Теория принятия решений, страница 4

Положим x = (k 0 , P 0 +ε). При малом ε > 0 xRx0 ,но x0 Rx ⇒ x0 ∈/ C(X, R). Пусть x0 = (k 0 , P ). Покажем, что x0 ∈ C(X, R).0Пусть xRx . Тогда из (3) получаемP − P 0 − |k 0 − k|P0≥ 0 ⇒ P = P 0 , k = k0 ,k0т.е. из xRx0 следует x = x0 . Поэтому x0 Rx и x0 ∈ C(X, R).16Можно доказать, что построенное в данном примере бинарное отношение R невозможно представить никаким векторным критерием.§12. Математическая модель операцииВ этом и следующем параграфах излагается подход Ю.Б.

Гермейера кпостроению и исследованию математических моделей операций. Здесь сохранены обозначения, использованные в книге Ю.Б. Гермейера.Операция − это совокупность мероприятий, направленных на достижение некоторой цели. Совокупность лиц (или одно лицо), стремящихся воперации к поставленной цели называется оперирующей стороной. В операции могут участвовать другие лица, например противники, преследующиесобственные цели, не совпадающие с целью оперирующей стороны.

Внутриоперирующей стороны выделяется лицо, называемое исследователем операции. Исследователь операции преследует ту же цель, что и оперирующаясторона. Однако, он не принимает окончательных решений. Его задача состоит в формировании и изучении математической модели операции и выработке рекомендаций по выбору способов действий (стратегий).Оперирующая сторона для достижения цели операции использует активные средства (ресурсы). В качестве ресурсов могут выступать деньги,сырье, запасы продукции и т.п.Контролируемые факторы − это величины, выбор значений которыхопределяет действие оперирующей стороны в рассматриваемой операции.Обычно имеется вектор контролируемых факторов x ∈ M0 . Здесь M0 −множество всевозможных значений, которые вектор x может принимать впроцессе проведения операции.

Выбор оперирующей стороной контролируемых факторов обычно осуществляется во времени. При этом поступающаяинформация об обстановке, в которой происходит операция, может существенно расширять возможности выбора контролируемых факторов. Есливообще никакой информации не поступает или поступающая информацияне учитывается, то оперирующая сторона может выбрать и реализоватьлюбой вектор x ∈ M0 . Векторы x ∈ M0 будем называть стратегиямиконстантами. Рассмотрим примеры.В модели "нападение-оборона" вектор контролируемых факторов x принадлежит множествуM0 = {x ∈ E n |nXxi = A, xi ≥ 0, i = 1, ..., n}i=1и представляет собой распределение средств нападения по пунктам возможного прорыва.В многошаговой антагонистической игре с полной информацией первыйигрок выбирает значения контролируемых факторов xt , t = 1, ..., T, в течение T шагов.

При этом выбор альтернативы xt ∈ Ut (xt−1 , y t−1 ) зависит отпредыстории игры xt−1 , y t−1 ), т.е. от выборов обоих игроков на предыдущих шагах. Здесь M0 состоит из всевозможных значений, которые можетпринимать вектор xT = (x1 , ..., xT ). Выбор стратегий-констант в многошаго17вой игре с полной информацией весьма ограничен. Например, невозможноиграть в шахматы, не зная ходы противника.Неконтролируемые факторы это величины, влияющие на исход операции, но выбор значений которых не находится в распоряжении оперирующей стороны. Неконтролируемые факторы делятся на неопределенные ислучайные. Неопределенные факторы это такие неконтролируемые факторы, для которых известна лишь область их возможных значений. Пусть y −вектор неопределенных факторов, y ∈ N0 , где N0 − множество всех возможных значений для y.

Однако, оперирующая сторона обычно предполагает,что вектор y принадлежит некоторой области неопределенности N ⊂ N0 .Например, при анализе шахматной партии можно исключить заведомо глупые ходы противника. Риск, связанный с предположением y ∈ N должнавзять на себя оперирующая сторона. Неопределенные факторы делятся наследующие:а) контролируемые факторы противника (его стратегии),б) природные непределенности,в) факторы, характеризующие неясность цели оперирующей стороны.Приведем пример последних.

Пусть частные критерии Wi (x), i = 1, ..., sрасполагаются в порядке не возрастания важности и в свертке F1 (x, λ) =sPλi Wi (x) оперирующая сторона не решается выбрать λ = (λ1 , ..., λs ) ∈i=1Λ = {λ |sPλi = 1, λ1 ≥ λ2 ≥ .... ≥ λs ≥ 0}. Тогда λ ∈ Λ = N можноi=1рассматривать как неопределенный фактор, характеризующий неясностьцели оперирующей стороны.Случайные факторы это случайные величины, влияющие на исход операции. Вектор случайных факторов обозначим через z ∈ Z.

Пусть θ − законраспределения для z. Он может быть точно не известен, а известно лишь,что θ ∈ Θ. Множества Θ встречаются двух основных видов:1) Θ = {θα , α ∈ L}. Здесь тип закона распределения известен (нормальный, экспоненциальный и т.п.), но параметр α, определяющий конкретныйзакон, точно не известен.R2) Θ = {θα | ai ≤ ai (z)dθ(z) ≤ ai , i = 1, ..., l}.

Тип закона распредеZления неизвестен, но известны ограничения на его интегральные характеристики. Например, если z ∈ E 1 , ai (z) = z i , то Θ задает ограничения намоменты случайной величины z.Критерий эффективности. Исход операции будем отождествлять с тройкой (x, y, z) ∈ M0 × N × Z. Степень соответствия исхода операции поставленной цели задают с помощью критерия эффективности F (x, y, z) − функции, определенной на M0 ×N ×Z. Критерий эффективности математическизадает цель операции. Будем считать, что оперирующая заинтересована вувеличении значения F (x, y, z). Пример критерия эффективности − функция выигрыша F (x, y) первого игрока в антагонистической игре.Стратегия. Модель операции исследуется до ее проведения. Будемусловно говорить о моменте исследования, предшествующем началу опе-18рации:?моментисследования??6началооперацииинформация о неконтролируемыхфакторах-t6конецоперацииВо время проведения операции поступает информация о неконтролируемых факторах.

Информационная гипотеза − это точное описание поступления этой информации.Стратегия это выбор значений контролируемых факторов в зависимостиот поступающей информации о неконтролируемых факторах. Математически стратегия задается функцией x̃ : N × Z → M0 . Пусть M − множествостратегий, отвечающих информационной гипотезе.

Стратегия выбираетсядо начала операции в момент исследования.Примеры.1. Пусть не ожидается никакой информации о неконтролируемых факторах. Тогда M = M0 − множество стратегий-констант x̃ = x.2. Пусть в начале операции будут точно известно значение y. Тогда M =Mи − множество всех функций вида x̃ : N → M0 .3. Пусть в начале операции будут точно известны значения y и z. ТогдаM = M̃ − множество всех функций вида x̃ : N × Z → M0 .4. Пусть y = (y1 , ..., yn ), а случайные факторы отсутствуют. ПредпоnPложим, что в начале операции поступит информация оyj .

Тогда M −j=1множество функций вида f (nPyj ). Здесь M0 ⊂ M ⊂ Mи и оба включения −j=1строгие.Окончательно модель операции задается набором объектов:F (x, y, z), x ∈ M0 , y ∈ N ⊂ N0 , z ∈ Z, θ ∈ Θ, x̃ ∈ M.§13. Оптимальные стратегии в операции.Как сравнивать стратегии? Какие стратегии в операции следует считатьоптимальными? Подход Ю.Б.Гермейера состоит в следующем. Сначала длякаждой стратегии x̃ ∈ M определяется оценка эффективности W (x̃) наоснове принципа гарантированного результата. По смыслу W (x̃) − некоторая гарантированная величина критерия.Пример. В игре Γ1W (x) = min F (x, y),y∈Y (x)где Y (x) = Arg max G(x, y) = N. Отметим, что принцип гарантированноy∈Yго результата не исключает элементы риска.

В данном примере риск дляпервого игрока состоит в предположении, что второй игрок максимизируетсвою функцию выигрыша G(x, y) при известном x.19Определение. Стратегия x̃0 ∈ M называется оптимальной, если W (x̃0 ) =defmax W (x̃) = Fг (M ). Последняя величина называется наилучшим гарантиx̃∈Mрованным результатом.Выведем формулу для оценки эффективности стратегии. Сделаем следующие предположения.

Пусть y − либо природная неопределенность, либо стратегия противника, не знающего реализации случайной величины z.Интересы противника либо противоположны интересам оперирующей стороны, либо не известны. Оперирующая сторона разрешает осреднение критерия по случайностям, т.е. использование осредненного критерияZdefF (x̃, y, θ) =F (x̃(y, z), y, z)dθ(z).ZТогда оценка эффективности имеет видZW (x̃) = inf infF (x̃(y, z), y, z)dθ(z) = inf inf F (x̃, y, θ).y∈N θ∈Θy∈N θ∈Θ(1)ZИтак, сначала производится осреднение критерия эффективности F (x̃(y, z), y, z)по θ, а потом берется нижняя грань по оставшимся неопределенностям y иθ.

Это пример использования принципа гарантированного результата. Отметим, что если бы противник знал реализацию случайной величины z, тоформула для оценки эффективности была бы другой:Zinf F (x̃(y, z), y, z)dθ(z).W 0 (x̃) = infy∈Nθ∈ΘZДействительно, в худшем случае противник знает стратегию x̃ и в состояниинайти inf F (x̃(y, z), y, z) при известном ему z.y∈NПокажем, чтоW (x̃) ≥ W 0 (x̃).Для ∀θ ∈ Θ и ∀y ∈ NZZF (x̃(y, z), y, z)dθ(z) ≥inf F (x̃(y, z), y, z)dθ(z)y∈NZZОтсюдаZZF (x̃(y, z), y, z)dθ(z) ≥infy∈NZinf F (x̃(y, z), y, z)dθ(z)y∈NZВзяв inf от левой и правой части, получим неравенствоθ∈ΘW (x̃) ≥ W 0 (x̃).20Отметим, что это неравенство отражает возросшую информированностьпротивника.Перейдем к использованию смешанных стратегий.

Предположим, чтоне ожидается никакой информации о неконтролируемых факторах. В этомслучае оперирующая сторона использует стратегии-константы x̃ = x ∈ M =M0 . Если наилучший гарантированный результат Fг (M0 ) ее не устраивает,то можно использовать смешанные стратегии. Напомним, что смешаннаястратегия ϕ есть вероятностное распределение на M0 . Определим условияприменения смешанной стратегии. К сформулированным выше предположениям добавим еще одно: противник не должен знать реализации x ∈ M0 .Тогда оценка эффективности смешанной стратегии ϕ имеет видZ ZF (x, y, z)dϕ(x)dθ(z).(2)W (ϕ) = inf infy∈N θ∈ΘZ M0Если бы противник знал реализацию z, то формула была бы другойZZ0W (ϕ) = infinfF (x, y, z)dϕ(x)dθ(z).y∈Nθ∈ΘZM0Величина Fc = sup W (ϕ) является наилучшим гарантированным резульϕ∈{ϕ}татом в смешанных стратегиях.Вернемся к определению оптимальной стратегии x̃0 : W (x̃0 ) = max W (x̃) =x̃∈MFг (M ).

Если последний максимум не достигается, то используют понятиеε-оптимальной стратегии.Определение. Пусть задано ε > 0. Стратегия x̃ε ∈ M называется εоптимальной, если W (x̃ε ) ≥ sup W (x̃) − ε.x̃∈MЗадача поиска величины Fг (M ) непростая, поскольку она состоит в максимизации W (x̃) на множестве функций M. Эта задача упрощается, если вомножестве стратегий M содержатся абсолютно оптимальные стратегии.До конца этого параграфа будем предполагать известным закон распределения случайных факторов θ.Определение.