МУ - М-30 (Определение скорости полета пули с помощью баллистического крутильного маятника)

А. М. КИРИЛЛОВ, Л. Н. КЛИМОВОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГОКРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКАМетодические указания к лабораторной работе М-30 по курсу общей физикиПод редакцией Н. А. ГладковаИздательство МГТУ 1990В методических указаниях приведены описание малогабаритного баллистическогокрутильного маятника ФПМ-09 и методика определения с его помощью скорости полетапули.Методические указания предназначены для студентов первого курса МГТУ всехспециальностей.Цель работы - ознакомление с принципом действия баллистического крутильного маятника иметодом определения с его помощью скорости полета пули.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬБаллистический крутильный маятник (см.

рисунок, а), используемый в данной лабораторнойработе, представляет собой горизонтальный стержень 5, жестко скрепленный с проволочнымторсионом 6, натянутым в вертикальном положении между двумя кронштейнами. На концахстержня 5 с одной стороны находится мишень 8, в которую попадает пуля, а с другой - противовес3 с массой, равной массе мишени 8. Одинаковые грузы 4 и 7 можно располагать в нужномположении на стержне 5, задавая тем самым необходимый момент инерции крутильного маятникаотносительно оси, совпадающей с осью торсиона 6. Угол поворота φ стержня 5 при егокрутильных колебаниях можно отсчитывать по прозрачной шкале 2. На поверхность мишени 8наложен пластилин, для того чтобы пуля в нем застревала, и ее удар о мишень можно былосчитать абсолютно неупругим.При определении скорости полета пули в данной работе используется закон сохранения моментаимпульса L: если момент внешних сил относительно оси М=0, то L=Jω=const, где J - моментинерции системы (маятника и пули) относительно оси в какой-то момент времени; ω - угловаяскорость этой системы в тот же момент времени.При абсолютно неупругом ударе пули о мишень на основании закона сохранения моментаимпульса данной системы можно записать(1)ω1,mvl=(J1+ml2)ωгде m - масса пули, принимаемой в данном случае за материальную точку; v - скорость пули вмомент ее попадания в мишень; l - расстояние от оси вращения стержня 5 до застрявшей в мишени8 пули; J1 момент инерции маятника (без пули, с закрепленными на стержне 5 грузами 4 и 7)относительно оси вращения; ω1- угловая скорость стержня 5 в момент окончания взаимодействияпули с мишенью.Левая часть равенства (1) выражает момент импульса пули и покоящегося маятника в самомначале их взаимодействия, т.е.

при начальной угловой скорости маятника ω0=0.Правая часть - момент импульса системы после прекращения взаимодействия, т.е. когда пулязастрянет в мишени.бПЕРИОДЫСЕТЬВРЕМЯ, ССТОПСБРОСаС другой стороны, на основании закона сохранения механической энергии в данном случае можнозаписатьWК=WП,где WК кинетическая энергия маятника с пулей в момент окончания взаимодействия пули смишенью; WП - потенциальная энергия упругой деформации торсиона в при наибольшемповороте стержня 5 на угол φ1 после попадания пули в мишень 8. Закон сохранения механическойэнергии приводит к равенству()11J 1 + ml 2 ω 12 = Dϕ 12 ,22(2)где D - постоянная момента упругих сил (коэффициент жесткости торсиона).Примечание.

Угол φ1, строго говоря, необходимо отсчитывать от того положения стержня 5,в котором он был в момент прекращения взаимодействия пули с мишенью. Но, поскольку закороткое время взаимодействия смещение стержня 5 из состояния покоя незначительно,угол φ1 можно отсчитывать от начального неподвижного положения стержня 5.Из уравнений (1) и (2) получаемDϕ 12v = 2 2 J 1 + ml 2 .m l(2)2Поскольку в данной лабораторной установке J1>>ml , можно записатьv2 =Следовательно,v=Dϕ 12J1 .ml 2ϕ1 J 1mlD.(3)Крутильные колебания маятника возникают под действием момента М упругих сил, вызванныхкручением торсиона. При этом M=Dφ, где φ - угол поворота стержня 5, D - коэффициентжесткости торсиона.Период Т крутильных колебаний определяется выражениемT = 2πJD(4)Задавая два значения момента инерции маятника J1 и J2 (с помощью перемещающихся постержню 5 грузов 4 и 7), получим два значения периода колебаний маятника по соответствующимформулам:J1DJT2 = 2π 2DT1 = 2πРазделив уравнение (6) на уравнение (5), получимJ 2 J 1 = T22 T12 ,илиJ2T22− 1 = 2 − 1,J1T1илиJ 2 − J 1 T22 − T12=.J1T12(5)(6)Отсюда следуетT12 (J 2 − J 1 ) T12 (J 1 − J 2 )T12 ΔJ== 2J1 =T22 − T12T12 − T22T1 − T22Подставляя в формулу (3) J1 иD из уравнения (5):D = 2π J 1 T1 ,имеемv=2π ϕ 1 T1⋅ΔJ.ml T12 − T22(7)Разность моментов инерции ΔJ=J1-J2 можно получить, учитывая теорему Штейнера.

Очевидно,J 1 = J + 2(m Г R 12 + J 0 );(8)J 2 = J + 2 mГ R 22 + J 0 ,(9)()где J1 и J2 - моменты инерции маятника с грузами соответственно при удалении их центров массот оси вращения на R1 и R2; J- момент инерции маятника без грузов относительно его осивращения; mГ- масса одного из грузов (4 или 7); J0 - момент инерции груза массой mГотносительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси вращения маятника.Если R1>R2 то из уравнений (8) и (9) имеем22(10)()ΔJ = J 1 − J 2 = 2m Г R 1 − R 2 .Из соотношений (7) и (10) получаем формулу, по которой можно вычислить скорость полета пули:4πm Г ϕ 1 T1(11)⋅ 2R 12 − R 22 .2ml T1 − T2Поскольку в данном эксперименте φ1T1 =φ2T2, значение скорости пули можно вычислить также(v=)по формуле4πm Г ϕ 2 T2(12)⋅ 2R 12 − R 22 .2ml T1 − T2To, что в данном эксперименте φ1T1 =φ2T2 можно показать следующим образом.

В случае, когдамаятник имеет момент инерции J2, можно аналогично уравнению (1) записать(1)ω2,mvl=(J2+ml2)ω2Учитывая, что J1 и J2 значительно больше ml , и сравнивая уравнения (1) и (13), имеем(14)J1ω1 ≅J2 ω2(v=)Подобно соотношению (2), можно записать соотношение()(15)J 1ω 12 ϕ 12≅J 2 ω 22 ϕ 22(16)11J 2 + ml 2 ω 22 = Dϕ 22 .222Сравнивая уравнения (2) и (15) и, пренебрегая ml , имеемПодставив в уравнение (16) возведенное в квадрат соотношение (14), получимJ 2 J 1 = ϕ 12 ϕ 22 .Но из уравнений (5) и (6) следует, чтоJ 2 J 1 = T22 T12 .(17)Поэтому уравнение (17) можно заменить наT22 T12 = ϕ 12 ϕ 22 .(18)Следовательно,(19)Необходимо заметить, что иногда вместо равенства (19) ошибочно получают неверное равенствоϕ 12 T1 = ϕ 22 T2 . Дело в том, что из соотношений (14) и (16) можно получить, кроме уравнения (17),верное соотношениеφ1T1 =φ2T2ω 2 ω 1 = ϕ 12 ϕ 22 ,(20)где ω1 и ω2 - мгновенные угловые скорости стержня 5, а не циклические частоты.

Таким образом,в нашем случаеω 1 ≠ 2 π T1 ; ω 2 ≠ 2 π T2 ,(17)поэтомуω 1 ω 2 ≠ T2 T1т.е.T2 T1 ≠ ϕ 12 ϕ 22 ,и, соответственно,ϕ 12 T1 ≠ ϕ 22T2Однако, если в верном соотношении (20) формально заменить ω1/ω2 на T2/T1, т.е. ошибочнопринять ω1 и ω2 за циклические частоты, то вместо полученного неравенства будем иметьравенство, но неверное.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬЭкспериментальная установкаЭкспериментальная установка (см. рисунок) частично описана в теоретической части. Необходимообратить внимание на то, что для отсчета числа периодов и времени колебаний стержня 5установка имеет электронный миллисекундомер 1 (см. рисунок, а).

На торсионе 6 жестко укрепленнебольшой стержень 9, колеблющийся с той же частотой, что и стержень 5. При колебанияхстержень 9 пересекает луч света фотоэлектрического датчика 10, сигнал от которого поступает вмиллисекундомер 1.Установка имеет также пусковое пружинное устройство (см.

рисунок, б). В исходном положениикрючок К должен быть отведен от штифта Ш так, как показано на рисунке, б. Для этогоподвижная рукоятка, поворачивающая крючок, должна быть поставлена в наклонное положениеС0. Чтобы зарядить устройство, необходимо кулю П, изготовленную в виде небольшогометаллического колечка, надеть на штифт Ш. Затем, повернув подвижную рукоятку в положениеС, т.е. повернув крючок К к штифту Ш, передвинуть ее из положения С вплотную к неподвижнойрукоятке У.

В результате крючок К задвинет пулю внутрь устройства, пружина штифта будетсжата, а подвижная рукоятка зафиксирована. Пуск (выстрел) осуществляется легким нажатиемвниз правой части подвижной рукоятки. В этом случав крючок А отходит от штифта иосвобожденная пружина штифта, разжимаясь, выталкивает пулю по направлению к мишенимаятника.Выполнение эксперимента1. Установить грузы 4 и 7 (см. рисунок, а) на расстоянии R1 = 9 см от оси вращения, для чего груз7 придвинуть вплотную к мишени 8, а груз 4 - вплотную к противовесу 4. При этом учесть, чторасстояние между делениями, нанесенными на стержень 5, равно 1 см, толщина груза 7 (также и 4)-2 см, ширина мишени 4 см. Причем мишень имеет миллиметровые деления по ширине дляотсчета положения l центра пули с погрешностью до 1 мм.2.

Проверить правильность исходного положения стержня 9. Он должен в состоянии покоя бытьрасположен недалеко от отверстия датчика 10, но не над ним. Включить миллисекундомер 1,нажав клавишу СЕТЬ. Если при этом на табло будут высвечиваться цифры, отличные от нуля, тоследует нажать клавишу СБРОС.3. Осторожно рукой привести маятник в колебательное движение так, чтобы угол отклонения пошкале 2 не превышал 10° и измерить время t1 пяти периодов колебаний маятника. Для этого, когдана табло высветится четвертый период, надо начать клавишу СТОП. В этом случае остановкацифр на табло времени произойдет как раз в конце пятого периода. Подсчитать период колебанийT1=t1/n, где n=5.4. Установить грузы 4 и 7 на расстоянии R2=2 см от оси вращения (приблизить их вплотную кторсиону 6).