Лекция 3. Коммуник. протоколы. Протокол раздвижного окна. Принципы обоснования корректности, страница 4

â êàæäîéäîñòèæèìîé êîíôèãóðàöèè ïðîòîêîëà âûïîëíÿþòñÿñîîòíîøåíèÿoutp [0..sp − 1] = inq [0..sp − 1] è outq [0..sq − 1] = inp [0..sq − 1].Äîêàçàòåëüñòâî:Ñëåäóåò èç Òåîðåìû 3.2 (î ñâîéñòâå èíâàðèàíòîâ) è Òåîðåìû3.4.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÒåîðåìà 3.5.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíà óäîâëåòâîðÿåòòðåáîâàíèþ áåçîïàñíîé äîñòàâêè ñîîáùåíèé, ò.å. â êàæäîéäîñòèæèìîé êîíôèãóðàöèè ïðîòîêîëà âûïîëíÿþòñÿñîîòíîøåíèÿoutp [0..sp − 1] = inq [0..sp − 1] è outq [0..sq − 1] = inp [0..sq − 1].Äîêàçàòåëüñòâî:Ñëåäóåò èç Òåîðåìû 3.2 (î ñâîéñòâå èíâàðèàíòîâ) è Òåîðåìû3.4.Èç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )ñëåäóåò âûïîëíèìîñòü ðàâåíñòâà outp [0..sp − 1] = inq [0..sp − 1] ,Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÒåîðåìà 3.5.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíà óäîâëåòâîðÿåòòðåáîâàíèþ áåçîïàñíîé äîñòàâêè ñîîáùåíèé, ò.å.

â êàæäîéäîñòèæèìîé êîíôèãóðàöèè ïðîòîêîëà âûïîëíÿþòñÿñîîòíîøåíèÿoutp [0..sp − 1] = inq [0..sp − 1] è outq [0..sq − 1] = inp [0..sq − 1].Äîêàçàòåëüñòâî:Ñëåäóåò èç Òåîðåìû 3.2 (î ñâîéñòâå èíâàðèàíòîâ) è Òåîðåìû3.4.Èç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )ñëåäóåò âûïîëíèìîñòü ðàâåíñòâà outp [0..sp − 1] = inq [0..sp − 1] ,à èç óñëîâèé (0q) è (2q) ñëåäóåò âûïîëíèìîñòü ðàâåíñòâàoutq [0..sq − 1] = inp [0..sq − 1] .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíà×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äîñòàâêà ñîîáùåíèé íåèçáåæíà,íåîáõîäèìîÑèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíà×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äîñòàâêà ñîîáùåíèé íåèçáåæíà,íåîáõîäèìîI ââåñòè äîïóùåíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè,I à òàêæå ââåñòè îãðàíè÷åíèÿ íà çíà÷åíèÿ `p è `q .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíà×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äîñòàâêà ñîîáùåíèé íåèçáåæíà,íåîáõîäèìîI ââåñòè äîïóùåíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè,I à òàêæå ââåñòè îãðàíè÷åíèÿ íà çíà÷åíèÿ `p è `q .Áåç ýòèõ îãðàíè÷åíèé ïðîòîêîë íå áóäåò îáëàäàòü ñâîéñòâîìæèâîñòè.(Ïî÷åìó?)Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÎãðàíè÷åíèÿI êà÷åñòâå `p è `q ìîæíî âçÿòü ëþáûå íåîòðèöàòåëüíûåêîíñòàíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó `p + `q > 0 .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÎãðàíè÷åíèÿII êà÷åñòâå `p è `q ìîæíî âçÿòü ëþáûå íåîòðèöàòåëüíûåêîíñòàíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó `p + `q > 0 .Âûäâèãàþòñÿ äâà òðåáîâàíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè:F1.

Åñëè áåñêîíå÷íî ÷àñòî âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü îòïðàâêèïàêåòà, òî ýòîò ïàêåò áóäåò îòïðàâëÿòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÎãðàíè÷åíèÿII êà÷åñòâå `p è `q ìîæíî âçÿòü ëþáûå íåîòðèöàòåëüíûåêîíñòàíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó `p + `q > 0 .Âûäâèãàþòñÿ äâà òðåáîâàíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè:F1. Åñëè áåñêîíå÷íî ÷àñòî âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü îòïðàâêèïàêåòà, òî ýòîò ïàêåò áóäåò îòïðàâëÿòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.F2.

Åñëè îäèí è òîò æå ïàêåò îòïðàâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî,òî è ïðèíèìàåòñÿ îí òàêæå áåñêîíå÷íî ÷àñòî.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÑòâîðêè îêîí ïðîöåññîâ p è q ¾ðàçúåçæàþòñÿ¿ íå ñëèøêîìäàëåêî äðóã îò äðóãà.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÑòâîðêè îêîí ïðîöåññîâ p è q ¾ðàçúåçæàþòñÿ¿ íå ñëèøêîìäàëåêî äðóã îò äðóãà.Ëåììà 3.1. ëþáîé äîñòèæèìîé êîíôèãóðàöèè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàsp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `p ≤ sp + `p .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:Èç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ apÈç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ apÈç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñâîéñòâî (3p): ap ≤ sqîáåñïå÷èâàåò âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà ap ≤ sq .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ ap ≤ sqÈç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñâîéñòâî (3p): ap ≤ sqîáåñïå÷èâàåò âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà ap ≤ sq .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ ap ≤ sqÈç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñâîéñòâî (3p): ap ≤ sqîáåñïå÷èâàåò âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà ap ≤ sq .Èç (0q) è (2q) ñëåäóåò sq ≤ aq + `p .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `pÈç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñâîéñòâî (3p): ap ≤ sqîáåñïå÷èâàåò âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà ap ≤ sq .Èç (0q) è (2q) ñëåäóåò sq ≤ aq + `p .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `pÈç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñâîéñòâî (3p): ap ≤ sqîáåñïå÷èâàåò âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà ap ≤ sq .Èç (0q) è (2q) ñëåäóåò sq ≤ aq + `p .È, íàêîíåö, èç (3q) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî aq + `p ≤ sp + `p .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:sp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `p ≤ sp + `p .Èç óñëîâèé(0p): ∀i < sp : outp [i] 6= udef(2p): ∀i : outp [i] 6= udef =⇒ outp [i] = inq [i] ∧ (ap > i − `q )èíâàðèàíòà P ñëåäóåò íåðàâåíñòâî sp − `q ≤ ap .Ñâîéñòâî (3p): ap ≤ sqîáåñïå÷èâàåò âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà ap ≤ sq .Èç (0q) è (2q) ñëåäóåò sq ≤ aq + `p .È, íàêîíåö, èç (3q) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî aq + `p ≤ sp + `p .Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÑòâîðêè îêîí ïðîöåññîâ p è q íå ìîãóò ¾ñîìêíóòüñÿ¿îäíîâðåìåííî, ò.å.

ïðîòîêîë íèêîãäà íå áóäåò çàáëîêèðîâàí.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÑòâîðêè îêîí ïðîöåññîâ p è q íå ìîãóò ¾ñîìêíóòüñÿ¿îäíîâðåìåííî, ò.å. ïðîòîêîë íèêîãäà íå áóäåò çàáëîêèðîâàí.Ëåììà 3.2. ëþáîé äîñòèæèìîé êîíôèãóðàöèè äîïóñòèìî õîòÿ áû îäíî èçäâóõ äåéñòâèé: îòïðàâëåíèå ïàêåòà h , inp [sq ], sq i ïðîöåññîìp èëè îòïðàâëåíèå ïàêåòà h, inq [sp ], sp i ïðîöåññîì q .packpackÑèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:Ñîãëàñíî îãðàíè÷åíèþ `p + `q > 0 ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èçíåðàâåíñòâ Ëåììû 3.1sp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `p ≤ sp + `pÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, ò.å.,sq < sp + `p ∨ sp < sq + `q.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:Ñîãëàñíî îãðàíè÷åíèþ `p + `q > 0 ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èçíåðàâåíñòâ Ëåììû 3.1sp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `p ≤ sp + `pÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, ò.å.,sq < sp + `p ∨ sp < sq + `q.Èç èíâàðèàíòà P òàêæå ñëåäóþò íåðàâåíñòâà(3p): ap ≤ sq è (3q): aq ≤ sp ,è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå(ap ≤ sq < sp + `p ) ∨ (aq ≤ sp < sq + `q ),Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÄîêàçàòåëüñòâî:Ñîãëàñíî îãðàíè÷åíèþ `p + `q > 0 ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èçíåðàâåíñòâ Ëåììû 3.1sp − `q ≤ ap ≤ sq ≤ aq + `p ≤ sp + `pÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, ò.å.,sq < sp + `p ∨ sp < sq + `q.Èç èíâàðèàíòà P òàêæå ñëåäóþò íåðàâåíñòâà(3p): ap ≤ sq è (3q): aq ≤ sp ,è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå(ap ≤ sq < sp + `p ) ∨ (aq ≤ sp < sq + `q ),Ýòî ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî äåéñòâèå p äîïóñòèìîäëÿ i = sq , ëèáî äåéñòâèå q äîïóñòèìî äëÿ i = sp .SSÑèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíàÒåîðåìà 3.6.Ñèììåòðè÷íûé ïðîòîêîë ðàçäâèæíîãî îêíà óäîâëåòâîðÿåòòðåáîâàíèþ íåèçáåæíîé äîñòàâêè ñîîáùåíèé, ò.å.

äëÿ êàæäîãîöåëîãî ÷èñëà k ≥ 0 , â õîäå ëþáîãî âûïîëíåíèÿ ïðîòîêîëàáóäåò äîñòèãíóòû êîíôèãóðàöèÿ, â êîòîðîé sp ≥ k è sq ≥ k .Äîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç.õîòÿ áû îäíîéÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Òîãäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ëåììû 3.1.sp − `q ≤ sq ≤ sp + `p ,õîòÿ áû îäíîéÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç.

Òîãäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ëåììû 3.1.sp − `q ≤ sq ≤ sp + `p , çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé òàêæå íåìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.õîòÿ áû îäíîéÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Òîãäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ëåììû 3.1.sp − `q ≤ sq ≤ sp + `p , çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé òàêæå íåìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.Ïóñòü σp è σq íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ sp è sq .õîòÿ áû îäíîéÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç.

Òîãäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ëåììû 3.1.sp − `q ≤ sq ≤ sp + `p , çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé òàêæå íåìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.Ïóñòü σp è σq íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ sp è sq .Òîãäà,õîòÿ áû îäíîéÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Òîãäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ëåììû 3.1.sp − `q ≤ sq ≤ sp + `p , çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé òàêæå íåìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.Ïóñòü σp è σq íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ sp è sq .Òîãäà, cîãëàñíî Ëåììå 3.2.,õîòÿ áû îäíîéÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Òîãäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ëåììû 3.1.sp − `q ≤ sq ≤ sp + `p , çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé òàêæå íåìîæåò óâåëè÷èâàòüñÿ áåñêîíå÷íî ÷àñòî.Ïóñòü σp è σq íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ sp è sq .Òîãäà, cîãëàñíî Ëåììå 3.2., ëèáî îòïðàâëåíèå ïàêåòàh, inp [σq ], σq i ïðîöåññîì p , ëèáî îòïðàâëåíèå ïàêåòàh, inq [σp ], σp i ïðîöåññîì q äîïóñòèìî áåñêîíå÷íî äîëãîïîñëå òîãî, êàê ïåðåìåííûå sp , sq , ap è aq ïðèìóò ñâîèîêîí÷àòåëüíûå çíà÷åíèÿ.õîòÿ áû îäíîépackpackÄîêàçàòåëüñòâî:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü âû÷èñëåíèå C , â êîòîðîì çíà÷åíèÿèç ïåðåìåííûõ sp è sq óâåëè÷èâàþòñÿ ëèøüêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç.