Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 65

Глава Ъ'П1 2. В = 4, г = 2. Малая квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно полуопределенной. ОТВЕТЫ Глава 1 1. ~ВС!/!СА/ = Л/(1 — Л). 2. АС(1,1/2). 3. (5, — 3). 1 4. Точка пересечения медиан: АО = — (АВ+ АС). 3 1. (1, 1). 2. П(хг — х~ + хз, дг — уз + уз). 4. х = гсоаусоаО; д = гяпрсоа0; в = гяпд. 1. сг = аг:г', х = ах' + аш Координаты уменьшаются вдвое. 2. х = — ( — х'+ у'+ 1), д = — — (х'+ у' — 1). 2 2 3. О противоположная О вершина параллелепипеда, построенного на базисных векторах. Концы соответствующих базисных векторов совпадают. 3.

(3/2)а. 5. соагг = (соаг:г — соагг сов у)/(япггяп у). 6. — 12~/2. 19 Д.В. Беклемишев Указания и ответы к упражнениям 7. Необходимо и достаточно, чтобы детерминант матрицы был положителен. 8. (см) Глава 11 1.х +у =4. З.х +ху+у — х — у=О. 4.х2+у =4г. 32 1.

х = 2 — 211 у = 2 + 81 г = 1. 2. х = 1 + 21~ — 3121 у = 1~1 г = 1 . 3. (2, 0,2), 1~ = — 1, 82 = 1. 4. Зх — 2у — 5~+ 4 = О. 5. а) г= ', +1а; б) г= —, —, +г(гц,п2]. (а, Ь) В1 а1 .02пО )ар (п~!- ')22 (з 33 1. О( — 8,1), г = 4. 2. (А2А2+ В1В.)С~С < О. 3. х = 81, у = 651, г = 491.

2 1~ ~/2 4. О (О, 2, 1), г = 22; О (О, †, †), ~ = (г~ — г2ь ав, ае) 6. г=г~+а~' ' ' +а0~. (ао, а~, ае) Глава 1?1 19 4 ,(. у),, у ( +у)+, + Зу+ 1, — Зх+ 4у — 1 5 5 пересекающихся, параллельных и совпавших пря- 2. у' = 2х'; х' = 3. Возможны: пары мых. 4. А = С, В = О, П +.Е ) А.Е 5. Эллипс с полуосями 4~/2 и З~/2. ~3 1 122 4. Π— —,— ); Зх+у+1=0, х+Зу — 1=0. 5. Пара пересекающихся прямых.

7. х — Зу+3=0. 3. Для эллипса, параболы и ближайшей к фокусу ветви гиперболы г = = р/(1 — е сов 1р). Для второй ветви гиперболы г = — р/(1+ в сов 1р). 5. —,, + —,. 6. 2~/2. 8. Прямая соединяет точки касания касательных, проведенных к линии из данной точки. Указания и ответы и уггражнениягг 291 2. а) Однополостный гиперболоид х + у~ — 2~ + 4~ = 4; б) конус х + уе = 2(~ — 2)~. 3. Для гиперболического параболоида, заданного каноническим уравнением, нормальные векторы плоскостей ггг(6, а,0) и ие( — Ь, а, О).

Глава 1Ч 11 1. б) Да; в) нет. 2. (1ф) ' = Ь 'д 'г 3. х* =5 — у, у" =5 — х. 1. а) Да. б) нет. 2. Прямая у = 3. 4. (1, 1). 6. Свободные члены заменятся на нуль. 7. а) х" = Ь х+ азу+ с~, 1 1 б) х' = агх+ 26гу+ сг, у* = Ьгх+ агу+ сг, 'у* = — азх + Ь. у+ — с . 2 2 8. у = хФ8 —. 9. Нет. 'Р 2 10. В любом случае векторы, коллинеарные е, при а+ Ь ~ 0 еще и коллинеарные (а + Ь, — 1). 1, 1 11. х" = — — х, у' = — — у. 2 ' 2 12.

Осевая симметрия относительно у = — х ф Ф 2 1. 1/3. 3. Векторы, коллинеарные вектору: а) а(3,2); б) Ь( — 2,3). Соответствующие растяжения: а) 2~/26; б) Л66. 6. а) Ось одной симметрии перпендикулярна а, ось другой получена из нее параллельным переносом на (1/2)а. б) Оси обеих симметрий проходят через О, ось второй получена поворотом оси первой на угол го/2. Т. ф, где 1: (х" = х, у = Лу — а), д: 1х* = х, у* = у + а); 1 — сжатие к прямой у = — а/(1 — Л). Глава гг 1 3 1.

а) 7 9, б) 9; в) 48, не считая ее самой. 2. а) Нет; б) да; в) да; г) нет; 3. 2В. 4. Р = (3 — 2Л)А — (1+ Л)В+ ЛС, Л произвольно. 5. а) Нет; б) пот. 6. Нет, а = 2Ь вЂ” с. 32 2. а) Да; б) нет. 4. а) Нет. б) да. 19" Указания и ответы к упражнениям 5. а) Матрице ( — Е) отвечает центральная симметрия, а 1 -- поворот на к/2; а 6 — (а + 1)/Ь вЂ” а 1 О 0 — 1 3 — 2 0 — 1 1 , где а и о ~ 0 произвольны. 1 0 0 0 1 О 0 0 2 1 2 3 5 1. а) На А = 2, базисная подматрица, например, б) !)7 8 9!) = 2))4 5 6)) — ((1 2 3)); г) 9 все квадратные подматрицы второго порядка.

2. а) Ранг не больше двух; б) Ранг не больше и/2. 1 0 — 1 — 2 — 3 О 1 2 3 О 0 0 0 0 3. а) ; б) 1. о с1е1 А. 4. 46. 7. б) о = ЙеФА, Й = ~«» ( — 1)' '4,, где 4 дополнительный минор злемента а; матрицы А. 8. (3' + 1) /2. 10. 10. 2. ад — бе — В 4.. 5. а) Не существует; б) Ат. Ва — т. 1 0 0 0 1 0 0 1 1 — 1 — 1 1 0 0 1 — 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1/2 1 — 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Указания и ответы и уггражнениягг Глава Ъг1 1 — а а — а 2 3 0 1 — 2а За 0 0 1 — За 0 0 0 1 Р(г) = р(а) + р (а)(й — а) + — р (а)(т — а) + — р (а)(г — а)з (»птрих обо- 2 значает дифференцирование по 1). 4. ~» раскладывается по в», .~г раскладывается по в», в.; ~з раскладывается по е», ез, вз, ..., ~„» раскладывается по в», ..., е„ 5.

Ориентированы одинаково. 32 1. Например, а»,а . 2. ( 2 — 34 +1 =0 3. Например, линейная оболочка векторов ез и е». 4. а) а», а, Ь», .б) ໠— аа 5. а) Да; б) да; в) пет. 2 0 0 4 О 0 6 0 0 0 1 2 0 2 4 0 3 6 2 — 1 0 0 0 0 ' 2 — 1 б) 1 2 0 0 0 0 0 1 2 3 в) 2. Инъективно при Ва С = 2. Сюръективнь»м быть не может. 3. а) Нет; б) да. 7. а) Нет; б) да. А ~~О , где А» квадратная подматрица порядка г и ранга г.

7. Для Л» = 7 базис в собственном подпространстве векторы с координатами )) 1 — 2 0 0~ и !) 0 3 1 0~. Для Л = — 7 собственный вектор с координатами )) 2 1 — 3 (! 8. Для Л» = 1 собственное подпространство — множество симметричных матриц. Для Л = — 1 собственное подпространство множество кососимметричных матриц.

1. А = ~ а; Е; . 2. п(п + 1)/2. За базис можно принять матрицы Е;: (г ) г) стандартного базиса пространства квадратных матриц порядка и. Указания и ответы к упражнениям 3 2 0 0 3 — 2 о о з А' = 11. Я= 1. а) Нет: б) да, если 1(х) = 0 для всех х. 2. $3д — од((, где Ч = Я~(е1, е2). 3. а) ~р; = О, г < й; ~р, = (г — 1)...(1 — И)а' " ', г' ) й (г = 1,...,п); б) у', = О, 1 ~ Й + 1; ~р~„. „= И. б) 1.

а) 1 1/2 1/2 1 1 — 1 — 3 Π— 1 О 0 1 1 ~/2 — 1 — 5 0 — 1 1 4. а) К")-'+ К")'- К")', б) (~' ) + (~' ) — (~' ); 0 1 1 5. в = д — В8Ь. Последние з строк и последние в столбцов нулевые. 6. Пусть |1 — матрица, составленная из матриц всех форм, написанных одна под другой. Необходимо и достаточно Ва В ( й. 7. а) г; б) О. 9. к не является ни положительно, ни отрицательно определенной. 10.

Миноры четного порядка ) О, а нечетного порядка < О. 11. Нет. 1. а) 3:, б) 6; в) 14. 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2. а) А' = б) А'= о — -з о о 1 1 3 — 2 4 0 0 0 1 4 8 3 2 5 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 О 1 1 0 0 0 0 1 1 1 3 0 — 2 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 — 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 — 1 0 2 1 0 — 1 0 0 2 0 — 2 Указания и ответы и иггражнениягг Г л а в а Ъ'11 г в) агссоа М 7 б) 1. а) !!1 — 1 1 — 1!! О!!г; б) !!1 — 1 0 1 — 2 2 1 5 1'=„5 О 5.а) Я=— ~Л Л 2Л вЂ” Л 0 Я ~/2 о о Л 1 ~/3 ~/2 2 0 — ~/2 — ~/3 Л б)Я=— ъ'6 1..

Собственные подпространства А: !!1 — 1!!, !!2 — 3!! 2 4 т т Собственные подпространства А: !!4 — 1!!т, !!1 О!! 3. Или тождественное преобразование, или отражение в подпространстве Г': если х = х' + х", х' б гЬ", х" Е Г'~, то А(х) = х' — х". Если ег" = 1о1, то А= — Е.

4. а) 2 и!; б) бесконечно много; в) да, в случае б). — ~/3 — 1 ~/2 ~/3 — 1 ~/2 0 2 ~/2 1 0 0 0 1 0 0 0 4 А' = 6. Поворот на 5гг/4 в плоскости векторов аг, аа и поворот на к/4 в плоскости векторов Ьг, Ь . (Углы отсчитываются от аг к а и от Ьг к Ь .) Координатные столбцы аг, а2, Ьг, Ь соответственно 1 2 1 2 2 0 1 7 ) 1 0 0 0 0 1 б)Я=— 3 — 1 1 1 4 ~/2 ~/8 ' 3 ~/2 5 ~/2/3 — ф/3 ф/3 ~/72/3 ф/3 ~/2/3 — ~/2/3 ф/3 2 0 0 1 2 0 2/3 0 2/3 0 2/3 0 2/5 2. — !! — 1 1 1 — 1!!т 3.

а) !!О 1 1 1!!т, !!1 1 1 — Л 1 0 — 1 0 1 — 42 2 — 2 — 2 8/3 8/3 -4 8/3 — 4 32/5 -'!!11 — 1 — 1!! . 1!! . 4. 1/ „/й. 1 ~/2 1 0 Указания и ответы к упражнениям 13 1. (9 — 151 )/8. 2. Ь*(х,у) = Ь(у,х). 3. 1 — 5 „„/К 1 21 9. Без ог аничения ~(х) = 26(з1 )' Ь(х) = (О')' + (з1 ) . Р на размерность условие только достаточно.

Пример: (~) и(~) . 34 1. а) /а/ = 2, /Ь! = 3, сов(а, Ь) = (3+ г)/6, соа(Ь, а) = (3 — г)/6; б) Векторы а и Ь'( — 2 — Зэ/2,3/2 — г) ортогональны, Ь' = Ь вЂ” сна, = (3 — г)/4. г — г 1 ΠΠ— 1 , Я=— ъ/2 : А и самосопряженное, и уни- 1 1 тарное 5. )(г 1(), ~! — г 1)! Глава Ъ~111 — 3 О О 1 — 2 1 О 2 — 3 О 1 + ~з а) Пустое множество или плоскость; б) о1пз Р ) 1з~ + й — п. 32 Л з 1 з 1 з ц — и+ и+2, 1, /3, Л з г= — Ц + ~/ — 71 — ~/ — з1 — 2~/3, 2 Ъ5 Ч20 ~з 1 2 з ъ'5 ъ'5 2.

Гиперболический параболоид. 3. — 1/2 < а < О. Глава 1Х 2. а) 64; б) 64. 3. в';,; = ( — 1) ~"'"""~с1еФЯ, если г~,...,г„, различны, и О в противном случае. /3 5. Я= О /6 /3 6. Да; 7. а) (~') 1 ~/2 — 2 ~/2, 4(ц") +4(ц ) +(з1з) . 1 ~/2 (~ ) и 2('~з; б) (~') и (~') — (~ ) . Указания и ответы и уггражнениям 297 4. Линейное преобразование А(х) = 1(х)а имеет матрицу гхгр. 5. Четыре тензора типа (1, 1) и два инварианта. 1 1 2 1 1 О 2 3 ' С 3 2 ' 1 1 2.  — матрица преобразования, сопряженного преобразованию с матрицей С . Их детерминанты и следы должны быть одинаковы.

Остальные детерминанты равны, так как сне~ Г = 1. 3. 2а~™;,р з 1. (ег, е, ез) ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсцисса 17 Аппликата 17 Базис 16, 160 — биортогональный 37 жорданов 210 ортогональный 219 ортонормироваппый 19 положительный 27, 164 правый 28 сингулярный 233 — стандартный 162, 165 Бивектор 277 Вектор 9, 10, 245 коллинеарный 10 компланарный 10 направляющий 47 — — плоскости 47 — — нулевой 9, 158 присоединенный 209 —, абсолютная величина 10 — —, высота 208 —, длина 10 --, конец 9 —, модуль 10 , начало 9 Векторы приложенные 11 равные 10 — свободные 11 Векторное произведение двойное 37 Векторов линейная комбинация 159 Гипербола 67 —, асимптоты 74 , вершины 73 , ветви 73 Гипербола, вещественная полуось 73 —, директрисы 75 Гипербола, каноническое уравнение 67 , мнимая полуось 73 Гиперболоид двуполостный 91 однополостный 90 Гиперплоскость 248 Дскартова система координат 17 Детерминант второго порядка 33 Диагональ главная 115 Диаметр 81 Директрисы 71 Изоморфизм 175 — координатный 175 Инвариант 44, 262 абсолютный 279 относительный 279 евклидов 252 - ортогональный 252 Индекс суммирования 120 —, опускание 273 —, поднятие 274 Квадратичная форма 197 , закон инерции 202 — —, индекс 202 — —, канонический вид 200 -- †, сигнатура 203 — — диагонального вида 198 отрицательно определенная 201 положительно определенная 201 Классы аффинпые 109 Ковсктор 262 Композиция 96 Конус 46 асимптотический 91 второго порядка 90 Координаты 17 Предметный указатель 299 Координаты вектора ковариантные 38 вектора контрвариантные 38 сферические 21 цилиндрические 20 Критерий Сильвестра 203 Линейная комбинация 12, 159 — — тривиальная 13, 159 пространство сопряженное 194 Линии центральные 82 Линия алгебраическая на плоскости 42 — гиперболического типа 80 параболического типа 80 эллиптического типа 80 —, особая точка 85 Массив з-мерный 260 Матрица упрощенная 135 антисимметричная 116 -- верхняя треугольная 116 вырожденная 127 Грама 217 -- диагональная 116 жорданова 211 квадратная 114 ---клеточно-треугольная 181 — линейного преобразования 179 -- нулевая 116 — - обратная 129 ортогональная 219 персстановочная 123 перехода 163 — полуторалинсйпой функции 204 —, противоположная матрице 117 — прямоугольная 114 — размеров т х и 114 симметричная 116 — — системы 146 расширенная 146 — - транспонированная 115 унитарная 242 фундаментальная 153 — эрмитова 204, 242 , главные миноры 203 †, порядок 114 —, ранг 133 Матрица, след 185 —, степень 130 —, характеристические числа 184 Матрица, характеристический многочлен 184 характеристическое уравнение 184 Матрицы равные 114 Метод выделения квадратов 200 Гаусса 129 — ортогонализации Грама — Шмидта 221 Минор 140 базисный 134 — диагональный 205 дополнительный 141 Многочлен характеристический 184 Направление асимптотическое 79 — сопряженное 84 Направления главные 85 — синугулярные 112 Направляющая 45 Начало координат 17 Неизвестные базисные 152 — - параметрические 152 Образующая 45 Объем ориентированного параллелепипеда 29 и-мерного 224 Ограничение 182 Определитель порядка и 137 Ордината 17 Ортогональное дополнение 220 Отображение 95, 171 — взаимно однозначное 97, 175 , множество значений 172 — нулевое 172 обратное 177 — ранг 172 сюръективное 172 ядром 172 Пара параллельных прямых 68 мнимых 68 — пересекающихся прямых 67 совпавших прямых 68 Парабола 68 , вершина 76 —, директриса 76 , каноническое уравнение 68 —, фокус 76 300 Предметный указатель Параллелепипед ориентированный 29 Параметр 47 Перенос параллельный 246 Пересечение подпространств 167 — й-мерная 247 Площадь ориентированного параллелограмма 29 Поверхность алгебраическая 42 — - вращения 88 Подматрица 115 — дополнительная 140 Подпространство 13 — инвариантное 180 корневое 208 — линейное 165 направляющее 247 --- собственное 182 Поливектор 277 Полупространство 57 Полюс 19 Полярная ось 19 Полярный угол 19 Преобразование 95, 171 Преобразование аффинное 101, 246 диагонализуемое 188 — линейное 100, 171 обратное 98 -- ортогональное 99 присоединенное 243 — - сопряженное 225 тождественное 96 — унитарное 243 нильпотентное 208 ортогональное 230 — — первого рода 111 — — второго рода 111 †, разложение на плоские вращения 232 — показатель пильпотентности 209 --- самосопряжепнос 226, 242 Преобразования порестановочныо 179 Проектирование ортогональное 95 Проекция векторная 26 ортогональная 221 — скалярная 27 Произведение векторное 31 — внешнее 282 линейного отображения на число 177 Произведение линейных отображений 177 -- матриц 116 — скалярное 24, 240 — смешанное 30 --- тензора на тензор 265 Пространства аффинные изоморфные 246 Пространство линейное вещественное 158 комплексное 158 арифметическое и-мерное 162 аффинное и-мерное 245 бесконечномерное 162 векторное 13 векторов 245 — вещественное линейное ориентированное 164 — евклидово 215 — — комплексное 240 --- точечное 247 ориентированное 28 -, размерность 161 — унитарное 240 зрмитово 240 Прямая ориентированая 27 Пучок плоскостей 63 прямых 62 Радиус 19 Радиус-вектор 17 Разложение полярное 232 - сингулярное 234 Разность векторов 12 Ранг квадратичной формы 201 Расстояние 247 Решение тривиальное 152 Свертка 267 Связка плоскостей 63 Сжатие к прямой 96 Символ Кронекера 262 обобщенный 281 Сингулярные числа 233 Система векторов линейно зависимая 13, 160 независимая 13, 159 каноническая 67 координат декартова 247 прямоугольная 19 --- -- полярная 19 — линейных уравнений 146 Предметный унаэатель Система линейных уравнений однородная 146 приведенная 152 — — решений нормальная фундаментальная 154 Сложение 158 Собственное значение 182 Собственный вектор 183 Спираль Архимедова 64 Столбец высоты т 114 Строка длины и 114 Сумма векторов 11 — матриц 116 подпространств 167 — — прямая 168 Тензор 261 — антисимметричный по паре индексов 271 — — дискриминантный 276 евклидов 275 метрический контрвариантный 273 симметричный по паре индексов 271 , альтернирование 269 —, компоненты 261 , симметрирование 269 †,транспонирование 269 Тензоры равные 261 Точка начальная 47, 247 —, образ 95 , прообраз 95 — плоскости 47 Точки и-мерного аффинного пространства 245 Умножение на число 158 — скалярное 215 векторное 31 Уравнение мнимого зллипса 67 Уравнение множества 40 параметрическое 48 плоскости 48 --- пары мнимых пересекающихся прямых 67 — прямой векторное параметрическое 47 — пучка прямых 62 — характеристическое 184 обобщенное 238 Уравнения степень 42 Фокус 70 Форма квадратичная 197 — — - зрмитова 204 Функция билинейная 195 , коэффициенты в базисе 196 — — симметричная 197 однородная 45 --- полилинейная 263 зрмитова билинейная 204 Хорда 80 Центр пучка 62 --- линии 81 Цепочки жордановы 209 Цилиндр 45 — — прямой круговой 45 Эллипс, большая полуось 69 — —, вершины 69 , малая полуось 69 ---, зксцентриситет 70 Эллипсоид 89 р-вектор 277 простой 277 разложимый 277 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Читателю можно рекомендовать следующие подробные учебники по аналитической геометрии.