Лекция 7. Волновые алгоритмы - определения_ свойства. Кольцевой алгоритм. Древесный алгоритм. Алгоритм эха, страница 2

Ðåøåíèå ïðèíèìàåò òîëüêî îäèí ïðîöåññèëè âñå ïðîöåññû.5. Ñëîæíîñòü . Ìåðàìè ñëîæíîñòè ñëóæàò êîëè÷åñòâîîáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè, ÷èñëî áèòîâ èíôîðìàöèè,îòïðàâëåííûõ ïðè îáìåíå ñîîáùåíèÿìè, è âðåìÿ,çàòðà÷èâàåìîå îäíèì âû÷èñëåíèåì.Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 1.Äëÿ êàæäîãî ñîáûòèÿ e ∈ C ñóùåñòâóþò òàêîé èíèöèàòîð p èòàêîå ñîáûòèå f ∈ Cp , ÷òî f e .Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 1.Äëÿ êàæäîãî ñîáûòèÿ e ∈ C ñóùåñòâóþò òàêîé èíèöèàòîð p èòàêîå ñîáûòèå f ∈ Cp , ÷òî f e .Äîêàçàòåëüñòâî.Âûáåðåì â êà÷åñòâå f ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â èñòîðèèñîáûòèÿ e . Òàêîé ýëåìåíò f ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó èñòîðèÿêàæäîãî ñîáûòèÿ êîíå÷íà. Ïîêàæåì, ÷òî ïðîöåññ p , â êîòîðîìïðîèñõîäèò ñîáûòèå f , ÿâëÿåòñÿ èíèöèàòîðîì.Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 1.Äëÿ êàæäîãî ñîáûòèÿ e ∈ C ñóùåñòâóþò òàêîé èíèöèàòîð p èòàêîå ñîáûòèå f ∈ Cp , ÷òî f e .Äîêàçàòåëüñòâî.Âûáåðåì â êà÷åñòâå f ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â èñòîðèèñîáûòèÿ e .

Òàêîé ýëåìåíò f ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó èñòîðèÿêàæäîãî ñîáûòèÿ êîíå÷íà. Ïîêàæåì, ÷òî ïðîöåññ p , â êîòîðîìïðîèñõîäèò ñîáûòèå f , ÿâëÿåòñÿ èíèöèàòîðîì.Çàòìåòèì, ÷òî f ýòî ïåðâîå ñîáûòèå ïðîöåññà p . Ïåðâîåñîáûòèå íåèíèöèàòîðà ýòî ñîáûòèå ïðèåìà, êîòîðîìó äîëæíîïðåäøåñòâîâàòü ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ, ÷òîïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè f . Çíà÷èò, p èíèöèàòîð. Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÏóñòü C öåíòðàëèçîâàííàÿ âîëíà ñ èíèöèàòîðîì p . Äëÿêàæäîãî íåèíèöèàòîðà q îáîçíà÷èì ñèìâîëîì fatherq òîãîñîñåäà ïðîöåññà q , îò êîòîðîãî q ïîëó÷èë ïåðâîå ñîîáùåíèå.Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÏóñòü C öåíòðàëèçîâàííàÿ âîëíà ñ èíèöèàòîðîì p .

Äëÿêàæäîãî íåèíèöèàòîðà q îáîçíà÷èì ñèìâîëîì fatherq òîãîñîñåäà ïðîöåññà q , îò êîòîðîãî q ïîëó÷èë ïåðâîå ñîîáùåíèå.Óòâåðæäåíèå 2.Ãðàô T = (P, ET ) , ãäå ET = {hq, r i : q 6= p ∧ r = fatherq } ,ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì, íàïðàâëåííûì ê p .Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÏóñòü C öåíòðàëèçîâàííàÿ âîëíà ñ èíèöèàòîðîì p . Äëÿêàæäîãî íåèíèöèàòîðà q îáîçíà÷èì ñèìâîëîì fatherq òîãîñîñåäà ïðîöåññà q , îò êîòîðîãî q ïîëó÷èë ïåðâîå ñîîáùåíèå.Óòâåðæäåíèå 2.Ãðàô T = (P, ET ) , ãäå ET = {hq, r i : q 6= p ∧ r = fatherq } ,ÿâëÿåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì, íàïðàâëåííûì ê p .Äîêàçàòåëüñòâî.×èñëî âåðøèí â T ïðåâîñõîäèò ÷èñëî äóã íà åäèíèöó.Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî T íå ñîäåðæèò öèêëîâ.È ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó äëÿ eq , ïåðâîãî ñîáûòèÿ âq , íàëè÷èå äóãè qr ∈ ET âëå÷åò er eq , à îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì. Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 3.Ïóñòü C âîëíà è decide ∈ Cp .

Òîãäà∀q 6= p : ∃f ∈ Cq : (f decide ∧ f îòïðàâëåíèå ñîîáùåíèÿ).Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 3.Ïóñòü C âîëíà è decide ∈ Cp . Òîãäà∀q 6= p : ∃f ∈ Cq : (f decide ∧ f îòïðàâëåíèå ñîîáùåíèÿ).Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàê C âîëíà, ñóùåñòâóþò òàêèå ñîáûòèÿ f ∈ Cq , ÷òîf decide . Âûáåðåì â êà÷åñòâå f ïîñëåäíåå ñîáûòèå â Cq ,ïðåäøåñòâóþùåå decide .Ïîêàæåì, ÷òî f ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ.Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 3.Ïóñòü C âîëíà è decide ∈ Cp . Òîãäà∀q 6= p : ∃f ∈ Cq : (f decide ∧ f îòïðàâëåíèå ñîîáùåíèÿ).Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàê C âîëíà, ñóùåñòâóþò òàêèå ñîáûòèÿ f ∈ Cq , ÷òîf decide . Âûáåðåì â êà÷åñòâå f ïîñëåäíåå ñîáûòèå â Cq ,ïðåäøåñòâóþùåå decide .Ïîêàæåì, ÷òî f ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ.Èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïðè÷èííîñëåäñòâåííîé öåïî÷êè f = e0 , e1 , .

. . , ek = decide, ÷òî äëÿêàæäîãî i < k ñîáûòèÿ ei è ei+1 ÿâëÿþòñÿ ëèáîïîñëåäîâàòåëüíûìè ñîáûòèÿìè â îäíîì ïðîöåññå, ëèáî ïàðîéñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé îòïðàâëåíèÿ-ïðèåìà ñîîáùåíèÿ.Ñâîéñòâà âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 3.Ïóñòü C âîëíà è decide ∈ Cp . Òîãäà∀q 6= p : ∃f ∈ Cq : (f decide ∧ f îòïðàâëåíèå ñîîáùåíèÿ).Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàê C âîëíà, ñóùåñòâóþò òàêèå ñîáûòèÿ f ∈ Cq , ÷òîf decide .

Âûáåðåì â êà÷åñòâå f ïîñëåäíåå ñîáûòèå â Cq ,ïðåäøåñòâóþùåå decide .Ïîêàæåì, ÷òî f ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ.Èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïðè÷èííîñëåäñòâåííîé öåïî÷êè f = e0 , e1 , . . . , ek = decide, ÷òî äëÿêàæäîãî i < k ñîáûòèÿ ei è ei+1 ÿâëÿþòñÿ ëèáîïîñëåäîâàòåëüíûìè ñîáûòèÿìè â îäíîì ïðîöåññå, ëèáî ïàðîéñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé îòïðàâëåíèÿ-ïðèåìà ñîîáùåíèÿ.Ò.ê. f ïîñëåäíåå ñîáûòèå â ïðîöåññå q , ïðåäøåñòâóþùååñîáûòèþ decide , ñîáûòèå e1 ïðîèñõîäèò â ïðîöåññå, îòëè÷íîìîò q .

Çíà÷èò, f ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ. Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 4.Ïóñòü C òàêàÿ âîëíà ñ îäíèì èíèöèàòîðîì p âðàñïðåäåëåííîé ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé èç N ïðîöåññîâ, ÷òî â pïðîèñõîäèò ñîáûòèå ðåøåíèÿ decide . Òîãäà â âû÷èñëåíèè Cïðîèñõîäèò îáìåí ïî êðàéíåé ìåðå N ñîîáùåíèÿìè.Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 4.Ïóñòü C òàêàÿ âîëíà ñ îäíèì èíèöèàòîðîì p âðàñïðåäåëåííîé ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé èç N ïðîöåññîâ, ÷òî â pïðîèñõîäèò ñîáûòèå ðåøåíèÿ decide . Òîãäà â âû÷èñëåíèè Cïðîèñõîäèò îáìåí ïî êðàéíåé ìåðå N ñîîáùåíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî óòâåðæäåíèþ 1 êàæäîìó ñîáûòèþ â C ïðåäøåñòâóåòíåêîòîðîå ñîáûòèå â ïðîöåññå p .

Ïîýòîìó â p ïðîèçîéäåò õîòÿáû îäíî ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ. Ïî óòâåðæäåíèþ 2ñîáûòèå îòïðàâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ òàêæå ïðîèçîéäåò è â êàæäîìäðóãîì ïðîöåññå, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçîéäåò êàê ìèíèìóìN îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè. Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 5.Ïóñòü A âîëíîâîé àëãîðèòì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòè, âêîòîðîì íå èñïîëüçóþòñÿ ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îáîòëè÷èòåëüíûõ ïðèçíàêàõ ñîñåäåé.

Òîãäà A â êàæäîìâû÷èñëåíèè ïðîâîäèò íå ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè.Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 5.Ïóñòü A âîëíîâîé àëãîðèòì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòè, âêîòîðîì íå èñïîëüçóþòñÿ ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îáîòëè÷èòåëüíûõ ïðèçíàêàõ ñîñåäåé. Òîãäà A â êàæäîìâû÷èñëåíèè ïðîâîäèò íå ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A èìååò âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîìïðîâîäèòñÿ ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè, ò. å. ïîíåêîòîðîìó êàíàëó xy íå ïåðåäàþòñÿ ñîîáùåíèÿ.Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 5.Ïóñòü A âîëíîâîé àëãîðèòì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòè, âêîòîðîì íå èñïîëüçóþòñÿ ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îáîòëè÷èòåëüíûõ ïðèçíàêàõ ñîñåäåé.

Òîãäà A â êàæäîìâû÷èñëåíèè ïðîâîäèò íå ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A èìååò âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîìïðîâîäèòñÿ ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè, ò. å. ïîíåêîòîðîìó êàíàëó xy íå ïåðåäàþòñÿ ñîîáùåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñåòü G 0 , ïîëó÷åííóþ çà ñ÷åò äîáàâëåíèÿ îäíîéòî÷êè z â êàíàëå ìåæäó x è y .Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 5.Ïóñòü A âîëíîâîé àëãîðèòì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòè, âêîòîðîì íå èñïîëüçóþòñÿ ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îáîòëè÷èòåëüíûõ ïðèçíàêàõ ñîñåäåé. Òîãäà A â êàæäîìâû÷èñëåíèè ïðîâîäèò íå ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A èìååò âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîìïðîâîäèòñÿ ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè, ò.

å. ïîíåêîòîðîìó êàíàëó xy íå ïåðåäàþòñÿ ñîîáùåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñåòü G 0 , ïîëó÷åííóþ çà ñ÷åò äîáàâëåíèÿ îäíîéòî÷êè z â êàíàëå ìåæäó x è y .Ïîñêîëüêó òî÷êè íå èäåíòèôèöèðóþò ñâîèõ ñîñåäåé, íà÷àëüíîåñîñòîÿíèå x è y â G 0 áóäåò òåì æå ñàìûì, ÷òî è â ñåòè G . Ýòîñïðàâåäëèâî è äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê G .Ñëîæíîñòü âîëíîâûõ àëãîðèòìîâÓòâåðæäåíèå 5.Ïóñòü A âîëíîâîé àëãîðèòì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòè, âêîòîðîì íå èñïîëüçóþòñÿ ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îáîòëè÷èòåëüíûõ ïðèçíàêàõ ñîñåäåé. Òîãäà A â êàæäîìâû÷èñëåíèè ïðîâîäèò íå ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A èìååò âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîìïðîâîäèòñÿ ìåíåå |E | îáìåíîâ ñîîáùåíèÿìè, ò. å. ïîíåêîòîðîìó êàíàëó xy íå ïåðåäàþòñÿ ñîîáùåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñåòü G 0 , ïîëó÷åííóþ çà ñ÷åò äîáàâëåíèÿ îäíîéòî÷êè z â êàíàëå ìåæäó x è y .Ïîñêîëüêó òî÷êè íå èäåíòèôèöèðóþò ñâîèõ ñîñåäåé, íà÷àëüíîåñîñòîÿíèå x è y â G 0 áóäåò òåì æå ñàìûì, ÷òî è â ñåòè G .

Ýòîñïðàâåäëèâî è äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê G .Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ñîáûòèÿ â C ïðîèçîéäóò â òîì æå ñàìîìïîðÿäêå íà÷èíàÿ ñ èñõîäíîé êîíôèãóðàöèè G 0 , íî òåïåðüñîáûòèþ decide íå ïðåäøåñòâóåò íèêàêîå ñîáûòèå â z . Çàäà÷à ìàðøðóòèçàöèè@@yx@@yyHH@H@HGAAAA@@yzyx@@yyHH@H@HG0Ðèñ.: Âñòàâêà ïðîöåññà â íåèñïîëüçóåìûé êàíàëÏðèìåíåíèå âîëíîâûõ àëãîðèòìîâ: PIFÂîëíîâûå àëãîðèòìû íåîáõîäèìû äëÿ øèðîêîâåùàòåëüíîãîðàñïðîñòðàíåíèÿ èíôîðìàöèè ñ ïîäòâåðæäåíèåì î çàâåðøåíèèâûïîëíåíèÿ (øèðîêîâåùàòåëüíîé ñâÿçè Propagation ofInformation with Feedback, PIF).Ïóñòü èìååòñÿ ïîäìíîæåñòâî ïðîöåññîâ, îáëàäàþùèõíåêîòîðûì ñîîáùåíèåì M .

Íóæíî, ÷òîáû âñå ïðîöåññûïðèíÿëè M . Íåêîòîðûå âûäåëåííûå ïðîöåññû äîëæíû áûòüóâåäîìëåíû î çàâåðøåíèè øèðîêîâåùàòåëüíîé ñâÿçè; ýòîîçíà÷àåò, ÷òî â íèõ äîëæíî áûòü âûðàáîòàíî ñïåöèàëüíîåñîáûòèå notify ñ òåì óñëîâèåì, ÷òî ñîáûòèå notify ïðîèçîéäåòòîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå ïðîöåññû óæå ïîëó÷àòñîîáùåíèå M .Ïðèìåíåíèå âîëíîâûõ àëãîðèòìîâ: PIFÓòâåðæäåíèå 6.Êàæäûé PIF-àëãîðèòì ýòî âîëíîâîé àëãîðèòì.Ïðèìåíåíèå âîëíîâûõ àëãîðèòìîâ: PIFÓòâåðæäåíèå 6.Êàæäûé PIF-àëãîðèòì ýòî âîëíîâîé àëãîðèòì.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü P ýòî íåêîòîðûé PIF-àëãîðèòì. Òîãäà êàæäîåâû÷èñëåíèå àëãîðèòìà P êîíå÷íî è â êàæäîì âû÷èñëåíèèïðîèñõîäèò óâåäîìëÿþùåå ñîáûòèå (notify ).Åñëè â íåêîòîðîì âû÷èñëåíèè àëãîðèòìà P ïðîèñõîäèòóâåäîìëåíèå dP , êîòîðîìó íå ïðåäøåñòâóåò íèêàêîå ñîáûòèå âïðîöåññå q , òî ïî òåîðåìå î ïåðåñòàíîâêå íåçàâèñèìûõñîáûòèé ñóùåñòâóåò òàêîå âûïîëíåíèå àëãîðèòìà P , â êîòîðîìóâåäîìëåíèå ïðîèñõîäèò, äî òîãî êàê q ïîëó÷èò êàêîå-ëèáîñîîáùåíèå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàøèì òðåáîâàíèÿì.

Ïðèìåíåíèå âîëíîâûõ àëãîðèòìîâ: PIFÓòâåðæäåíèå 6.Êàæäûé PIF-àëãîðèòì ýòî âîëíîâîé àëãîðèòì.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü P ýòî íåêîòîðûé PIF-àëãîðèòì. Òîãäà êàæäîåâû÷èñëåíèå àëãîðèòìà P êîíå÷íî è â êàæäîì âû÷èñëåíèèïðîèñõîäèò óâåäîìëÿþùåå ñîáûòèå (notify ).Åñëè â íåêîòîðîì âû÷èñëåíèè àëãîðèòìà P ïðîèñõîäèòóâåäîìëåíèå dP , êîòîðîìó íå ïðåäøåñòâóåò íèêàêîå ñîáûòèå âïðîöåññå q , òî ïî òåîðåìå î ïåðåñòàíîâêå íåçàâèñèìûõñîáûòèé ñóùåñòâóåò òàêîå âûïîëíåíèå àëãîðèòìà P , â êîòîðîìóâåäîìëåíèå ïðîèñõîäèò, äî òîãî êàê q ïîëó÷èò êàêîå-ëèáîñîîáùåíèå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàøèì òðåáîâàíèÿì.

Ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ ñèñòåì ñ àñèíõðîííîéïåðåäà÷åé ñîîáùåíèé (Ïî÷åìó? ).Ïðèìåíåíèå âîëíîâûõ àëãîðèòìîâ: PIFÓòâåðæäåíèå 7.Êàæäûé âîëíîâîé àëãîðèòì ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí âêà÷åñòâå PIF-àëãîðèòìà.Ïðèìåíåíèå âîëíîâûõ àëãîðèòìîâ: PIFÓòâåðæäåíèå 7.Êàæäûé âîëíîâîé àëãîðèòì ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí âêà÷åñòâå PIF-àëãîðèòìà.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü A âîëíîâîé àëãîðèòì. ×òîáû ïðåäñòàâèòü A êàêPIF-àëãîðèòì, ïðîöåññû, ïåðâîíà÷àëüíî õðàíÿùèå M , ñëåäóåòñ÷èòàòü èíèöèàòîðàìè. Èíôîðìàöèþ M íóæíî äîáàâèòü êêàæäîìó ñîîáùåíèþ, ïåðåäàâàåìîìó â àëãîðèòìå A .Íå-èíèöèàòîðû ïàññèâíû, äî òåõ ïîð ïîêà ñàìè îíè íå ïîëó÷àòõîòü îäíî ñîîáùåíèå, à çíà÷èò òàê æå ñòàíóò îñâåäîìëåíû î M .Ñîáûòèþ decide â âîëíå ïðåäøåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíîñîáûòèå â êàæäîì ïðîöåññå. Ñëåäîâàòåëüíî, êîãäà ñîáûòèåðåøåíèÿ ïðîèçîéäåò, êàæäûé ïðîöåññ áóäåò óæå îñâåäîìëåí îM , è ýòî ìîæíî ðàñöåíèâàòü êàê òðåáóåìîå PIF-àëãîðèòìîìóâåäîìëåíèå notify .