МУ-Э-81 (Изучение вынужденных электрических колебаний в колебательном контуре)

Московский Государственный ТехническийУниверситет им. Н.Э. БауманаКафедра физики ФН-4Бянкин В.М., Козлов В.А. Инфимовский Ю.Ю.Изучение вынужденных электрических колебаний вколебательном контуре.Методические указания к лабораторной работепо курсу общей физики.Э-812014Цель работы: измерение амплитудных резонансных кривыхколебательных контуров и определение по ним характеристик контуров:резонансной частоты, ширины резонансной кривой, добротности,коэффициента затухания, логарифмического декремента, а так же расчётноминальных значений ёмкости и сопротивления.Теоретическая часть.1.Вынужденные электрические колебанияЧтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на системувнешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрическихколебаний это можно осуществить, если на вход колебательного контура,состоящего из последовательно соединённых катушки индуктивности L(приложение 1), конденсатора ёмкости C (приложение 2) и омическогосопротивления R (приложение 3), подать переменное напряжение(1)(рис.1).Вконтуревозникнутвынужденныеколебания, которые будутпроисходить в такт сизменениямивнешнеговоздействия.Частотавынужденныхколебанийбудет совпадать с частотойвнешнего приложенногонапряжения.Рис.12.Уравнение вынужденных колебаний и его решения.Запишем закон Ома для участка цепи между точками 1 и 2,содержащего катушку индуктивности L, омическое сопротивление R иклеммы, на которые подаётся внешнее напряжение,котороеследует рассматривать как действующую в контуре ЭДС.

В катушкеиндуктивности за счёт изменения силы тока I возникает ЭДС самоиндукции. Закон Ома для участка цепи 1-2 имеет вид(2)1гдеи– значения потенциалов в точках 1 и 2 цепи, равныепотенциалам обкладок конденсатора.Силу тока I и разность потенциаловзаряд конденсатора q:можно выразить через,.(3)ЭДС самоиндукции равна.(4)Подставим выражения для разности потенциалови ЭДСсамоиндукции, а так же зависимость от времени внешнего напряженияU в соотношение (2):(5)Учитывая связь между силой тока I и зарядом конденсатора q (3) и,выполнив преобразования, получим из (5) уравнение вынужденныхколебаний:I(6)где и – первая и вторая производные по времени величины заряда qконденсатора.Вводя обозначения:– коэффициент затухания и–собственная частота контура, представим уравнение (6) в следующей форме(7)Из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решениеуравнения (7) имеет вид(8)Первое слагаемое представляет собой затухающее колебание счастотой, начальной амплитудойи начальной фазой .Второе слагаемое – это вынужденное колебание с циклической частотой ,равной частоте приложенного напряжение, и амплитудой.

Вынужденное2колебание заряда q отстаёт по фазе от колебания приложенного напряженияU на величину .Амплитуда вынужденных колебанийравна.(9)Разность фаз колебаний заряда q и внешнего напряжения Uопределяется выражением.(10)По прошествии достаточного времени амплитуда затухающегоколебаниястановится малой по сравнению с амплитудойвынужденного колебания, так что слагаемым, соответствующимзатухающему колебанию, в решении уравнения вынужденных колебанийможно пренебречь. Нетрудно убедиться, что в этих условиях решениеуравнения (7) имеет вид(11)где величиныиопределяются формулами (9) и (10).На практике с помощью амперметра и вольтметра измеряют силу токаи напряжение в различных участках цепи, а не величину зарядаконденсатора.3.Сила токаСилу тока в контуре при установившихся колебаниях найдём,дифференцирую по времени выражение (11) для заряда q:(12)где– амплитуда тока, =есть разность фаз между током I вконтуре и колебаний поданного на вход колебательного контура внешнегонапряжения.Умножая правую часть равенства (9) наамплитуды тока в контуреполучим выражение для3(13)Подстановка в формулу (13) выраженийидаёт(14)Амплитуда токав контуре определяется амплитудой напряженияпараметрами цепи R,L,C и частотой .Тангенс разности фаз колебанийподанного на вход контуранапряженияи силы тока в контуреопределяется через параметр , заданный выражением (10)(15)Таким образом, колебания тока в контуре отстают от колебанийподанного на вход контура напряжения на угол , который зависит отпараметров цепи R,L,C и частоты .4.

Напряжение на конденсатореРазделив выражение (11) на ёмкость C, получим напряжение наконденсаторе(16)где– амплитуда напряжения на конденсаторе.Разделив на величину C правую часть выражения (9) дляучитывая равенстваииполучим выражение амплитудынапряжения на конденсаторе(17)Колебания напряжения на конденсаторе (16) отстают по фазе отколебаний тока в контуре (12) на величину.45.Амплитудные резонансные кривые. Явление резонанса.Амплитуднымирезонанснымикривыминазываютграфикизависимости от частоты амплитуды токаи амплитуды напряжения наконденсаторе.График зависимости амплитуды напряженияна конденсаторе отчастоты, поданного на вход колебательного контура напряженияпредставлен на рис.2 (описывается выражением (17) ).При определённой частотевнешнего напряжения U, которуюмыобозначимчерез,амплитуданапряжениянаконденсаторедостигаетнаибольшего значения.Рис.2Положение максимума функции,то есть значение,найдём приравняв производную поот подкоренного выражения (17) кнулю:=(18)Из формулы (17) видно, что при, амплитуда напряжения наконденсаторе становится равной амплитуде внешнего напряжения:(19)На рис.3.

изображены амплитудныерезонансные кривые функциидляразных значений.Рис.35Чем меньше, т.е. чем меньше активное сопротивление контураR, тем выше и острее максимум функциизначению .и тем ближекЗависимостьамплитудысилы токаот частотыподанного на вход колебательногоконтуранапряженияописываетсявыражениями (13) и (14) иизображена на рис.4.Рис.4Амплитуда силы тока в контуре достигает наибольшего значенияпри частоте. Значение частотыможно найти, приравняв кнулю производную по переменной подкоренного выражениястоящего в знаменателе правой части равенства(14).

Следовательно амплитуда тока в цепи является максимальной, есличастота внешнего напряжения совпадает с собственной частотой контура:(20)Отрезок, отсекаемый амплитудной резонансной кривой на оси,равен нулю – при постоянном напряжении установившийся ток в цепи сконденсатором течь не может.Резонансом называется явление, когда при некоторой определённойчастоте внешнего переменного напряжения U амплитуда напряжения наконденсаторе достигает максимального значения. Соответствующая частотаназывается резонансной частотой рез . Резонансная частотадляопределяется формулой:(21)6Чем меньше β, тем ближе резонансная частота к значению.6.

Относительная высота максимума амплитудной резонансной кривой.В случае слабого затухания (при) частота, при которойфункциядостигает наибольшего значения, приблизительно равнасобственной частоте контура :(22)Согласно (17) значение функции, равнов точке максимума при.В соответствии с (17) приамплитуде внешнего напряжениявеличина(23)становится равной:(24)Отношение значений функциии в точкеравнов точке максимума при(25)Здесь Q – добротность контура. Таким образом, добротность контура Qпоказывает, во сколько раз амплитуда напряжения на конденсаторев условиях резонанса () превышает величину напряжения наконденсаторе при(см. рис.2).

Добротность контура Q характеризуетотносительную высоту максимума амплитудной резонансной кривой.7. Ширина амплитудной резонансной кривой.Ширинаамплитудной резонансной кривой, это диапазон частотколебаний внешнего напряжения U, границам которого соответствуютзначения напряжения на конденсаторевраз меньше(приложение 4) максимального значения(рис. 5).7Рис.5Используя формулу (17) и учитывая, что при резонансеполучим(26)Ширина амплитудной резонансной кривойприблизительно равнаудвоенному коэффициенту затухания колебательного контура.

Чем меньшекоэффициент затухания , тем уже амплитудная резонансная кривая.Отметим, что отношение резонансной частотык ширинеамплитудной резонансной кривойприблизительно равно добротностиконтура Q:(27)Добротность колебательного контура определяет также остротуамплитудных резонансных кривых (рис.3).Экспериментальная часть1.Описание установкиВ состав экспериментальной установки для изучения вынужденныхэлектрических колебаний в полном (последовательном) колебательномконтуре (рис.6) входят: 1-цифровой генератор сигналов; 2 – катушка (300витков); 3 – коммуникационная коробка; 4 – угольное сопротивление; 5 –конденсатор; 6 – цифровой мультиметр; 7 – соединительные провода с8комбинированными штекерами. Комбинированный штекер (штекер сгнездом) используется в точках, где на схеме имеются узлы (узел - точка, вкоторой сходятся три или более проводников).Рис.6Цифровой генератор сигналов является источником переменногонапряжения, подаваемого на вход колебательного контура.

Внешний видпередней панели генератора представлен на рис.7, где: 1-дисплей; 2- кнопкименю для дисплея; 3- навигационная клавиатура; 4-USB порта; 5 – выход нанаушники; 6-выход синхронизации; 7 выход; 8 – усилитель выхода; 9– кнопка режима выхода.Рис.79Цифровой мультиметр типа 2010 используется для измеренияпостоянного напряжения на конденсаторе. Внешний вид передней панелимультиметра представлен на рис.8, где:1-ЖК-дисплей с подсветкой; 2переключатель функций (выбор диапазона измерений); 3 – COM (общийвход-разъём); 4 –-вход-разъём; 5 – mA входразъём; 6 – 20A вход-разъём; 7 – удержание данных кнопка; 8 – ОС – ОFкнопка; 9 – кнопка подсветки; 10 – кнопка ВКЛ-ВЫКЛ.Рис.8Для генератора и мультиметра подробная информация офункциональном назначении элементов управления и правила обращения сними прилагается к методическим указаниям лабораторной работы.Для получения вынужденных электрических колебаний вколебательном контуре и их изучения в данной работе использоваласьэлектрическая схема, приведённая на рис.9 : Г-генератор; L – катушка; КК –коммуникационная коробка; R – сопротивление; C – конденсатор; М –мультиметр.10Рис.92.Проверка готовности установки к работе1.