МУ-О-26 (Дифракция света)

Московский государственный технический университет им. Н. Э. БауманаИ. Н. ФетисовДИФРАКЦИЯ СВЕТА.Методические указания к лабораторной работе О-26 по курсу общей физики.Москва, 2001Цель работы - изучение дифракции света; экспериментальная проверка формул для дифракцииФренеля (часть А) и Фраунгофера (часть Б).(Примечание: в соответствии с маршрутом студенты выполняют обе части или одну, причемтеоретическая часть является общей).ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬДифракция.

Принцип Гюйгенса-ФренеляОпыт показывает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно (геометрическая оптика). Однако при некоторых условиях наблюдается огибание лучами света контуранепрозрачных тел и, следовательно, проникновение света в область геометрической тени. Такого рода явления, в которых имеются отклонения от законов геометрической оптики, называютдифракцией света.

Дифракция обусловленаволновойприродой света и наблюдается такжеPдля других волн. Первая элементарная количеMrственная теория дифракции развита О. Френеϕлем (1816) и базируется на принципе Гюйгенса!Френеля, который является основным постулаnтом волновой теории, описывает и объясняетмеханизм распространения волн, в частностисветовых.Пусть световая волна от источника Q паQдает на непрозрачный экран MN с отверстием(рис.1).

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля,каждый элемент волновой поверхности S, котоВторичныерой достигла в данный момент волна, являетсяволныцентром вторичных сферических волн. Вторичные волны когерентны (разность фаз междуними не изменяется со временем) и интерфериSруют. Для нахождения амплитуды световойволны в любой точке Р за экраном необходимо,исключивдействие источника Q, заменить егоNдействием вторичных источников, т.е. сложитьвторичные волны с учетом их амплитуды и фаРис. 1зы.Амплитуда сферической волны убываетс расстоянием r от источника по закону 1/r.

Следовательно, от каждого участка dS волновойповерхности Е в точку Р приходит колебаниеa ⋅ dS(1)dE = K (β) −cos(ωt − kr + α)rВ этом выражении (ωt + α) - фаза колебания в месте расположения волной поверхности S,k=2π/λ - волновое число, λ - длина волны, r - расстояние от элемента поверхности dS до точкиР. Множитель а определяется амплитудой волны в том месте, где находится dS. Амплитудавторичной волны пропорциональна площади элемента dS. Коэффициент K(ϕ) зависит от угла ϕ!между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке Р.

При ϕ=0 этот коэффициентмаксимален, при ϕ=π/2 он обращается в нуль.Результирующее колебание в точке Р представляет собой сумму колебаний (1), взятыхдля всей волновой поверхности S в пределах отверстия в экране:a ⋅ dS(2)E = ∫ K (ϕ)cos(ωt − kr + α )rЭта формула, являющаяся аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля, позволяет найти амплитуду волны в каждой точке за экраном.2. Зоны Френеля. Волна в свободном пространстве.dcb+3bλ2b+2aQOb+λ2λ2P1-я зона2-я зонаacbdabРис.

2Френель предложил простой способанализа, заменяющий вычисление интеграла (2) и пригодный в случаях, обладающих симметрией.Рассмотрим распространение всвободном пространстве монохроматической световой волны длиной λ, източки Q в точку наблюдения Р (рис.2).Согласно принципу Гюйгенса-Френеля,действие источника Q заменяют действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности S, в качестве которой выбирают поверхность фронта сферическойволны, идущей из Q. Далее поверхностьS разбивают на кольцевые зоны так,чтобы расстояния от краев зоны до точки наблюдения P отличались на λ/2 (см.рис. 2). Образованные таким образомучастки поверхности S называются зонами Френеля.

Участок Оа сферической поверхности S называется первойзоной, ab - второй зоной, bc - третьейзоной Френеля и т.д. Можно показать(см. [1-3]), что площади зон примерноодинаковые, а их радиусы определяются выражением:a ⋅b(3)λa+bЗдесь rm - радиус внешней границы m-й зоны ( m = 1, 2, 3 и т.д.), а - радиус волновой поверхности, b - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р (рис. 2).Волновой процесс в точке Р можно рассматривать как результат интерференции волн, приходящих в точку наблюдения от каждой зоны в отдельности. При этом надо принять во внимание,что в точке Р амплитуда колебаний Am от каждой зоны медленно убывает с ростом номера зоныm (так как при этом возрастают расстояние r и угол ϕ), а фазы колебаний, вызываемых в точкеР смежными зонами, противоположны.

Поэтому амплитуда A результирующего колебания вточке P может быть представлена в виде(4)A = A 1 − A 2 + A 3 − A 4 + ...rm2 = mВсе амплитуды от нечетных зон входят c одним знаком, от четных зон - с другим. Запишем выражение (4) в видеAAAAA(5)A = 1 + ( 1 − A 2 + 3 ) + ( 3 − A 4 + 5 ) + ...22222Выражения в скобках равны нулю, и формула (5) упрощается следующим образом:A(6)A= 12Согласно (6), амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р всеми вторичными волнами (от всехзон), равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь первой зоной.

Из (3) получаем, например, что для видимого света (λ=5⋅10-7 м) и расстояний а = b = 1 м радиус первой зоны равенr1=0,5 м. Следовательно, распространение света от Q к Р происходит так, как если бы световойпоток шел внутри очень узкого канала вдоль QP, т.е. прямолинейно.3. Дифракция Френеля от круглых отверстий и диска.Поставим на пути сферической монохроматическойволны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса r0. Расположим экран так,чтобы перпендикуляр, опущенный из источника светаPr0Q на экран, попал в центр отверстия (рис. 3).

Будемрассчитывать не всю дифракционную картину от отQOверстия, а только амплитуду волны в точке Р, лежащейиз оси симметрии QO.Если дифракционная картина создается сходящимисялучами, как показано на рис. 3, то говорят, что имеетместо дифракция в приближении Френеля. Если лучипараллельны (точка Р и источник Q находятся далекоот отверстия или используются фокусирующие линзы),то такие случаи называют дифракцией Фраунгофера.Более четкий критерий для различных видов дифракabции см.

в [1, 2].При некоторых значениях расстояний а и b (см. рис. 3)отверстие оставит открытым для точки наблюдения PРис. 3целое число m зон Френеля, т.е. r0 = rm, где rm вычисляется по формуле (3). Следовательно, число открытых зон Френеля определяется выражениемr2 1 1(7)m= 0 ( + )λ a bВ соответствии с (4) амплитуда в точке Р будет равна(8)A = A1 – A2 + A3 – A4 + … ± AmПеред Am берется знак плюс, если m нечетное, и минус, если m четное.Если отверстие открывает небольшое четное число зон, то сумма (8) равна нулю и в центре дифракционной картины будет темная точка (рис. 4б); если число зон нечетное, то сумма (8) равна амплитуде от одной зоны и центр дифракционной картины будет светлым (рис. 4а).Если убрать преграду с отверстием, амплитуда в точке Р станет равной A1/2 (см.

(6)). Таким образом, преграда с отверстием, открывающим небольшое нечетное число зон Френеля, не тольконе ослабляет освещенность в точке Р, но, напротив, приводит к увеличению амплитуды в двараза, а интенсивности (энергетической величины, пропорциональной квадрату амплитуды) - вчетыре раза.r0QбaPOabРис. 4Рис. 5Поместим между источником света Q и точкой наблюдения P непрозрачный круглый диск (илишар) радиуса r0 (рис.5). Если диск закроет m первых зон Френеля, амплитуда в точке P будетравнаAAA(9)A = A m +1 − A m + 2 + A m + 3 − ... = m +1 + ( m +1 − A m + 2 + m + 3 ) + ...222Выражения в скобках формулы (9) равны нулю; следовательно,A(10)A = m +12Дифракционная картина от круглого диска показана на рис.

6. Вне геометрической тени наблюдаются темные кольца. В центре тени – светлое пятно (т.н. пятно Пуассона). Согласно формуле(10), оно создается вторичными волнами первой кольцевой зоны Френеля, окружающей диск.При небольшом числе закрытых зон амплитуда Am+1 мало отличается от A1. Поэтому интенсивность в точке P будет почти такая же, как при отсутствии преграды между источником Q и точкой Р (см. (6)). Интенсивность света в пятне Пуассона плавно уменьшается по мере роста числазакрытых диском зон, так как уменьшается Am+1; это происходит при увеличении размера дискаили (и) при уменьшении расстояний а и b (рис. 5).4.

Дифракция Фраунгофера на щелиПусть свет от удаленного источника 1 проходит через линзу (объектив) 3 и собирается в ее фокальной плоскости на экране (рис. 7). Объектив создает на экране изображение источника света (предмета).Если перед объективом поместить экран 2 с отверстием, ограничивающим поперечные размеры пучка, то вид изображения на экранезависит от размеров и формы отверстия. Только тогда, когда открытадостаточная часть объектива, изображение имеет вид, точно воспроизводящий форму источника.

При уменьшении же работающей частиобъектива наблюдаемая картина в большей или меньшей степени искажается и может даже совсем не напоминать формы источника.Рис. 6Так, например, при рассматривании удаленной светящейся нити черезобъектив, прикрытый экраном с узкой щелью (параллельной нити), вфокальной плоскости объектива видна светлая размытая полоса с несколькими максимумами иминимумами.Таким образом, изображение, даваемое объективом, есть всегда дифракционная картина, возникающая вследствие ограничения сечения светового пучка оправой линзы или специальной диафрагмой.Тип дифракции, при котором рассматриваетсядифракционная картина, образованная парал2лельными лучами (как в данном случае), получилназвание дифракции Фраунгофера.

ПрактическиϕEFэтот случай весьма важен, ибо он находит применение при рассмотрении многих вопросов, например, оптических инструментов.3Мы рассмотрим дифракцию Фраунгофера отдлинной узкой щели, которая важна для дифракционной решетки.Пусть отверстие 1 в экране 2 представляет собойщель шириной b и длиной много больше ширины(рис.8). Волновая поверхность FE падающейЭкранPволны, плоскость щели и экран 3 параллельныдруг другу.

Картина, наблюдаемая в любойплоскости, перпендикулярной к щели, будетРис. 7одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости рис. 8. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол ϕ, образуемыйлучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.1b21Fϕ∆EϕGОϕ3QЭкранРис. 8картины на экране разобьем площадь щели на ряд узких параллельных полосок равной ширины. Каждая из этих полосок может рассматриваться как источник вторичных волн, причем фазы всех этих волн одинаковы, ибо при нормальном падении света плоскость щели совпадает сфронтом волны. Кроме того, и амплитуды вторичных волн будут, одинаковы, ибо выбранныеIϕ12342λРис. 9−2λb−λb0λb2λbsinϕРис.