Лекция 10. Задача избрания лидера. Нижние оценки. Оптимальные выборы. Алгоритм GHS и Корача-Каттена-Морана

ÐàñïðåäåëåííûåàëãîðèòìûËÅÊÒÎÐ: Â.À. ÇàõàðîâËåêöèÿ 9.Çàäà÷à èçáðàíèÿ ëèäåðà.Íèæíèå îöåíêè ñëîæíîñòè.Îïòèìàëüíûå âûáîðû.Àëãîðèòì ÃàëëàäæåðàÕàìáëåòàÑïèðû (GHS).Ãëîáàëüíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà GHS.Ïîäðîáíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà GHS.Àëãîðèòì Êîðà÷àÊàòòåíàÌîðàíà.Çàäà÷à èçáðàíèÿ ëèäåðàÇàäà÷à èçáðàíèÿ ëèäåðà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, èñõîäÿ èçêîíôèãóðàöèè, â êîòîðîé âñå ïðîöåññû ïðåáûâàþò â îäíîì èòîì æå ñîñòîÿíèè, äîñòè÷ü òàêîé êîíôèãóðàöèè, â êîòîðîéðîâíî îäèí ïðîöåññ áóäåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè leader , òîãäàêàê âñå îñòàëüíûå ïðîöåññû áóäóò ïðåáûâàòü â ñîñòîÿíèè lost .ÎïðåäåëåíèåÀëãîðèòìîì èçáðàíèÿ ëèäåðà íàçûâàåòñÿ àëãîðèòì,êîòîðûé îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1.

Êàæäûé ïðîöåññ íàäåëåí îäíèì è òåì æå ëîêàëüíûìàëãîðèòìîì.2. Àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ äåöåíòðàëèçîâàííûì.3. Àëãîðèòì äîñòèãàåò çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè âêàæäîì âû÷èñëåíèè, è â êàæäîé çàêëþ÷èòåëüíîéêîíôèãóðàöèè ñóùåñòâóåò ðîâíî îäèí ïðîöåññ, êîòîðûéíàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè leader à âñå îñòàëüíûå ïðîöåññûïðè ýòîì ïðåáûâàþò â ñîñòîÿíèè lost.Íèæíèå îöåíêè ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâèçáðàíèÿ ëèäåðàÒåîðåìà.Âñÿêèé àëãîðèòì èçáðàíèÿ ëèäåðà íà îñíîâå ñðàâíåíèÿ äëÿïðîèçâîëüíûõ ñåòåé èìååò ñëîæíîñòü (è â ñðåäíåì, è âíàèõóäøåì ñëó÷àå) íå ìåíüøóþ, ÷åì Ω(|E | + N log N) .Ñëåäñòâèå.Âñÿêèé äåöåíòðàëèçîâàííûé âîëíîâîé àëãîðèòì äëÿïðîèçâîëüíûõ ñåòåé áåç ïðåäâàðèòåëüíîé îñâåäîìëåííîñòè îñîñåäÿõ èìååò ñëîæíîñòü ïî ÷èñëó îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè, íåìåíüøóþ ÷åì Ω(|E | + N log N) .Íèæíèå îöåíêè ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâèçáðàíèÿ ëèäåðà'$Ñåòü Sïðîöåññ p1~~ïðîöåññ p2&%Íèæíèå îöåíêè ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâèçáðàíèÿ ëèäåðà''$Ñåòü SÑåòü Sïðîöåññ p1&ïðîöåññ p10~~~~ïðîöåññ p2$0ïðîöåññ p20%&%Íèæíèå îöåíêè ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâèçáðàíèÿ ëèäåðà'$'Ñåòü SÑåòü Sïðîöåññ p1$0ïðîöåññ p10~@@~@@~ïðîöåññ p2&@@~ïðîöåññ p20%&%Îïòèìàëüíûå âûáîðûÂÎÏÐÎÑ.Ìîæíî ëè ïðîâåñòè âûáîðû ëèäåðà âïðîèçâîëüíûõ ñåòÿõ ñ èñïîëüçîâàíèåìO(|E | + N log N)îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè?Îïòèìàëüíûå âûáîðûÂÎÏÐÎÑ.Ìîæíî ëè ïðîâåñòè âûáîðû ëèäåðà âïðîèçâîëüíûõ ñåòÿõ ñ èñïîëüçîâàíèåìO(|E | + N log N)îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè?Çàäà÷è èçáðàíèÿ ëèäåðà è ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà òåñíîñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì.ÏóñòüCE ñëîæíîñòü ïî ÷èñëó îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè çàäà÷è îâûáîðàõ,à CT äëÿ ñëîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ îñòîâíîãî äåðåâà.Îïòèìàëüíûå âûáîðûÀëãîðèòì èçáðàíèÿ ëèäåðà íà äåðåâå ðåøàåò çàäà÷ó î âûáîðàõíà äðåâåñíûõ ñåòÿõ ñ èñïîëüçîâàíèåì O(N) îáìåíîâñîîáùåíèÿìè.Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî CE ≤ CT + O(N) .Îïòèìàëüíûå âûáîðûÀëãîðèòì èçáðàíèÿ ëèäåðà íà äåðåâå ðåøàåò çàäà÷ó î âûáîðàõíà äðåâåñíûõ ñåòÿõ ñ èñïîëüçîâàíèåì O(N) îáìåíîâñîîáùåíèÿìè.Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî CE ≤ CT + O(N) .Åñëè â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü ëèäåð, òî îñòîâíîå äåðåâîìîæíî ïîñòðîèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì 2|E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìèïðè ïîìîùè öåíòðàëèçîâàííîãî àëãîðèòìà îáõîäà ñåòè.Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî CT ≤ CE + 2|E | .Îïòèìàëüíûå âûáîðûÀëãîðèòì èçáðàíèÿ ëèäåðà íà äåðåâå ðåøàåò çàäà÷ó î âûáîðàõíà äðåâåñíûõ ñåòÿõ ñ èñïîëüçîâàíèåì O(N) îáìåíîâñîîáùåíèÿìè.Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî CE ≤ CT + O(N) .Åñëè â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü ëèäåð, òî îñòîâíîå äåðåâîìîæíî ïîñòðîèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì 2|E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìèïðè ïîìîùè öåíòðàëèçîâàííîãî àëãîðèòìà îáõîäà ñåòè.Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî CT ≤ CE + 2|E | .Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïòèìàëüíîãî âûáîðà ëèäåðà íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî óìåòü îïòèìàëüíî ñòðîèòü îñòîâíîå äåðåâî.Àëãîðèòì ÃàëëàäæåðàÕàìáëåòàÑïèðû (GHS) ñòðîèò îñòîâíîåäåðåâî ñ èñïîëüçîâàíèåì 2|E | + 5N log N îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè.Àëãîðèòì ÃàëëàäæåðàÕàìáëåòàÑïèðû (GHS)Àëãîðèòì GHS îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ.Àëãîðèòì ÃàëëàäæåðàÕàìáëåòàÑïèðû (GHS)Àëãîðèòì GHS îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ.1.

Êàæäîìó ðåáðó ïðèïèñàí óíèêàëüíûé âåñ ω(e) . Âñå âåñàðåáåð ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíû.Àëãîðèòì ÃàëëàäæåðàÕàìáëåòàÑïèðû (GHS)Àëãîðèòì GHS îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ.1. Êàæäîìó ðåáðó ïðèïèñàí óíèêàëüíûé âåñ ω(e) . Âñå âåñàðåáåð ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíû.2.

Âñå óçëû ïðåáûâàþò ïåðâîíà÷àëüíî â ñîñòîÿíèèîöåïåíåíèÿ è ïðîáóæäàþòñÿ ïåðåä íà÷àëîì âûïîëíåíèÿàëãîðèòìà.Íåêîòîðûå óçëû ïðîáóæäàþòñÿ ñàìîïðîèçâîëüíî, äðóãèåìîãóò ïîëó÷èòü ñîîáùåíèå ïî õîäó ðàáîòû àëãîðèòìà, åùåïðåáûâàÿ â îöåïåíåíèè.Ïðè ýòîì óçåë, ïîëó÷èâøèé ñîîáùåíèå, âíà÷àëå âûïîëíÿåòïðîöåäóðó ëîêàëüíîé èíèöèàëèçàöèè, à çàòåì ïðèñòóïàåò êîáðàáîòêå ýòîãî ñîîáùåíèÿ.Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÐàññìîòðèì âçâåøåííûé ãðàô G = (V , E ) , è äëÿ îáîçíà÷åíèÿâåñà ðåáðà e áóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü ω(e) .Ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäîå ðåáðî èìååò óíèêàëüíûé âåñ.Âåñ îñòîâíîãî äåðåâà T â ãðàôå G ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì ñóììåâåñîâ âñåõ N − 1 ðåáåð, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ T .Ïðè ýòîì T íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì îñòîâíûì äåðåâîì , èëèñîêðàùåííî MST, åñëè íè îäíî îñòîâíîå äåðåâî íå èìååò âåñìåíüøèé, ÷åì T .Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÓòâåðæäåíèå 9.1.Åñëè âñå âåñà ðåáåð ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ñóùåñòâóåò òîëüêîîäíî MST.Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÓòâåðæäåíèå 9.1.Åñëè âñå âåñà ðåáåð ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ñóùåñòâóåò òîëüêîîäíî MST.Äîêàçàòåëüñòâî.Äîïóñòèì, ÷òî åñòü äâà MST T1 è T2 , ïðè÷åì T1 6= T2 .Ðàññìîòðèì ðåáðî e íàèìåíüøåãî âåñà, êîòîðîå ñîäåðæèòñÿ âîäíîì èç ýòèõ äåðåâüåâ, íî íå ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÓòâåðæäåíèå 9.1.Åñëè âñå âåñà ðåáåð ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ñóùåñòâóåò òîëüêîîäíî MST.Äîêàçàòåëüñòâî.Äîïóñòèì, ÷òî åñòü äâà MST T1 è T2 , ïðè÷åì T1 6= T2 .Ðàññìîòðèì ðåáðî e íàèìåíüøåãî âåñà, êîòîðîå ñîäåðæèòñÿ âîäíîì èç ýòèõ äåðåâüåâ, íî íå ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e ∈ T1 .

Òîãäà T2 ∪ {e} ñîäåðæèò öèêë, è,ïîñêîëüêó â äåðåâå T1 íåò öèêëîâ, õîòÿ áû îäíî ðåáðî ýòîãîöèêëà, ñêàæåì, ðåáðî e 0 , íå ñîäåðæèòñÿ â T1 . Ñîãëàñíîâûáîðó ðåáðà e , ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ω(e) < ω(e 0 ) .Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÓòâåðæäåíèå 9.1.Åñëè âñå âåñà ðåáåð ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ñóùåñòâóåò òîëüêîîäíî MST.Äîêàçàòåëüñòâî.Äîïóñòèì, ÷òî åñòü äâà MST T1 è T2 , ïðè÷åì T1 6= T2 .Ðàññìîòðèì ðåáðî e íàèìåíüøåãî âåñà, êîòîðîå ñîäåðæèòñÿ âîäíîì èç ýòèõ äåðåâüåâ, íî íå ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e ∈ T1 .

Òîãäà T2 ∪ {e} ñîäåðæèò öèêë, è,ïîñêîëüêó â äåðåâå T1 íåò öèêëîâ, õîòÿ áû îäíî ðåáðî ýòîãîöèêëà, ñêàæåì, ðåáðî e 0 , íå ñîäåðæèòñÿ â T1 . Ñîãëàñíîâûáîðó ðåáðà e , ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ω(e) < ω(e 0 ) .Íî òîãäà äåðåâî T2 ∪ {e} \ {e 0 } èìååò âåñ ìåíüøèé, ÷åì T2 ,âîïðåêè òîìó, ÷òî T2 ÿâëÿåòñÿ MST.Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÔðàãìåíò ïðîèçâîëüíîå ïîääåðåâî MST.

Ðåáðî e íàçûâàåòñÿèñõîäÿùèì ðåáðîì ôðàãìåíòà F , åñëè îäèí èç êîíöîâ eïðèíàäëåæèò F , à äðóãîé íåò.Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÔðàãìåíò ïðîèçâîëüíîå ïîääåðåâî MST. Ðåáðî e íàçûâàåòñÿèñõîäÿùèì ðåáðîì ôðàãìåíòà F , åñëè îäèí èç êîíöîâ eïðèíàäëåæèò F , à äðóãîé íåò.Óòâåðæäåíèå 9.2.Åñëè F ÿâëÿåòñÿ ôðàãìåíòîì, è e ðåáðî íàèìåíüøåãî âåñà,èñõîäÿùåå èç F , òî F ∪ {e} òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôðàãìåíòîì.Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÔðàãìåíò ïðîèçâîëüíîå ïîääåðåâî MST. Ðåáðî e íàçûâàåòñÿèñõîäÿùèì ðåáðîì ôðàãìåíòà F , åñëè îäèí èç êîíöîâ eïðèíàäëåæèò F , à äðóãîé íåò.Óòâåðæäåíèå 9.2.Åñëè F ÿâëÿåòñÿ ôðàãìåíòîì, è e ðåáðî íàèìåíüøåãî âåñà,èñõîäÿùåå èç F , òî F ∪ {e} òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôðàãìåíòîì.Äîêàçàòåëüñòâî.ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎ (ðóêîâîäñòâóÿñü äîêàçàòåëüñòâîìïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ).Ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äåðåâüÿÔðàãìåíò ïðîèçâîëüíîå ïîääåðåâî MST.

Ðåáðî e íàçûâàåòñÿèñõîäÿùèì ðåáðîì ôðàãìåíòà F , åñëè îäèí èç êîíöîâ eïðèíàäëåæèò F , à äðóãîé íåò.Óòâåðæäåíèå 9.2.Åñëè F ÿâëÿåòñÿ ôðàãìåíòîì, è e ðåáðî íàèìåíüøåãî âåñà,èñõîäÿùåå èç F , òî F ∪ {e} òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôðàãìåíòîì.Äîêàçàòåëüñòâî.ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎ (ðóêîâîäñòâóÿñü äîêàçàòåëüñòâîìïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ).Àëãîðèòìû íà÷èíàþò ðàáîòó, ðàñïîëàãàÿ ôðàãìåíòàìè,ñîñòîÿùèìè èç åäèíñòâåííîãî óçëà, è ïîñëåäîâàòåëüíîíàðàùèâàþò ôðàãìåíòû, äî òåõ ïîð ïîêà íå áóäåò çàâåðøåíîïîñòðîåíèå MST.Ãëîáàëüíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà GHSÂñÿêîå âû÷èñëåíèå àëãîðèòìà GHS ñêëàäûâàåòñÿ èçñëåäóþùèõ øàãîâ.Ãëîáàëüíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà GHSÂñÿêîå âû÷èñëåíèå àëãîðèòìà GHS ñêëàäûâàåòñÿ èçñëåäóþùèõ øàãîâ.1. Ôîðìèðóåòñÿ òàêîå ñåìåéñòâî ôðàãìåíòîâ, ÷òîîáúåäèíåíèå èõ ñîäåðæèò âñå óçëû ñåòè.Ãëîáàëüíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà GHSÂñÿêîå âû÷èñëåíèå àëãîðèòìà GHS ñêëàäûâàåòñÿ èçñëåäóþùèõ øàãîâ.1.