Методичка для ДЗ 1 (В.И. Волченсков, Г.Ф. Дробышев - Расчет линейных цепей постоянного тока), страница 2

281. Зададим стрелками положительные направления токов I1, I2,…, I6 в ветвях схемы.2. Зададим стрелками положительные направления контурныхтоков I11, I22, I33 в независимых контурах схемы (либо все по ходучасовой стрелки, либо все против ее хода).3. Запишем в общем виде систему n уравнений, где n — числоконтурных токов:I11R11 + I22R12 + I33R13 = E11;I11R21 + I22R22 + I33R23 = E22;(5)I11R31 + I22R32 + I33R33 = E33.4.

Вычислим все коэффициенты системы уравнений (5):• R11, R22, R33 — равны арифметической сумме сопротивленийрассматриваемого контура (например, R11 = R1 + R01 + R7 + R5 + R2);• R12 = R21, R13 = R31, R23 = R32 — равны сопротивлению ветви,общей для указанных в индексе контуров. Эти коэффициенты берутся со знаком «–», если направления контурных токов в схемеприняты одинаково, т. е.

либо все по ходу часовой стрелки, либо всепротив ее хода (например, R12 = R21 = –R2, т. е. эти коэффициентыравны сопротивлению ветви, общей для первого и второго контуров со знаком «–»).Определим элементы E11, E22, E33, соответствующие правым частям системы уравнений (5), их значения равны алгебраической суммеЭДС рассматриваемого контура; ЭДС, которые совпадают по направлению с контурным током, берутся со знаком «+», иначе — сознаком «–» (например, E11 = Е1 – Е2; E22 = Е3 + Е2 + Uab).5. Подставим найденные в п.

4 числовые значения коэффициентов в систему уравнений (5) и решим ее. Получим контурныетоки I11, I22, I33.6. Используя значения контурных токов, полученные в п. 5,вычислим реальные токи I1, I2, …, I6 во всех ветвях исходной схемы (см. рис. 2). Реальный ток в ветви равен алгебраической суммеконтурных токов, проходящих через рассматриваемую ветвь. Контурные токи, совпадающие с реальным током в ветви, берутся сознаком «+» (например, I1 = I11; I2 = –I11 + I22).92.4. Расчет токов в цепиметодом межузлового напряженияСхему электрической цепи, изображенную на рис.

1, первоначально следует упростить, заменить эквивалентной, после чегообъем вычислений существенно сократится.В схеме электрической цепи, показанной на рис. 1, имеется пассивный треугольник с резисторами R4, R5, R6, который можно заменить эквивалентной звездой с резисторами R17, R27, R37 (рис. 3), значения сопротивлений вычисляют по формуламR17 =R5 R6R4 R5R4 R6; R27 =; R37 =.R4 + R5 + R6R4 + R5 + R6R4 + R5 + R6Полученная эквивалентная схема (рис. 3) имеет два узла(4 и 7). Для расчета схемы воспользуемся методом межузловогонапряжения.

В этом случае не надо составлять систему уравнений.Рис. 3Вычислим напряжение между узлами 7 и 4 эквивалентной схемы (см. рис. 3):E G + E2G2 − ( E3 + U ab )G3U 74 = 1 1,G1 + G2 + G3где111G1 =; G2 =; G3 =R3 + R37R1 + R01 + R7 + R17R2 + R27— проводимости ветвей.10В этом выражении Ек берется со знаком «+», если оно направлено к первому узлу (узлу 7). Для напряжения Uab наоборот, еслиUab направлено к первому узлу (узлу 7), то оно берется со знаком«–», а если ко второму (узлу 4) — со знаком «+».Далее, зная напряжение U74 между узлами 7 и 4, по закону Омадля активного участка цепи определим токи I1, I2, I3 в ветвях преобразованной схемы (см. рис.

3):I1 =−U 74 + E1−U 74 + E2U + E3 + U ab; I 3 = 74; I2 =.R3 + R37R1 + R01 + R7 + R17R2 + R27В этом выражении напряжение U74, приложенное к рассматриваемой ветви, и ЭДС берутся со знаком «+», если их направлениясовпадают с направлением тока в этой ветви. Токи I1, I2, I3 одинаковые в преобразованной (см. рис. 3) и в исходной (см. рис.

1)схемах.После определения токов I1, I2, I3 вернемся к исходной схемеэлектрической цепи (см. рис. 1). Чтобы определить токи I4, I5, I6,воспользуемся первым уравнением системы (4) и первым и вторым уравнениями системы (1).2.5. Расчет токов в цепиметодом эквивалентного генератораМетод эквивалентного генератора применяют, когда требуетсяопределить ток или напряжение в одной ветви сложной электрической цепи.В основе метода лежит теорема об эквивалентном генераторе,утверждающая, что любую линейную электрическую цепь, внутрикоторой действуют некоторые ЭДС, можно рассматривать относительно выделенной из нее ветви как генератор, ЭДС которого Еэравна напряжению на зажимах цепи при отключенной от них указанной ветви, а внутреннее сопротивление Rэ — входному сопротивлению цепи со стороны этих зажимов, определяемому при условии, что источники ЭДС удалены и заменены их внутреннимисопротивлениями.

Заменяя эту сложную электрическую цепь эквивалентной, состоящей только из приемника (нагрузки) и эквивалентного генератора (источника ЭДС Eэ = Uх.х с его внутренним11сопротивлением Rэ = Rвх), задачу определения токов сводят к закону Ома при сохранении приемника как отдельного элемента эквивалентной цепи (рис. 4). Это позволяет определить ток в ветви срезистором R по формулеI=EэU х.х=.Rэ + R Rвх + R(6)Пусть требуется определить ток I6 в ветви с сопротивлением R6(см. рис.

1) методом эквивалентного генератора:I6 =EэU х.х 23=.Rэ + R6 Rвх 23 + R6Отключим в исходной схеме (см. рис. 1) ветвь с сопротивлением R6 от узлов 2 и 3 и определим напряжение холостого хода Uх.х 23(рис. 5).Рис. 4Рис. 5Запишем уравнение для контура с узлами 2—3—1—2 по второму закону Кирхгофа:U x.x 23 − I 3′ R4 − I 2′ R5 = 0.ОтсюдаU x.x 23 = I 3′ R4 + I 2′ R5 .12Для определения токов I 2′ и I 3′ рассчитаем полученную схему(см. рис.

5). В ней два узла: 1 и 4. Используем метод межузловогонапряжения:E ( R + R01 + R7 ) + E2 ( R2 + R5 ) − ( E3 + U ab ) ( R4 + R3 )U14 = 1 1.1 ( R1 + R01 + R7 ) + 1 ( R2 + R5 ) + 1 ( R4 + R3 )Вычислим токи:I 2′ =−U14 + E2+U14 + E3 + U ab; I 3′ =.R3 + R4R2 + R5Определим напряжение холостого хода Uх.х 23.Вычислим входное сопротивление Rвх 23.Удалим из предыдущей схемы (см. рис. 5) все источники (E1,E2, E3, Uab), оставив их внутренние сопротивления. Получим схему, изображенную на рис.

6.Рис. 6Проведем эквивалентные преобразования этой схемы и получим схемы, изображенные на рис. 7—9.При переходе от схемы, приведенной на рис. 7, к схеме, показанной на рис. 8, проведено преобразование треугольника сопротивлений R5, R2, R8 (здесь R8 = R1 + R01 + R7) в эквивалентную звезду с сопротивлениями Rn1, Rn2, Rn4, которые вычисляются поформуламRn1 =R5 R8;R2 + R5 + R8Rn 2 =R2 R5;R2 + R5 + R8Rn 4 =R2 R8.R2 + R5 + R813Рис.

7Рис. 8Рис. 9В соответствии со схемой, приведенной на рис. 9, запишем выражение для входного сопротивления относительно узлов 2 и 3:Rвх 23 = Rn 2 +( Rn1 + R4 )( Rn 4 + R3 ).Rn1 + R4 + Rn 4 + R3Вычислим искомый ток:I6 =U x.x 23.Rвх 23 + R62.6. Построение потенциальной диаграммыРаспределение потенциалов в электрической цепи можно представить с помощью потенциальной диаграммы.Потенциальная диаграмма представляет собой зависимостьϕ(R).14Рассмотрим в качестве примера расчет и построение потенциальной диаграммы для внешнего контура электрической цепи,схема которой приведена на рис. 1.Соответствующая диаграмма приведена на рис.

10. По вертикальной оси отложены значения потенциалов последовательногоряда точек выбранного контура (1, 3, b, а, 4, с, 5, 1), а по горизонтальной оси — сумма значений сопротивлений последовательнопроходимых участков цепи этого контура.Рис. 10Построение потенциальной диаграммы (см.

рис. 10) начинается с произвольно выбранной точки контура, например с точки 1,потенциал которой принят равным нулю: ϕ1 = 0. Последовательнообходим выбранный контур. Если построение диаграммы начали вточке 1, то и закончить его надо в этой же точке 1. Скачки потенциала на графике соответствуют включенным в цепь источникамнапряжения Е1, Е3, Uab.Потенциал точки 3 контура меньше потенциала точки 1 на значение падения напряжения на сопротивлении R4:ϕ3 = ϕ1 – I4R4.При построении потенциальной диаграммы нужно по горизонтальной оси отложить от начала координат (точка 1) в масштабезначение сопротивления R4, а по вертикальной оси — значение потенциала φ3 в вольтах.

На графике соединим потенциалы точки 1 иточки 3 прямой линией.Потенциал точки b меньше потенциала точки 3 на значение падения напряжения на сопротивлении R3:15ϕb = ϕ3 – I3R3.При построении диаграммы нужно по горизонтальной оси отложить от начала координат (точка 1) в масштабе значение суммысопротивлений (R4 + R3), а по вертикальной оси — значение потенциала ϕb в вольтах.

На графике соединим потенциалы точки 3 иточки b прямой линией.В соответствии со схемой, приведенной на рис. 1, потенциалточки a будет больше потенциала точки b на значение Uab:ϕa = ϕb + Uab.Сопротивление участка ab не задано, примем Rab = 0, что соответствует идеальному источнику напряжения. На диаграмме получимскачок потенциала вертикально вверх на значение Uab.Двигаемся по контуру дальше от точки a к точке 4. На этомучастке имеем еще один идеальный источник напряжения (Е3) свнутренним сопротивлением, равным нулю. На потенциальнойдиаграмме (см. рис. 10) этому соответствует изменение потенциала скачком вверх от точки a до точки 4:ϕ4 = ϕa + E3.Рассмотрим участок 4с. Направление тока I1 совпадает с направлением обхода контура. Потенциал точки с будет меньше потенциала точки 4 на значение падения напряжения на сопротивлении R1:ϕс = ϕ4 – I1R1.На графике (см.

рис. 10) по горизонтальной оси отложим отначала координат значение суммарного сопротивления всех ужерассмотренных участков контура. Оно равно R4 + R3 + R1. При этомзначении сопротивления отложим по вертикальной оси значениепотенциала точки с (ϕс). Полученную точку на графике соединимпрямой линией с точкой 4.На участке с5 находится реальный источник напряжения Е1 свнутренним сопротивлением R01. Направление источника Е1 совпадает с направлением обхода контура и дает увеличение потенциала на значение Е1.