МУ - М-13 (Изучение вынужденных колебаний маятника с движущейся точкой подвеса)

Хаустова В. И.ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА С ДВИЖУЩЕЙСЯ ТОЧКОЙПОДВЕСАМетодические указания к лабораторной работе М-13 по курсу общей физики.Под редакцией В. Н. Корчагина.МГТУ, 1990.Кратко изложена теория вынужденных колебаний, дана методика проведенияэксперимента по изучению вынужденных колебаний маятника с движущейся точкой подвеса.Для студентов 1-го курса МГТУ.Цель работы - изучение вынужденных колебаний физического маятника с движущейсяточкой подвеса, получение зависимости амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частотывынуждающей силы.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬВынужденными называют колебания, возникающие в колебательной системе поддействием периодически меняющейся внешней силыF=F0cos ωtЕсли внешняя периодическая сила начала действовать на колеблющееся тело, то его движение втечение определенного промежутка времени зависит от начальных условий, т.е.

от движениятела в момент начала действия силы. С течением времени влияние начальных условийослабевает и движение тела переходит в режим вынужденных установившихся гармоническихколебаний. Независимо от начальных условий после некоторого промежутка времени телобудет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания.

Процессустановления колебаний называют переходным режимом.Если в момент начала действия периодической внешней силы колебаний не было, то и в этомслучае вынужденные колебания не мгновенно достигнут своего стационарного режима, т.е.также имеет место переходный режим.Рассмотрим вынужденные колебания физического маятника. Физическим маятником называюттвердое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси в поле тяготения, причем точкаподвеса О не совпадает с центром масс тела С (рис. 1). Любая точка такого маятника движетсяOαCmgРис. 1периодически по дуге окружности, т.е. движение маятника между крайними положениями вращательное.

Поэтому для описания движения маятника следует воспользоваться основнымуравнением динамики вращательного движения:Iε = ∑ M iiгде I - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса O , ε - угловоеускорение маятника, Σ Mi - сумма моментов всех сил, действующих на маятник, относительнотой же неподвижной оси.!Назовем эти силы и моменты. В поле тяготения на маятник действует сила mg . Приотклонении маятника на малый угол α от положения равновесия эта сила создает вращающийα≈αα,момент учитывая, что для малых углов sinαM1= - m g l1 α,где l1- расстояние от точки подвеса тела до центра масс.Знак "-" в уравнении означает, что момент силы M1 направлен так, что стремится вернутьмаятник в положение равновесия.На маятник также действует интегральная сила сопротивления со стороны среды,препятствующая его движению:FСОПР = − rdα= −rα"dtгде r - коэффициент, зависящий от свойств среды, формы и геометрических размеров тела,dα dt = α"- угловая скорость.

Эта сила приводит к возникновению момента силысопротивленияM z = FСОПРl2 = −rl2 α" ,где l2 , - плечо интегральной силы сопротивления.Кроме того, при вынужденных колебаниях физического маятника на него еще действуетвнешняя вынуждающая сила F=F0cos ωt ,создающая вращательный моментM 3 = Fl3 = F0l3cosωt ,где F0 , l3 , ω - амплитуда, плечо, круговая частота вынуждающей силы соответственно.Следует заметить, что на маятник действует сила со стороны опоры, но она не создает моментаотносительно указанной оси вращения.Таким образом, с учетом сказанного уравнение движения физического маятника,совершающего вынужденные колебания, имеет следующий вид:(1)Iε = −mgl − rl α" + F l cosωt1Учитывая, что ε = dпредставить в виде220 3dt = "α" , и вводя обозначения mgl1=k′, rl2=h, F0l3=M0 уравнение (1) можно2I"α" = −k' α − hα" + M 0 cosωtили"α" +Mhk'α" + α = 0 cosωtIII(2)Уравнение (2) есть линейное неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнениевторого порядка.Известно, что коэффициенты при α" и α в дифференциальном уравнении второго порядкаимеют вполне определенный смысл: коэффициент при α" характеризует затухание, акоэффициент при α: есть квадрат круговой частоты собственных незатухающих колебаний.2Учитывая это, обозначим: h/I = 2β , где β - коэффициент затухания; k'/I = ω02 , где ω0- круговаячастота собственных незатухающих колебаний.

Тогда уравнение (2) примет вид(3)M"α" + 2βα" + ω 02 α =0IcosωtИз теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородногодифференциального уравнения складывается из общего решения однородного уравнения2(4)"""α + 2βα + ω 0 α = 0и частного решения неоднородного уравнения (3).Общее решение однородного уравнения (4) имеет видα1 = αe −βt cos(ω1 t + ϕ ′) ,(5)’где а, φ - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий,ω1 = ω 02 − β 2(6)Это решение описывает затухающие колебания.Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3) следует искать в видеα = α 0 cos(ω ′′t − ϕ ),(7)где α0 - амплитуда колебания, ω΄΄ - круговая частота колебаний маятника, φ - начальная фазаколебаний.В данном случае начальную фазу удобнее обозначить через -φ, так как вынужденныеколебания, как будет показано ниже, отстают по фазе от вынуждающей силы.Для определения ω΄΄, α0 и φ продифференцируем выражение (7) по времени, т.е.

выразим α" иα"" . Возьмем первую производную от α по t: α" = −α 0 ω ′′sin(ω ′′t − ϕ ) . Для удобства дальнейшихдействий умножим a" на 2β:(8)π2βα = 2βα 0 ω′′sin(ω′′t − ϕ ) = 2βα 0 ω′′cos(ω′′t − ϕ + )2Это как раз и есть одно из слагаемых уравнения (3).Найдем вторую производную от a по t :"α" = −α 0 (ω′′) 2 cos(ω′′t − ϕ ) =α 0 (ω′′) 2 cos(ω′′t − ϕ + π)(9)Подставим (8) и (9) в уравнение (3)πα 0 (ω′′) 2 cos(ω′′t − ϕ + π) + 2 βα 0 ω′′cos(ω′′t − ϕ + ) +2+ α 0 ω 02 cos(ω ′′t − ϕ ) =M0cosωtI(10)Из уравнения (10) следует, что частота вынужденных колебаний маятника ω˝ должна бытьравна частоте вынуждающей силы ω.

Действительно, выражения, записанные в левой частиуравнения (10), описывают колебания системы с одинаковой частотой ω˝, при сложениикоторых получается результирующее колебание с той же частотой. Но из правой частиуравнения (10) видно, что это результирующее колебание происходит с частотой вынуждающейсилы ω. Следовательно, уравнение (10) справедливо только при условии, что ω˝=ωω. С учетомэтого можно записать:Mπα 0 ω 2 cos(ωt − ϕ + π) + 2 βα 0 ωcos(ωt − ϕ + ) + α 0 ω 02 cos(ωt − ϕ ) = 0 cosωt2I3Воспользуемся теперь методом векторных диаграмм, считая, что колебание по закону(М0/I)cosωt получено в результате сложения трех колебаний, описываемых уравнениямиα0ω02cos(ωt-φ), 2βα0ωcos(ωt-φ+π/2), α0ω2cos(ωt-φ+π) с той же частотой (рис.

2).2βα0ωM0/Iφω2α0α0ω20Рис.2Первое [α0ω0 cos(ωt-φ)] изобразим вектором, длиной α0ω02, направленным вправо, второе[2βα0ωcos(ωt-φ+π/2)] - вектором, длиной 2βα0ω, повернутым относительно вектора α0ω02 наугол π/2, а третье [α0ω2cos(ωt-φ+π)]- вектором, длиной α0ω2, повернутым относительновектора α0ω02 на угол π . Сумма этих векторов должна совпадать с вектором, изображающимколебание по закону (М0/I)cosωt.

Это возможно лишь тогда, когда(M0/I)2=α02(ω02-ω2)2+(2βα0ω)2, т.е. амплитуда вынужденных колебаний α0 должна быть равна2α0 =(ωM0 I20−ω)2 2(11)+ 4β ω22Векторная диаграмма позволяет также определить фазу колебания:tgϕ =2βωω 02 − ω 2(12)Подставив значения α0 и φ в выражение (7), получим частное решение неоднородногодифференциального уравнения:α=(ωM0 I20−ω)2 2+ 4β ω22cos(ωt − arctg2βω),ω 02 − ω 2(13)которое в сумме с общим решением (5) однородного уравнения дает общее решение уравнения(3).-βtСлагаемое α1=α0e cos(ω1t+φ΄) играет заметную роль только на начальной стадии процесса(в переходном режиме), поэтому по истечения времени t=τ=1/β этим слагаемым можнопренебречь.

Окончательно закон вынужденных колебаний физического маятника задаетсяуравнением (13).Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы физический маятник совершаетвынужденные колебания с частотой вынуждающей силы.Кривая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний отчастоты внешней силы, называется амплитудно-частотной характеристикой. Формула (11)представляет собой аналитическое выражение амплитудно-частотной характеристики, а ее(графическое изображение приведено на рис. 3).4α0M0Iω20ωРЕЗωРис. 3ωРЕЗ. ЧтобыМаксимальное значение амплитуды достигается при частоте внешней силы ω=ωω), задаваемую уравнением (11),определить значение ωРЕЗ, необходимо функцию α0(ωω=0..

Это исследование дает значение ω РЕЗ = ω 02 − 2β 2 .исследовать на экстремум, т.е. dα0/dωПри малом затухании β резонансная частота близка к частоте собственных незатухающихω0 . Такое явление резкого возрастания амплитуды колебанийколебаний маятника, т. е ωРЕЗ≈ωпри совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний маятника (прималом β) называется резонансом, а соответствующая ему частота - резонансной частотой.При малых значениях частоты вынуждающей силы (ω→0 ) амплитуда колебаний при малом β[см. уравнение (11)] стремится к М0/(Iω02), а при больших значениях частоты вынуждающейсилы (ω→∞) амплитуда колебаний приближается к М0/(Iω2)→0.Зависимость фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называютфазочастотной характеристикой (рис. 4).ω0ωπ2πРис.

4При малых частотах ω<<ωРЕЗ фаза мала. Это означает, что смещение отстает по фазе от силына очень небольшую величину. При резонансе смещение отстает от силы по фазе на π/2, т.е. втот момент, когда сила достигает максимального значения, смещение равно нулю, а когда силаравна нулю, смещение максимально.5При дальнейшем нарастании частоты отставание смещения от силы увеличивается и приω>>ω0 приближается к π, т.е. смещение и сила направлены почти противоположно.Эти фазовые соотношения позволяют глубже понять сущность резонанса. Учитывая, что приколебаниях скорость опережает по фазе смещение на π/2, а при резонансе сила опережает пофазе смещение на π/2, получаем, что сила все время совпадает по направлению со скоростью.Работа внешней силы достигает при резонансе максимального значения.

Следовательно,резонанс характеризуется наличием максимально возможных благоприятных условий дляпередачи энергии от источника внешней силы к колеблющемуся телу.В настоящей работе рассматриваются малые колебания маятника, точка подвеса которогосовершает гармонические колебания.

Рассмотрим движение этого маятника в системе отсчета,связанной с точкой подвеса, т.е. в неинерциальной системе отсчета. Роль вынуждающей силы вэтом случае играет сила инерции FИН.ωt тогда вынуждающая силаПусть точка подвеса движется по закону x=bcosω22ω cosωωt, а ее момент M=mblωω cosωωt. Здесь m- масса маятника, b - амплитудаFИН=-ma=-bωколебаний точки подвеса, l - плечо силы, ω - частота вынуждающей силы.Движение маятника в этом случае описывается уравнением, аналогичным уравнению (1):I"α" = − k ′α − hα" + bmlω 2 cosωtилиbmlω 2"α" + 2βα" + ω α =cosωtI20Установившиеся вынужденные колебания такого маятника совершаются по законуωt-φ)α= α0cos(ωгдеα0 =(ωmb lω 2 I20−ω)2 2+ 4β ω22,tgϕ =2βωω 02 − ω 2т.е.