Полусеместровая контрольная работа по механике 27.10.18

1АФИО2А3А4А5А6АОценкагруппаПОЛУСЕМЕСТРОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАПО МЕХАНИКЕ27 октября 2018 г.Вариант А1А. (1,5) Ракета начинает движение в свободном пространстве из состояния покоя. Относительная скорость истечения газов изменяется пропорционально массе сгоревшего топлива: = const · (0 − ), где 0 — начальная масса ракеты. Найти скорость ракеты к концуполета, если её масса при этом равна 1 = 0 /4, а максимальная скорость истечения быларавна max .2А.

(1,5) Тонкий однородный стержень длиной ℓ и массой скользит по гладкому горизонтальному столу поступательно со скоростью 0 , перпендикулярной стержню. Стержень сталкивается с неподвижной точечной массой 3,которая прилипает к нему на расстоянии ℓ/3 от его центра. Найти угловуюскорость вращения системы после соударения.3А. (1,5) Диск радиусом катится без проскальзывания по горизонтальнойленте транспортёра в направлении её движения. Точка A расположена наободе диска, на его горизонтальном диаметре (см.

рис.). Найти радиус кривизны траектории точки A в этот момент, если известно, что её скоростьотносительно неподвижного наблюдателя образует с горизонталью угол = arcsin √15 .mCv0l/33mROAα4А. (2) Неподвижные ядра азота бомбардируются пучком -частиц ( 42He).

В результате происходитреакция 147N + 42He → 178O + 11p. При какой энергии -частиц можно обнаружить протоны,летящие назад от мишени с той же по модулю скоростью, что и у бомбардирующих -частиц?Пороговая энергия реакции равна пор = 1,47 МэВ.5А. (2) В 2017 году в Солнечной системе был обнаружен первый объект межvзвёздного происхождения — астероид Оумуамуа. Когда астероид нахоRvrCдился на расстоянии = 1 а.е. от Солнца, его полная скорость была равна = 50 км/с, а её радиальная компонента (скорость удаленияот Солнца) = 40 км/c. Найти расстояние от астероида до центра Солнца и его скорость при прохождении перигелия.

Считать известной скорость планеты на круговой орбите на расстоянии 1 а.е. от Солнца: = 30 км/с.6А. (3) К аэростату массой = 150 кг привязана верёвочная лестница длиной = 40 м, нанижнем конце которой находится человек массой = 50 кг.

Исходно аэростат находитсяв равновесии и неподвижен. Человек начинает подниматься вверх с постоянной скоростью = 0,2 м/с относительно лестницы. Сила сопротивления воздуха, действующая на аэростат,пропорциональна его скорости = , где = 1,0 Н · с/м. На какой высоте окажется человек, когда доберётся до конца лестницы? Действием сопротивления воздуха на человекапренебречь.1БФИО2Б3Б4Б5Б6БОценкагруппаПОЛУСЕМЕСТРОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАПО МЕХАНИКЕ27 октября 2018 г.Вариант Б1Б.

(1,5) Ракета начинает движение в свободном пространстве из состояния покоя. Относительнаяскорость истечения газов изменяется обратно пропорционально массе ракеты: = const . Найтиотношение стартовой и конечной масс ракеты 0 /1 , при котором её конечная скорость будетравна 1 = 45 max , где max — максимальная скорость истечения за время полета.2Б. (1,5) Тонкий однородный стержень длиной ℓ и массой лежит на гладкомгоризонтальном столе и свободно вращается с угловой скоростью 0 .

Нарасстоянии ℓ/4 от центра стержня на столе находится точечная масса 2,которая при ударе о стержень прилипает к нему. Найти угловую скоростьвращения системы после соударения.3Б. (1,5) Диск радиусом катится без проскальзывания по горизонтальнойленте транспортёра в направлении её движения. В момент, когда точка Aна ободе диска расположена на его горизонтальном диаметре (см. рис.), еёскорость относительно неподвижного наблюдателя образует с горизонталью угол = arctg 32 . Найти радиусы кривизны траектории точки A, когдаона проходит верхнее и нижнее положения.mω0Cl/42mA1RAαA24Б. (2) При синтезе 115-го элемента таблицы Менделеева (элемент получен в 2003 году в ОИЯИ,Дубна, и с 2016 года официально назван «московием» с обозначением Mc) неподвижные ядраамериция-243 бомбардировались ядрами кальция-48 с кинетической энергией 0 = 248 МэВ и482881наблюдалась реакция 24395Am + 20Ca → 115Mc + 3 0n.

Кинетическая энергия продуктов реакции′в системе их центра масс оказалась равна прод= 40 МэВ. Найти пороговую энергию порбомбардирующих частиц, при которой реакция возможна.5Б. (2) Две звезды массами 1 = и 2 = 9 движутся параллельными курMсами навстречу друг другу с относительной скоростью = 20 км/с. Какимbдолжно быть прицельное расстояние между курсами, чтобы максимальное9Mсближение звёзд оказалось равно = 40 а.е.

Известно, что у звезды естьпланета, движущаяся по круговой траектории радиуса 0 = 1 а.е. со скоростью = 30 км/с.6Б. (3) Аэростат массой = 250 кг, в корзине которого находится человек массой = 50 кг,висит неподвижно в состоянии равновесия на высоте = 30 м. Человек начинает спускатьсявниз по верёвочной лестнице, привязанной к корзине, так что его скорость относительно лестницы постоянна и равна = 0,6 м/с.

На какой высоте над землей будет находиться человекчерез время 1 = /? На аэростат действует сила сопротивления воздуха, пропорциональнаяквадрату его скорости ∝ 2 , причём установившаяся скорость подъёма пустого аэростатаравна ∞ = 5 м/c. Действием сопротивления воздуха на человека пренебречь.РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 27 октября 2018 г.1А. (Касьянова Н.В.) Уравнение Мещерского: (︁= −(0 − ) ,(0 ln 0 − 0 + ).)︁ (︀откуда =)︀00ln − 1 = 43 ln 4 − 1 max = 0,85max .Заменяя max = (0 − 1 ), найдём 1 = max 0−112А. (Попов П.В.) Перейдём в систему центра масс: скорость = 14 0 , расстояние от центра стержня до ЦМ системы = 3/3= 14 ℓ.

Момент4(︁ 2 импульса в СЦМ: )︁ начальныйℓℓ3ℓ220 = (0 − ) + 3(− )( 3 − ) = 4 0 3 , конечный 1 = ℓ12 + + 3( 3 − ) . Из ЗСМИнаходим =1/401/12+1/16+1/48 ℓ302ℓ=.3А. (Крымский К.М.) При отсутствии проскальзывания скорость центра диска относительно ленты равна линейной скорости вращения точек обода: отн = л − = . Абсолютная скорость точ2ки A: = sin , её ускорение = , нормальная компонента = / sin . Радиус кривизны√2 = = sin3 = 5 5 .224А. (Пенкин М.А.) Найдём энергию реакции: пор==откуда22( + ) + ,7 = + пор = 9 пор = 1,14 МэВ.

По условию протоны приобретают импульс = − = − 14 .22Импульс кислорода = − = 45 . Из сохранения энергии имеем =откуда =2134 + , =3413 =238117 пор=22+22+ ,≈ 3 МэВ .√︀222 , где =5А. (Попов П.В.) Энергия астероида (на единицу массы) = 2 − =−/.22 = 2 = 502 − 2 · 302 = 700 (м/с)2 . Из сохранения момента импульСкорость на бесконечности ∞√︀22 2 − 2 = 30 м/с. Из сохранения энергии имеем 2∞ = 2 − 2 0 .

Исса: = , где =2 2 + 2 2 − 2 = 0. Положиключая и обозначая = /0 получаем квадратное уравнение ∞√ 4 2 2√2− + + ∞−1+ 1+7/9тельный корень == 9= 37 , т. е. ≈ 0,43 а.е. Скорость в перигелии72∞ = = 30 ·73= 70 км/с .6А. (Федоров Г.Е.) Уравнения движения аэростата и человека (ось вверх): = − − − , = − + . По условию = − = const, поэтому / = /. Из равновесия в начальныймомент находим силу Архимеда: = ( + ). Складывая уравнения, находим уравнение движенияаэростата:( + )= −.1Начальное условие: 0 + 0 = 0 и 0 = 0 − , откуда 0 = − + = − 4 = −0,05 м/с(︁)︁(0 = 0,15 м/с).

Решение уравнения: = 0 exp − + . Путь, пройденный человеком:Z + = + = + 0(︂(︂1 − exp − +)︂)︂.0Подставляя = / = 200 с, находим = 40 − 0,05 ·1Б. (Касьянова Н.В.) = − , =2Б. (ПоповП.В.)Системабудет(︁1−10вращаться2 43)︁2001 (1, max =вокругтельно центра стержня на ==(︁ 2)︁222, откуда =12 0 = ( 12 + ) + 2( 4 − )16 ℓ.− −1 ) = 33,7 м .1 ,1 = max (1 −своегоцентра10 ),масс,откуда01=5.смещенномотноси-Из сохранения момента импульса имеем1/121/12+1/36+1/72 0=23 0.3Б. (Крымский К.М.) При отсутствии проскальзывания скорость центра диска относительно ленты равналинейной скорости вращения точек обода: отн = л − = . Тогда из треугольника скоростей в2+начальном положении имеем ctg = л.

В верхнем и нижнем положениях: (+л±) = 2 .Отсюда = (ctg ± 1)2 . После подстановки ctg = 32 , получаем 1 =254 ,2 = 14 .4Б. (Попов П.В.) Найдём энергию реакции: 0 ==22·Am′ 0 − = 167 МэВ. Для порогового случая291′Am = 0 − Am = 248 − 243 40 ≈ 200 МэВ .да =пор =22·Ca+ + ′ , где = Am + Ca , откуимеем пор =202·Ca5Б. (Попов П.В.) Перейдём от задачи двух тел к движению приведённой массы (︁=222.

С учётом 2 = GM /0 , запишем = , энергия 2 = 2 − 1 √︁√︁2 2 ·10 = 20 2 + 1 = 20·30+ 1 = 58 а.е.202 ·40 22 =202·+ , откуда910 .)︁Момент импульса0− 1 = 2 2 , откуда226Б. (Федоров Г.Е.) Аналогично 6А запишем уравнение движения аэростата (здесь = − ):2( + ) = − .2 , откуда = / 2 . Начальное условие:Коэффициент трения находим из условия − = ∞∞110 = =0,1м/с(=−0,5м/с).Интегрируяуравнение,находим−+0+0 = − + , откуда1 = 0 1+/, где = +0=2( +)∞0≈300·5250·10·0,1= 150 с. Конечная высота:)︂(︂.ℎ = − + = − + 0 ln 1 +Подставляя = / = 50 с, находим ℎ = 0 ln(1 + / ) = 0,1 · 150 · ln(1 + 31 ) ≈ 4,3 м .ZИнструкция для проверяющихЗа каждую задачу выставляется число баллов, кратное 0,5, с учётом указанной в скобках стоимости задачи.При выставлении оценки ориентироваться на следующие критерии:100% + Задача решена верно: приведено обоснованное решение и даны ответы на все вопросы задачи.Возможно наличие арифметических ошибок, не влияющих на ход решения и не приводящих кошибке в порядке или знаке величины.80%± Ход решения задачи в целом верен и получены ответы на все вопросы задачи, но решение содержит ошибки, не касающиеся физического содержания: арифметические ошибки, влияющиена порядок или знак величины; ошибки в размерности; вычислительные ошибки в выкладках.50%∓ Задача решена частично: дан ответ только на часть вопросов; выкладки не доведены до конца; отсутствуют необходимые промежуточные доказательства; либо решение содержит грубыеошибки (вычислительные, логические), влияющие на ход решения.20% −.

Задача не решена, но есть некоторые подвижки в её решении: сформулированы физическиезаконы, на основе которых задача может быть решена.0− Задача не решена: основные физические законы применены с грубыми ошибками, перечисленыне полностью или использованы законы, не имеющие отношения к задаче / подход к решениюпринципиально неверен / решение задачи не соответствует условию / попытки решить задачуне было.Оценка за письменную работу есть сумма баллов за все задачи с округлением в пользу студента (но неболее 10 и не менее 1).Обсуждение контрольной — на форуме кафедры board.physics.mipt.ruРезультаты проверки в должны быть занечены в электронные ведомости не позднее 3 ноября!.