Второе задание РГР

Вариант IПостройте семейство периодических решений уравненияẍ − βxẋ + λ2 x = 0в окрестности центра x = ẋ = 0 (это семейство существует благодаря теореме Ляпунова оголоморфном интеграле). Каждое решение семейства удовлетворяет начальному условию x(0) = C,ẋ(0) = 0.После нахождения периодических траекторий постройте в фазовой плоскости сравнительныекривые, соответствующие найденным аналитическим решениям и решениям численного счета(взять несколько значений C, λ = 1, β = −2).Вариант IIПостройте периодические решения уравнения (вырожденный случай)()ẍ + ω 2 x + ε aẋ + bx2 ẋ + cos 2ωt = 0После нахождения периодических решений постройте в плоскости (x, ẋ): периодические траектории, соответствующие найденным аналитическим решениям, и траектории численного счета сначальными условиями в окрестности периодической траектории (ε = 0.05, ω = 1, a = 0.5, b = −1).Вариант IIIПостройте семейство периодических решений уравненияẍ + αxẋ + βxẋ2 + ω 2 x = 0в окрестности центра x = ẋ = 0, существующее благодаря теореме Ляпунова о голоморфноминтеграле.

Каждое решение семейства удовлетворяет начальному условию x(0) = C, ẋ(0) = 0.После нахождения периодических траекторий постройте в фазовой плоскости сравнительныекривые, соответствующие найденным аналитическим решениям и решениям численного счета(взять несколько значений C, ω = 1, α = 2, β = 3).Вариант IVПостройте семейство периодических движений молекулы в поле с потенциалом Леннарда-Джонса[( )( )6 ]12bb−U (r) = 4arrпри a > 0 в окрестности центра.После нахождения периодических траекторий постройте в фазовой плоскости сравнительныекривые, соответствующие найденным аналитическим решениям и численным решениям (a = 2,b = 3).1Вариант VПостройте с помощью метода Линдштедта периодические решения уравнения()ẍ + ω 2 x = ε 2 + ax2 + bx4 ẋфазовая кривая которых окружает особую точку x = ẋ = 0.После нахождения периодических решений постройте в фазовой плоскости: периодические траектории, соответствующие найденным аналитическим решениям, и траектории численного счета сначальными условиями в окрестности периодической траектории (ε = 0.05, ω = 1, a = 3, b = −2).Вариант VIПостройте семейство периодических решений уравнения()2ẍ + ax 1 + ẋ2 = 0, a > 0в окрестности центра x = ẋ = 0 (это семейство существует благодаря теореме Ляпунова оголоморфном интеграле).

Каждое решение семейства удовлетворяет начальному условию x(0) = C,ẋ(0) = 0.После нахождения периодических решений постройте в фазовой плоскости сравнительные кривые,соответствующие найденным аналитическим решениям и решениям численного счета (взять несколькозначений C, a = 0.2).Вариант VIIПостройте с помощью метода Линдштедта периодические решения уравнения()ẍ + λ2 x = ε ẋ + aẋ3 + bx5фазовая кривая которых окружает особую точку x = ẋ = 0.После нахождения периодических решений постройте в фазовой плоскости: периодические траектории, соответствующие найденным аналитическим решениям, и траектории численного счета сначальными условиями в окрестности периодической траектории (ε = 0.05, λ = 1, a = −1, b = −2).Вариант VIIIПостройте с помощью метода Линдштедта периодические решения уравнения()ẍ + ω 2 x = ε 1 + αx4 ẋПосле нахождения периодических решений постройте в фазовой плоскости: периодические траектории, соответствующие найденным аналитическим решениям, и траектории численного счета сначальными условиями в окрестности периодической траектории (ε = 0.05, ω = 1, α = −0.5).Вариант IXПостройте периодические решения уравнения (вырожденный случай)()ẍ + ω 2 x = ε bx + x2 + a cos ωtПосле нахождения периодических решений постройте в плоскости (x, ẋ): периодические траектории, соответствующие найденным аналитическим решениям, и траектории численного счета сначальными условиями в окрестности периодической траектории (ε = 0.05, ω = 1, a = 1, b = 3).2Вариант XПостройте семейство периодических решений уравнения√ẍ + x2 + ẋ2 − 1 = 0в окрестности центра x = −1, ẋ = 0 (это семейство существует в силу теоремы Ляпунова оголоморфном интеграле).

Для этого введите возмущения по формуле x = ξ − 1, ẋ = ξ˙ и перейдите куравнению возмущенного движения. Каждое решение семейства удовлетворяет начальному условию˙ξ(0) = C, ξ(0)= 0.После нахождения периодических траекторий постройте в фазовой плоскости сравнительныекривые, соответствующие найденным аналитическим решениям и решениям численного счета(взять несколько значений C).Вариант XIПостройте периодические решения уравнения()ωtẍ + ω 2 x = ε 1 − ax2 ẋ + ε cos2После нахождения периодических траекторий постройте в плоскости (x, ẋ): периодические траектории, соответствующие найденным аналитическим решениям, и траектории численного счета сначальными условиями в окрестности периодической траектории (ε = 0.05, ω = 1, a = 0.5).Вариант XIIПостройте семейство периодических решений уравнения()ẍ + λ2 x + ax ẋ + bẋ2 = 0в окрестности центра x = ẋ = 0, существующее благодаря теореме Ляпунова о голоморфноминтеграле.

Каждое решение семейства удовлетворяет начальному условию x(0) = C, ẋ(0) = 0.После нахождения периодических траекторий постройте в фазовой плоскости сравнительныекривые, соответствующие найденным аналитическим решениям и решениям численного счета(взять несколько значений C, a = −0.2, b = 0.5).3СтудентАгеева АленаАлейникова НатальяВоробьев НикитаВолокитин НиколайДмитриев ВикторЗахарков АртемКиреева АннаФедорова НинаФетисова АнжеликаШестеркин ЕгорЯковишина Дарья№ варианта76511413101292Рекомендации и замечания:• Перед построением периодического решения рекомендую с помощью функции типа DEplot вMAPLE построить фазовый портрет и/или траектории уравнения.• Вычисление коэффициентов разложения, связанное с громоздкими выкладками, рекомендуювыполнять в MAPLE.• Числовые значения параметров подставлять только в графической части, т.е.

при построениисравнительных кривых.• Вы должны вычислить минимум три ненулевых члена разложения периодического решения!Основные вопросы на защите:1. Теорема Пуанкаре о разложении решения в ряд по степеням ε.2. Что такое секулярные члены в разложении решения x(t, ε)? Причины их появления.3.

Теорема Пуанкаре о существовании периодического решения неавтономного уравнения в невырожденном случае.4. Изолированные периодические решения в первом приближении (дать определение).5. Автономные уравнения. Их специфика.6. Теорема Пуанкаре о существовании периодического решения автономного уравнения в невырожденном случае.7. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле.8. Что такое предельный цикл? Приведите примеры уравнений, где он существует.4.