTRANSTWAM LINEENdEJSTWITELXNO 8x y 2 L 8b c 2 IR bx cy b x c yPOSKOLXKU I PRAWAQ I LEWAQ ^ASTX \TOGO RAWENSTWA ESTX pRIMER 2 eDINI^NYJ TOVDESTWENNYJ OPERATOR PREOBRAZOWANIE E L ! L OPREDELQEMYJ RAWENSTWOM E x x8x 2 L LINEENdEJSTWITELXNO 8x y 2 L 8b c 2 IR E bx cy bE x cE yPOSKOLXKU I PRAWAQ I LEWAQ ^ASTX \TOGO RAWENSTWA ESTX bx cypRIMER 3 pUSTX W PROSTRANSTWE IR3 FIKSIROWAN NEKOTORYJBAZIS A DEJSTWIE OPERATORA P IR3 ! IR3 NA PROIZWOLXNYJWEKTOR r x y z OPREDELENO RAWENSTWOM P x y z x yTOGDA OPERATOR P LINEJNYJdEJSTWITELXNO 8a b 2 IR P a x1 y1 z1 b x2 y2 z2P ax1 bx2 ay1 by2 az1 bz2ax1 bx2 ay1 by2a x1 y1b x2 y2aP x1 y1 z1 bP x2 y2 z2pRIMER 4 pUSTX W NEKOTOROM BAZISE PROSTRANSTWA IR2DEJSTWIE OPERATORA A IR2 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTORr x y OPREDELENO RAWENSTWOM A x yx y x yGDE x y KOORDINATY WEKTORA r FIKSIROWANNYE^ISLAoPERATOR A LINEEN POSKOLXKU 8a b 2 IR A a x1 y1b x2 y2A ax1 bx2 ay1 by2 ax1 bx2 ay1by2 ax1 bx2 ay1 by2a x1 y1 b x2pRIMER 1.

:,=,,,{.,,(+) =+ ,,..)(:,)(-,=,.,,(+) =+,+..,:= ()({+(( (+0) ++(0),.,() = (0) =) +) = (((+) +))+(=0) =)..:= ()({,) = (,,++),{.,()) =)(+((( (+) ++(+) = ())=( ((++) +) +) +((++oPREDELENIE I PRIMERY1.5y2 a x1 y1 b x2 y2a x1 y1 x1 y1b x2 y2 x2 y2 aA x1 y1 bA x2 y2pRIMER 5 w PROSTRANSTWE V KWADRATNYH MATRIC FIKSIROWANNOGO RAZMERA DEJSTWIE OPERATORA F V ! V NA PROIZWOLXNU@ MATRICU B 2 V OPREDELENO FORMULOJ F B MB GDEM FIKSIROWANNAQ MATRICA IZ VoPERATOR F LINEEN POSKOLXKU 8a b 2 IR 8A B 2 V F aAbB M aA bB aMA bMb aF A bF BpRIMER 6 w PROSTRANSTWE s 1 IR WSEH BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ IR FUNKCIJ DEJSTWIEOPERATORA DIFFERENCIROWANIQ D d=dx OPREDELENO FORMULOJdf f 0Df dxoPERATOR DIFFERENCIROWANIQ LINEEN POSKOLXKU 8a b 2 IR8f g 2 C 1 IR D af bg af bg 0 af 0 bg0 aDf bDg^TO SLEDUET IZ IZWESTNYH SWOJSTW PROIZWODNOJoPREDELENIE oPERATOR J L ! IR OTOBRAVA@]IJ \LEMENTY LINEJNOGO PROSTRANSTWA L W ^ISLA NAZYWAETSQ FUNKCIONALOMpRIMER 7 fUNKCIONAL J OPREDELENNYJ NA PROSTRANSTWER a b WSEH INTEGRIRUEMYH NA OTREZKE a b FUNKCIJ RAWENSTbWOM Jf aR f x dx LINEEN |TO SLEDUET IZ SWOJSTW INTEGRALA8 2 IR 8f g 2 R a b J f g aRb f x g x dxbb aR f x dx aR g x dx Jf JgpRIMER 8 fUNKCIONAL F OPREDELENNYJ NA PROSTRANSTWEGEOMETRI^ESKIH WEKTOROW IR3 RAWENSTWOM F x x a GDE aFIKSIROWANNYJ WEKTOR IZ IR3 LINEEN |TO SLEDUET IZ SWOJSTW)((+) +++(+) =)) =(() ++(+) +)..-:-={,.,) =(+,) =+=(.(++.)-===,()(+) = (+,) =+=+,..:,-,-..,]=(),)+(.-.,(])]=:(++) =() +()]=.,= (,.),{oPREDELENIE I PRIMERY1.6SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ 8 2 IR 8x y 2 IR3 F x yx y a x a y a F x F ypRIMER 9 ~ISLOWAQ LINEJNAQ FUNKCIQ WIDA f xkxPREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNYJ FUNKCIONAL f IR ! IR POSKOLXKU 8a1 a2 x1 x2 2 IR f a1x1 a2x2 k a1x1 a2x2a1kx1 a2kx2 a1f x1 a2f x2oPREDELENIE oPERATOR FUNKCIONAL NE QWLQ@]IJSQ LINEJNYM NAZYWAETSQ NELINEJNYMpRIMER 10 oPERATOR B IR3 ! IR3 DEJSTWU@]IJ PO PRAWILU Bx a x x GDE a FIKSIROWANNYJ NENULEWOJ WEKTOR IZIR3 NELINEEN dEJSTWITELXNO B x a x x 2 a x x2Bx 6 Bx ESLI 6 |TO OZNA^AET ^TO OPERATOR B NE OBLADAET SWOJSTWOM ODNORODNOSTI OBQZATELXNYM DLQ LINEJNOGOOPERATORApRIMER 11 fUNKCIONAL N OPREDELENNYJ NA EWKLIDOWOMPROSTRANSTWE RAWENSTWOM N x jjxjj jjjj OZNA^AET OBY^NU@ EWKLIDOWU NORMU NELINEEN POSKOLXKU W SILU NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA N x y jjx yjj jjxjj jjyjj N x N y I PRI\TOM SU]ESTWU@T \LEMENTY x y DLQ KOTORYH \TO NERAWENSTWOQWLQETSQ STROGIM tAKIM OBRAZOM FUNKCIONAL N NE OBLADAETSWOJSTWOM ADDITIWNOSTI NEOBHODIMYM DLQ EGO LINEJNOSTIpRIMER 12 ~ISLOWAQ FUNKCIQ f xx2 PREDSTAWLQET SOBOJ NELINEJNYJ FUNKCIONAL f IR ! IR NE OBLADA@]IJ NISWOJSTWOM ADDITIWNOSTI NI SWOJSTWOM ODNORODNOSTItEOREMA NEOBHODIMYJ PRIZNAK LINEJNOSTI OPERATORAwSQKIJ LINEJNYJ OPERATOR A L ! M PREOBRAZUET NULEWOJ\LEMENT L PROSTRANSTWA L W NULEWOJ \LEMENT M PROSTRANSTWA MdOKAZATELXSTWO pUSTX x 2 L TOGDA AL A xAx:+() =() +,(() =++..():(+=() ++(.) =) ==,(+-) =).(),,-..= (,):,-{.=,,,() = (= 0 1.)=()=,-,..,=),,,+(() =-,+-+=+,.,,..(:) =-,.,().:-..,=(0) = 0=mATRICA LINEJNOGO OPERATORA2.M7.oPERATOR A L ! L SDWIGA NA NENULEWOJ WEKTOR a 2 L DEJSTWU@]IJ PO PRAWILU Ax x a NELINEENPOSKOLXKU PREOBRAZUET NULEWOJ \LEMENT W NENULEWOJ \LEMENTapRIMER 14 ~ISLOWAQ FUNKCIQ f xkx b b 6 NAZYWAEMAQ W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE LINEJNOJ PREDSTAWLQET SOBOJNELINEJNYJ FUNKCIONAL f IR ! IR POSKOLXKU fb6pRIMER 13.:-,=+,,..() =+ ,= 0,-,:,(0) == 0.mATRICA LINEJNOGO OPERATORA2pUSTX V W DEJSTWITELXNYE LINEJNYE PROSTRANSTWA S BAZISAMI BV fe1 ::: eng I BW fg1 ::: g mg SOOTWETSTWENNO mATRICEJ A LINEJNOGO OPERATORA A V ! WOTNOSITELXNO BAZISOW BV I BW NAZYWAETSQ MATRICA01a:::a:::a111k1nBBCCBCC A M A BV BW B@Aam1 : : : amk : : : amnSTOLBCY KOTOROJ OBRAZOWANY KOORDINATAMI W BAZISE BW PROSTRANSTWA W OBRAZOW BAZISNYH WEKTOROW IZ BV PROSTRANSTWAV tO^NEE k STOLBEC MATRICY A OBRAZOWAN KO\FFICIENTAMIa1k : : : amk RAZLOVENIQ Aek a1k g1 : : : amk gm WEKTORA AekOBRAZA BAZISNOGO WEKTORA ek PO BAZISU BWsPOMO]X@MATRICY LINEJNOGO OPERATORA A M A BV BW EGO DEJSTWIE NA PROIZWOLNYJ WEKTOR x 2 V MOVET BYTX PREDSTAWLENOW KOORDINATNOM WIDE KAK UMNOVENIE MATRICY A NA STOLBECC x BV KOORDINAT WEKTORA x W BAZISE BV eSLI y Ax TOoPREDELENIE.,{-==,.=-:] =...............-.,=(++).=]].-=,mATRICA LINEJNOGO OPERATORA2.8STOLBEC KOORDINAT WEKTORA y W BAZISE BW PROSTRANSTWA W NAHODQTSQ KAK PROIZWEDENIE s y BW M A BV BW C x BVILI W RAZWERNUTOM WIDE10 10 1 0BB y1 CC BB a11 : : : a1k : : : a1n CC BB x1 CCCC B C :B@ CA BB@A@ Aymam1 : : : amk : : : amn xnnAJDEM MATRICY NEKOTORYH OPERATOROWpRIMER 15 nULEWOJ OPERATORL ! L lINEJNOSTX \TOGO OPERATORA USTANOWLENA W PRIMERE w PROIZWOLXNOM BAZI : : : n GDE NULEWOJSE BL fe1 : : : eng ek k\LEMENT PROSTRANSTWA L IME@]IJ W BAZISE BL PREDSTAWLENIE e1 en pO\TOMU01:::BCCB@CA0 M BL BL B:::pRIMER 16 eDINI^NYJ OPERATOR E L ! L lINEJNOSTX\TOGO OPERATORA USTANOWLENA W PRIMERE w PROIZWOLXNOM BAZISE BL fe1 : : : eng E ek ek e1 : : : ek : : : enPO\TOMU01:::BBCC:::BBCCE M E BL BL BBCC@A:::pRIMER 17 oPERATOR P IR2 ! IR2 PROEKTIROWANIQ NA OSXOx eGO LINEJNOSTX WYTEKAET IZ IZWESTNYH SWOJSTW PROEKCIJw KANONI^ESKOM BAZISE fe1 e2g P e1 e1 e1 e2 P e2-] =......=........]].........

:.-1.==,-= 1,0...0...{,= 0+0.=] =...00.:.2.===.= 0] =+100...1...00-+1++0,0...0...1:..== 1+0,=mATRICA LINEJNOGO OPERATORA2.= 0 e1+09 e2 PO\TOMU MATRICA OPERATORA P IMEET WID,P01= @0001AA EGO DEJSTWIE NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR r x1 x2 OPISYWAETSQKAK UMNOVENIE MATRICY P NA STOLBEC KOORDINAT WEKTORA r010 1 0 1P r @ A @ xx1 A @ x1 A :2pRIMER 18 oPERATOR T IR2 ! IR2 POWOROTA L@BOGO WEKTORA NA UGOL ' uSTANOWITE EGO LINEJNOSTX SAMOSTOQTELXNO IZGEOMETRI^ESKIH SOOBRAVENIJ w KANONI^ESKOM BAZISE fe1 e2gT e1' e1' e2 T e2 ; ' e1' e2SLEDOWATELXNO MATRICA OPERATORA T IMEET WID01';'AT @ '' :pRIMER 19 dEJSTWIE OPERATORA A IR3 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR x x1 x2 x3 IZ PROSTRANSTWA IR3 OPREDELENORAWENSTWOM Ax x2 x3 x1 x2 oPERATOR A LINEJNYJ DOKAZYWAETSQ SPOSOBOM IZLOVENNYM W PRIMERE w KANONI^ES e2 e3 Ae1KOM BAZISE e1Ae2 Ae3 oTS@DA NAHODIM MATRICU OPERATORAA01A:A @= ():=1000=.0:-..= cos+ sin=sin+ cos,=cossinsincos.:= (= ()++).{,4).= (1 0 0),= (1 1),-= (0 1 0),= (0 0 1)(--= (0 1),= (1 0).:=011110pUSTX W PROSTRANSTWE IR2 FIKSIROWAN NEKOTORYJ BAZIS fe1 e2g iZWESTNO ^TO LINEJNYJ OPERATOR ApRIMER 20..,:mATRICA LINEJNOGO OPERATORA2.10IR2 ! IR2 PEREWODIT WEKTORY x y W WEKTO Ay nAJDEM MATRICU OPERATORA A WRY AxZADANNOM BAZISE fe1 e2g1 SPOSOB OSNOWAN NA NEPOSREDSTWENNOM OPREDELENII KOORDINAT OBRAZOW BAZISNYH WEKTOROW pOSKOLXKU xe1 e2y e1 e2 Ax e1 Ay e28< Ax A e1 e2Ae1 Ae2 e1: Ay A e1 e2Ae1 Ae2 e2|TA SISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO Ae1 Ae2 RAZREIMA POSKOLXKU W SILU LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI WEKTOROW x y EE OPREDELITELX OTLI^EN OT NULQ oTS@DA NAHODIMAe1e1 ; e2 Ae2 ; e1 e2 kO\FFICIENTY \TIH RAZLOVENIJ OBRAZU@T STOLBCY MATRICY A OPERATORA A W BAZISEfe1 e2g= (2 3),= (2 0),= (3 5)-= (0 3)..-.= 3+ 5,= 2,= 3= 2+ 3,,=(2+3) = 2+ 3= 2=(3+ 5) = 3+5= 3,,,,--,.= 109,=:6+ 60A = @ 10.-; 1A :;2 SPOSOB OSNOWAN NA NEPOSTREDSTWENNOM OPREDELENII MATRI^NYH \LEMENTOW pUSTX MATRICA OPERATORA A ESTX966-.0A = @a1b Ac dTOGDA PO USLOWI@ ZADA^I10 1 0 1010 1 0 1 0ababA@ A @ A:@A@ A @ A @c dc doTS@DA PRIHODIM K SISTEME ^ETYREH URAWNENIJ RASPADA@]EJSQ NA DWE88< a b< c d: a b: c d:23=2305=03,:2+ 3= 22+ 3= 03+ 5= 03+ 5= 3-3.pREOBRAZOWANIE MATRICY11|TI SISTEMY URAWNENIJ IME@T REENIQ ab ; c; dw REZULXTATE POLU^AEM MATRICU OPERATORA A01;A:A @;pRIMER 21 pUSTX LINEJNYJ OPERATOR DIFFERENCIROWANIQD dxd OPREDELEN NA LINEJNOJ OBOLO^KE L L f1 f2 DWUHLINEJNO NEZAWISIMYH FUNKCIJ f1x f2x o^EWIDNOD L ! L nAJDEM MATRICU OPERATORA D W BAZISE ff1 f2giMEEMd x ; x ;f :d xx f2 Df2 dxDf1 dx1tAKIM OBRAZOM W BAZISE ff1 f2g Df1 Df2 ; PO\TOMU01;A:D @:9,= 10,=6,== 6.10=696.=== sin:= cos).,.=sin.= cos==,cos=sin= (0 1),=3,(0== (1 0),110pREOBRAZOWANIE MATRICY LINEJNOGO OPERATORA PRI PEREHODE K NOWYM BAZISAMmATRICEJ PEREHODA OT STAROGO BAZISA Bfe1 : : : eng K NOWOMU BAZISU B 0 fe01 : : : e0ng ODNOGO I TOGOVE LINEJNOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ MATRICA01p:::p:::p1k1n CBB 11CC0BP M B ! B B@CA pn1 : : : pnk : : : pnnk STOLBEC KOTOROJ OBRAZOWAN KOORDINATAMI NOWOGO BAZISNOGOWEKTORA e0k p1k e1 : : : pnk en W STAROM BAZISE B fe1 : : : engk :::noPREDELENIE.((=== 1.)==+)] =+...............=,pREOBRAZOWANIE MATRICY3.12pEREHOD OT NOWOGO BAZISA B 0 K STAROMU BAZISU B OSU]ESTWLQETSQ S POMO]X@ MATRICY M B 0 ! B OBRATNOJ MATRICE PM B 0 ! B P ;1tEOREMA pUSTX X C x B STOLBEC KOORDINAT WEKTORAx W BAZISE B X 0 C x B 0 STOLBEC KOORDINAT WEKTORA x WBAZISE B 0 tOGDA()()] =-],:..=,=] {] {.C x B] =M B ! B 0 C x B 0 ]C x B 0]] =M B 0 ! B C x B]]ILI W KRATKOJ ZAPISIX PX 0X 0 P ;1X:==tEOREMA (ZAKON PREOBRAZOWANIQ MATRICY LINEJNOGO OPERA-TORA pUSTX A M A BV BW MATRICA LINEJNOGO OPERATORA A V ! W OTNOSITELXNO STARYH BAZISOW BV I BW LINEJNYH PROSTRANSTW V I W SOOTWETSTWENNO A P M BV ! BV0Q M BW ! BW0 MATRICY PEREHODOW K NOWYM BAZISAMBV0 I BW0 W TEH VE PROSTRANSTWAH TOGDA MATRICA OPERATORA AOTNOSITELXNO NOWYH BAZISOW IMEET WID).=] {:-()-,=] {=(],),A0 M A BV0 BW0=] =M BW0 ! BW M A BV BW M BV ! BV0]]ILI KORO^EA0 Q;1AP:dLQ WAVNEJEGO ^ASTNOGO SLU^AQ A V ! V=:A0 M A BV0 BV0=ILI KORO^E] =M BV0 ! BV M A BV BV M BV ! BV0]A0 P ;1AP:=]]]pREOBRAZOWANIE MATRICY3.13uMNOVIW OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA SLEWA NA P I SPRAWA NAP ;1 NAJDEMA PA0P ;1:oPREDELENIE sLEDOM KWADRATNOJ MATRICY A NAZYWAETSQSUMMA \LEMENTOW STOQ]IH NA EE GLAWNOJ DIAGONALIsLED MATRICY OBOZNA^AETSQ tr A ILI Sp AA faij g tr A X aii a11 ann:=.,.:===i++lEMMA.