2 (Лекции)

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ.1. Однородная стенка. Рассмотрим однородную стенку толщиной δ (рис. 1), коэффициент теплопроводности которой постоянен и равен λ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t1 и t 2 . Температура изменяется только в направленииоси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские ирасполагаются перпендикулярно оси х.На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя изотермическими поверхностями.

На основании закона Фурье уравнение (1) для этого случая можно написать:q = −λdtqили dt = − dx .dxλ(а)Величина q при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтомуt=−qλx+C .(б)Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при х = 0,t = t1 = C , а при x = δ, t = t 2 . Подставляя эти значения в уравнение (б), имеем:qt 2 = − δ + t1 .λ(в)Из уравнения (в) определяется неизвестное значение удельного теплового потока q:q=λδ(t1 − t 2 ) = λ Δt .δ(1.2)Рис. 1. Однородная стенкаСледовательно, количество тепла, переданное через 1м² стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ и разности температур наружных поверхностей Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ.Уравнение (1.2) является формулой теплопроводности плоской стенки.

Оно связываетмежду собой четыре величины: q, λ, δ и Δt. Зная из них любые три, можно найти четвертую:λ=qδΔt, Δt =qδλиδ=λΔtq.(г)Отношение λ/δ называется тепловой проводимостью стенки (коэффициент теплоотдачиα=λ ⎡ Вт ⎤, а обратная величина δ/λ, — ее тепловым или термическим сопротивлением.δ ⎢⎣ м 2 ⋅ К ⎥⎦Последнее определяет падение температуры при прохождении через стенку теплового потока,равного единице.Если в уравнение (б) подставить найденные значения С и q, то получим уравнение температурной кривойt x = t1 −t1 − t 2δx.(1.3)Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводноститемпература однородной стенки изменяется по линейному закону.

В действительности жевследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим более сложные расчетные формулы.Для подавляющего большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет линейный характер вида λ = λ 0 (1 + bt ) . В этом случае на основаниизакона Фурье для плоской стенки имеем:q = − λ (t )dtdx= − λ 0 (1 + bt )dtdx.(д)Разделив переменные и произведя интегрирование, получим:()qx = − λ 0 t + bt 2 / 2 + C .(е)Подставляя в (е) граничные значения переменных, имеем при()x = 0, t = t1 и 0 = − λ 0 t1 + bt12 / 2 + C ;(ж)при()x = δ, t = t 2 и qδ = − λ 0 t 2 + bt 22 / 3 + C .Вычитая из второго равенства (з) первое (ж), получим:(з)()⎡⎤bqδ = λ 0 ⎢(t1 − t 2 ) + t12 − t 22 ⎥ ,2⎣⎦(и)откудаq=λ0 ⎡t1 + t 2 ⎤⎢1 + b⎥ (t1 − t 2 ) .δ ⎣2 ⎦(1.4)Новая расчетная формула (1.4) по сравнению с (1.2) несколько сложнее.

Там мы принимали коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значениюλ т . Приравнивая друг другу правые части этих формул, имеем:⎡t + t ⎤ λ + λ2λ т = λ 0 ⎢1 + b 1 2 ⎥ = 1.⎣2 ⎦2(к)Следовательно, если λ т определяется по среднеарифметическому из граничных значений температур стенок, то формулы (1.2) и (1.4) равнозначны.С учетом зависимости λ от температуры уравнение температурной кривой в стенке получается путем решения (е) относительно t и подстановки значения С из (ж):2⎞ 2 qx⎛1t x = − + ⎜⎜ + t1 ⎟⎟ −.b⎝b⎠ bλ 01(1.5)Следовательно, в этом случае температура стенки изменяется не по прямой, а по кривой.При этом коэффициент b положителен, выпуклость кривой направлена вверх, а если b отрицателен — вниз (рис.

2).Рис. 2. Многослойнаяплоская стенкаРис. 3. Графическийспособ определенияпромежуточных t 2 и t 32. Многослойная стенка. Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными. Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых наосновном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой — внешняя облицовка. Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит изтрех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 3). Толщина первого слояравна, второго —и третьего —. Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев равныλ1 , λ 2 и λ 3 . Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t1 и t 4 . Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контактаобозначим через t 2 и t 3 .При стационарном режиме удельный тепловой поток q постоянен и для всех слоев одинаков.

Поэтому на основании (1.2) можно написать:q=λ1⎫(t1 − t 2 ); ⎪⎪⎪λ2(t 2 − t 3 );⎪⎬q=δ2⎪⎪λq = 3 (t 3 − t 4 ). ⎪⎪δ3⎭δ1(л)Из этих уравнений легко определить изменение температуры в каждом слое:δ1 ⎫;⎪λ1 ⎪⎪δ2 ⎪t 2 − t 3 = q ;⎬λ2 ⎪δ ⎪t3 − t4 = q 3 . ⎪λ 3 ⎪⎭t1 − t 2 = q(м)Сумма изменений температуры в каждом слое составляет полный температурный напор.Складывая левые и правые части системы уравнений (м), получаем:t1 − t 4 = q (δ1 / λ1 + δ 2 / λ 2 + δ 3 / λ 3 ) .(н)Из соотношения (н) определяется значение удельного теплового потокаq=t1 − t 4δ1 / λ1 + δ 2 / λ 2 + δ 3 / λ 3.(1.6)По аналогии с изложенным выше можно сразу написать расчетную формулу для nслойной стенкиq=t1 − t n +1.n δi(1.7)∑i =1 λiТак как каждое слагаемое знаменателя в (1.6) представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения следует, что общее термическое сопротивление многослойнойстенки равно сумме частных сопротивлений [уравнение (1.7)].Если значение теплового потока из (1.6) подставить в (м), то получим значения неизвестных температур t 2 и t 3 :δ1⎫⎪λ1⎪⎬.δ3 ⎪δ2= t4 + qt3 = t2 − qλ2λ 3 ⎪⎭t 2 = t1 − q;(1.8)Внутри каждого слоя температурная кривая изменяется по прямой, но для многослойнойстенки в целом она представляет собой ломаную линию (рис.

3).Значения неизвестных температур t 2 и t 3 многослойной стенки можно определить такжеграфически (рис. 4?). При построении графика по оси абсциссе в любом масштабе, но в порядкерасположения слоев откладываются значения их термических сопротивлений δ1 / λ1 , δ 2 / λ 2 иδ 3 / λ 3 и восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном масштабе откладываются значения наружных температур t1 и t 4 . Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значенияискомых t 2 и t 3 .

При таком построении ΔABC ~ ΔADE. СледовательноDEBC=ADAB⇒ DE = ADПодставим значение отрезков и получим:BCABDE =δ1t1 − t 4⋅λ 1 δ1 / λ 1 + δ 2 / λ 2 + δ 3 / λ 3=qδ1λ1= t1 − t 2Аналогичным способом доказываем, чтоMN = q (δ1 / λ1 + δ 2 / λ 2 ) = t1 − t 3Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают (однорядную)толщиной Δ. При этом в расчет вводятся так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводность λ эк , который определяется из соотношения:q=t1 − t 4δ1 / λ1 + δ 2 / λ 2 + δ 3 / λ 3=λ экΔ(t1 − t 4 ) .Отсюда имеем, чтоλ эк =Δδ1 / λ 1 + δ 2 / λ 2 + δ 3 / λ 3=δ1 + δ 2 + δ 3δ1 / λ1 + δ 2 / λ 2 + δ 3 / λ 3Т.о.

λ эк зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельныхслоев. При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слоиплотно прилегают друг к другу и поэтому имеют одну и туже температуру. Если же поверхности имеют некоторую шероховатость, то тесное соприкосновение невозможно и между слоямиобразуются воздушные зазоры. Т.к.

теплопроводность воздуха мала (λ ≈ 0,025 Вт/(м⋅°С)), тоналичие даже очень малых зазоров сильно повлияет в сторону уменьшения λ эк многослойнойстенки. Аналогичное влияние оказывает и слой металла.Теплопроводность цилиндрической стенки.Однородная стенка.Рис. 4.Однородная стенкаРассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, м, с внутренним радиусом r1 и внешним r2 .

Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен λ.Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t1 и t 2( t1 > t 2 ) и температура изменяется только в радиальном направлении x. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими,имеющими с трубной общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной Δr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье количествотепла, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:Q = − λFdt= −2λπrldrdtdr.(а)Разделив переменные, имеемdt = −Q⋅dr2 πλl r.(б)После интегрирования (б) находим:t=−Q2 πλlln r + C .(в)Постоянную интегрирования С находим из граничных условий (при r = r1 , t = t1 , приr = r2 , t = t 2 ), получаем:Q=2 πλl(t1 − t 2 ) = 2 πλl (t1 − t 2 ) = πl (t1 − t 2 ) .rdd1ln 2ln 2ln 2r12 λ d1d1Следовательно, количество тепла, переданное в час через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору Δt = t1 − t 2 иобратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d 2 квнутреннему d1 .Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (в).