Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).pdf), страница 5

Но раз до этого дошли, появилась возможностьвыражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большиечисла. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцатьвыражали как 10 + 4, иногда как 15 — 1. Умножение зародилось тогда, когда20 выразили не как 10 + + 10, а как 2 X 10. Подобные двоичные действиявыполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднеемежду сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийскойкультуре МохенджоДаро на Инде.

Деление началось с того, что 10 сталивыражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробейоставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканскихплемен известны только немногие случаи применения дробей, и почтивсегда это только дробь ½, хотя иногда встречаются 1/3 и ¼ 2).Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, можетбыть, побуждало общечеловеческое желание преувеличить численностьстада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и вдругих религиозных книгах.[i] Происхождение и развитие счета вообще, систем счисления вчастности, и связанное с этим развитие понятия натурального числаизложены Д.

Стройном крайне кратко. Большой этнографический,археологический и филологический материал, который приходитсяпривлекать при таких исследованиях, не позволяет дать вполнеопределенные ответы на все вопросы, но некоторые этапы') Isis, 1938 —V. 28.—Р. 462—463; взято из London News IHustr. от 2.Х 1937. [См.также данные о предметах, найденных при раскопках палеолитической стоянки вМеяине (Черниговской области УССР), в книге: История отечественнойматематики, т.

1, с. 40.— Примеч. пер ]2) Миллер (G. A. Miller) обратил внимание на то, что слова one half, semis, moitie,обозначающие (в английском, латинском, французском языках) половину, не имеютпрямой связи со словами тех же языков, означающими 2 (two, duo, deux), в отличие1/3, ¼, ...(англ.: one third, one fourth, ...); это, видимо, указывает на то, чтопонятие ½ возникло независимо от понятия целого числа. См. Nat.

Math.Magazine, 1939.—V. 13.—P. 272, 24- 24 -и некоторые общие черты в развитии техники счета и понятия числаможно установить с высокой степенью достоверности. На русском языкеэтот круг проблем наиболее обстоятельно и вместе с тем компактно освещенв статье И.

Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича (см. библиографию в концеглавы I). Интересные данные, указывающие па более раннее развитиечисловых представлений (чем до сих пор предполагалось), собраны в статье:Фролов Б. А. Применение счета в палеолите и вопрос об истоках математики// Изв. СО АН СССР, сер. общ. наук.— 1965.— № 9, вып. 3.3.

Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов.Единицы измерения были грубы, п при этом часто исходили из размеровчеловеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец,фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как уземледельцев Индии или обитателей свайных построек ЦентральнойЕвропы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям ипод прямым углом. Английское слово «straight» (прямой) родственноглаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки1).Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), чтоуказывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии.Таков был один из путей, по которому шло развитие математическихинтересов.Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы.Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок,корзин и тканей, позже — обработка металлов вырабатывали представлениео плоскостных и пространственных соотношениях.

Должны были сыгратьсвою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовалиглаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могутпроявляться и числовые соотношения, как в некоторых Доисторическихорнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мыобнаруживаем «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались входу и в исторические времена. Прекрасные образцы мы виДим надипилоновых вазах минойского и раннегреческого периода, позже — ввизантийской и арабской мозаике, в персидских и китайских коврах.Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное илимагическое') Во многих странах людей, занимавшихся межеванием, называли«натягивателями веревки» (греческое «harpenodaptai», арабское «massah»,ассирийское «masihanu»).

См. Gandz S.— Quellen und Studien zur Geschichte derMathematik.—1930.— Bd 1.— S. 255—277.- 25 -Этот орнамент встречается па иеолитическоп керамике из Боснии и напредметах искусства древней Месопотамиизначение, но постепенно преобладающим стало их эстетическоеназначение.В религии каменного века мы можем уловить первые попытки вступить вборьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизанымагией, магический элемент входил в состав существовавших тогдачисловых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре,музыке, рисунке.Существовали магические числа такие, как 3, 4, 7, и магические фигуры,как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы дажесчитают, что эта сторона математики была решающим фактором в ееразвитии1), но, хотя общественные корчи математики в новейшие времена,быть может, стали менее заОрнамент с египетскойкерамики додинастического периода (4000—3500 до н э )Геометрическийорнаментамериканских индейцевметны, они вполне очевидны в раппем периоде истории человечества.Современная «нумерология»—пережиток магических обрядов, восходящихк неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе.[2] Работы, авторы которых стремятся доказать ритуальноепроисхождение счета и хеометрии, появляются и в наши дни.

Эти работыпримыкают к тем течениям в социологии, которые стремятся всяческивыпятить значение религии в истории человеческой культуры Одна изпоследние исследований такого рода — статья А Зайденбер! а «Ритуальноепроисхождение счета» (S e i d e пberg A. The Ritual Origin of Counting.—Archive for History of Exact Sciences.— 1962.—V. 2, N 1). Автор прямозаявляет, что рассматривает свою работу как частичное выполнениепрограммы лорда Раглапа: доказать, что вся цивилизация — ритуальногопро') McGee W. J. Primitive Numbers.—Nineteenth Annual Report, Bureau Amer.Ethnology, 1897—1898 (1900).—P.

825—851.- 26 -Такие орнаменты были в ходу у жителей свайных построек близЛюбляны (Югославия) Гальштатского периода (Центральная Европа, 1000—500 до н. э.)- 27 -исхождения '). По Зайденбергу, счет был изобретен при особыхобстоятельствах в связи с созданием определенного ритуала. Но большоесходство в построении числительных и приемах счета у различных народовделает версию совершенно неправдоподобной (поскольку она связываетсчет с весьма специфическими приемами), если не допустить, что счет былизобретен таким образом в какомто одном месте и уже оттудараспространился путем заимствования по всему миру.

И. А. Зайдевберг неотступает перед этим выводом и в особой работе, напечатанной в«МатематическихЭти прямоугольники, заполненные треугольниками, и треугольники скружками воспроизведены с урн из захоронений вблизи Шопрона в ВенгрииМы видим здесь попытку образовать треуюльные числа, игравшие важнуюроль позже — в пифагорейской математикесообщениях Калифорнийского университета» за 1960 г.2), пытается егодоказать. Насколько невероятно то, что счет у всех народов общегопроисхождения, читатель может судить сам, если вспомнит о раюбщеппости первобытных общин, о значительной неравномерности вразвитии счета у различных народов, о наличии у одного и того же народаразличных слов для обозначения одного и того же числа различныхпредметов и т.

д.4. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и.следовательно, какието сведения о движении Солнца, Луны и звезд.Сведения этого рода впервые приобрели более научный характер, когдастали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календаремотносится к очень давней эпохе в истории') Lord Raglan. How Came Civilisation.2) University of California Mathematical Publications.— V. A3, N4- 28 -человечества, так как изменение в ходепроизрастания растений связывали сфазами Луны. Примитивные народыобратили внимание и на солнцестояние, ина восход Плеяд в сумерках. Самыедревние цивилизованные народы относилиастрономические сведения к наиболееотдаленному, доисторическому периодусвоегосуществования.Другиепервобытные народы пользовались приплавании созвездиями как ориентирами.Эта астрономия дала некоторые сведения оДревнеегипетский глиняныйсвойствах сферы, окружностей, об углах.сосуд5.

Эти краткие сведения из эпохи(додинастический период)зарождения математики показывают, чтонаука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которыхтеперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратилидолжное внимание на некоторые из древнейших известных человечествугеометрических фигур такие, как узлы или орнаменты. С другой стороны,некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построениеграфиковилиэлементарнаястатика,сравнительнонедавнегопроисхождения.

А. Шпайзер заметил с известной едкостью: «За позднеепроисхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явносклонна быть скучной,— свойство, видимо, ей присущее,— тогда кактворческий математик всегда предпочтет заниматься задачами интереснымии красивыми»1).[3] Это суждение А. Шпайзера, известного как своими работаМи по теориигрупп, так и трудами по изданию полпого собрания сочинений Леонарда Эйлера,остроумно и парадоксально, но вряд ли можно его отстаивать всерьез И в книге поистории математики надо оговорить содержащиеся в нем погрешности противистории.Что такое элементарная математика? Общепринятого определения нет,содержание этого понятия, несомненно, менялось.

Если') Sреiser A. Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung — Leipzig, 1925, N. Y.,1954.—P. 3.- 29 -к элементарной математике отнести материал, входящий в курс среднейшколы» (что тоже далеко не однозначно характеризует элементарнуюматематику), то нетрудно убедиться в крайней разнородности отдельных еечастей. В арифметике, кроме обучения счету, мы встречаем решение задач сиспользованием приемов, большей частью достаточно давнего происхождения, инекоторый сведения из теории целых чисел, которые в большинстве восходят кантичной математике. И геометрия до недавнего времени в течение столетийизлагалась в основном по Евклиду. В алгебре и тригонометрии основной материалгораздо более недавнего происхождения, причем некоторые понятия и приемы(графики, функциональная зависимость) в значительной мере модернизованы.«Скучен» ли он? Для обучаемого это зависит от того, как ведется обучение, дляобучащего — от того, есть ли тут возможность для творчества, не обязательнонаучного, а педагогического, методического.