Лекция (3) (Лекции)

Волновое движение средыPage 1 of 7Раздел III. Волновое движение1. Волновые уравненияПри описании среды в переменных Эйлера физические характеристики ее определяютсязаданием некоторой величины (или совокупности физических величин) в каждой точкепространства в данный момент времени. Изменение этих величин (в данной точкепространства) с течением времени называется движением.Среди возможных движений сплошной среды выделяется волновое движение, которое вбольшинстве случаев можно интерпретировать, как последовательное перемещение значенийфизических величин, заданных в некоторый (начальный) момент времени в определенныхточках пространства от одной точки к другой.

Представление о волновом движении впростейшем случае иллюстрируется одномерным движением. Пусть при t = 0 в некоторойобласти пространства 0 < x < l задано начальное распределение физической величины(например, плотности массы) с помощью функции: ρ( x, 0 ) = f ( x ) . Движение называетсяволновым, если с течением времени изменение распределения плотности можноинтерпретировать, например, как смещение начального распределения в положительномнаправлении оси OX :ρ( x, t ) = f ( x − Vt ) .В рассматриваемом случае смещение пропорционально времени.

Коэффициентпропорциональности называется (фазовой) скоростью волны.Если начальное распределение задано дифференцируемой функцией, то нетрудно найтидифференциальное уравнение (в частных производных), которому удовлетворяет данноеволновое движение среды:∂ρ∂ρ+V=0.(1)∂t∂xПолученное уравнение называется уравнением простой волны.Если начальное распределение не описывается дифференцируемой функцией, тоуравнение волнового движения удобнее задавать в интегральной форме, рассматриваяперенос волной данной физической величины (например массы) через границу выделенногообъема.x2m (t ) = ∫ ρ( x, t )dxx1Изменение массы в данной области, вызванное волновым движением среды, определяетсяпотоком ее через границу:xr r∂ 2m& (t ) = ∫ ρ( x, t )dx = −V ∫ ρ( x )dσ + V ∫ ρ( x )dσ = − ∫ ρ( x )Vdσx2x1∂ t x1(2)ΣДля дифференцируемой функции, используя теорему Гаусса, это соотношение можнопривести к виду:x2x2∂∂∫x ∂t ρ(x, t )dx = − x∫ ∂x (ρ(x )V )dx ,11что сразу же дает дифференциальное уравнение (1).Если среда является изотропной и допускает распространение волн как в положительном,так и в отрицательном направлении с одинаковой скоростью, то волновое уравнение (1)удобно заменить уравнением второго порядка:2∂ 2ρ2 ∂ ρ−V=0,(3)∂t 2∂x 2решениекоторогопредставляетпроизвольнуюсуперпозициюфункцийρ(x , t ) = f1 ( x − Vt ) + f 2 ( x + Vt ) , описывающих две волны, распространяющиеся навстречу другmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 2 of 7другу.Представление Фурье позволяет описывать произвольную функцию в виде интеграла:ρ( x , t ) =+∞∫ ρ~(k , ω) exp{ikx − iωt}dk ,−∞~ (k , ω) удовлетворяет волновому уравнению (3), что приводитгде каждая Фурье-компонента ρк соотношению (4), связывающему волновое число k и частоту ω:(4)ω2 − V 2k 2 = 0 ,которое называется дисперсионным соотношением.Решение волнового уравнения в виде монохроматической волны называется нормальнойволной и является обобщением решения линейного уравнения для определения собственныхколебаний системы.Во многих случаях распространение волны в среде сопровождается изменением формыначального распределения.

Фурье-разложение представляет естественный подход дляобобщения понятия волнового движения. Действительно, начальное распределениефизической величины может быть задано как суперпозиция нормальных волн с различнойскоростью распространения. В этом случае можно задать V = V (k ) или V = V (ω) иисследовать распространение волнового пакета. Для упрощения поставленной задачиположим, что в некоторой окрестности значений волнового числа k задано дисперсионноесоотношение (4), которое представлено лишь первыми членами разложения:2∂ωω = ω(k ) = ω 0 +(k − k 0 ) + 1 ∂ ω2 (k − k 0 )2 + o (k − k 0 )2 ,(5)∂k2 ∂k()где ω0 = ±Vk0 .Пространственное распределение физической величины представляется в виде интегралаФурье:ρ( x , t ) =∫ ρ~(k , ω) exp{ikx − i[ω+∞−∞]}+ ω′0 (k − k 0 ) + ω′0′ (k − k 0 ) 2 t dk =20+∞~ (k + k , ω) exp{i ( x − ω′ t )k − i (ω′′t 2 )k 2 }dk= exp{ik 0 ( x − Vt )} ∫ ρ000.Если волновой пакет состоит из группы волн с близкими значениями волнового числаk − k 0 < ∆ и одинаковыми амплитудами, то при ω′0 ∆ >> ω′0′∆2 волновое решение имеет видволны с изменяющейся амплитудой:ρ( x , t ) = A( x , t ) exp{ik0 ( x − Vt )} ,где+∆~~ (k ) 2 sin (( x − ω′0t )∆ )A( x, t ) = ρ (k0 ) ∫ exp{i ( x − ω′0t )k }dk =ρ0( x − ω′0t )∆ .−∆−∞Полученное пространственное распределение физической величины называется волновым∂ωV gr =пакетом и распространяется со скоростью∂k , называемой групповой скоростью волны.Область локализации волнового пакета определяется не равными нулю членами Фурье~ (k , ω) , вносящими заметный вклад в интеграл.

При вычислении интеграла мыразложения ρполагали, что отличные от нуля члены дают заметный вклад лишь в малой окрестности k0.Квадратичные члены разложения (5) приводят к изменению начальной формы пакета –его расплыванию:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 3 of 7 ( x − ω′0t )22ππ∫− ∞exp i(x − ω′0t )k − i(ω′′0t 2)k dk = ω′0′t exp − i 2ω′0′t + i 4  .Явление расплывания волнового пакета, образованного из нормальных волн с различнойфазовой скоростью распространения, называется дисперсией (от лат. Dispersio – рассеяние,уничтожение).Волновое уравнение для волн, обладающих дисперсией, несколько сложнеерассмотренного ранее простейшего.

Примером может служить уравнение Клейна-Гордона∂ 2 ϕ 2 ∂ 2ϕ−c+ ω20ϕ = 022,∂t∂xдля которого дисперсионное уравнение имеет видω2 (k ) = c 2 k 2 + ω02 .+∞{2}Фазовая скорость этой волныV ph (k ) =ω= c 1 + ω20 c 2 k 2,kVgr (k ) =∂ωck=∂k1 + ω20 c 2 k 2 .а групповаяСвязь между фазовой и групповой скоростью нетривиальна. Возможны случаи, когда этискорости отличаются знаком..Полученные результаты допускают естественное обобщение на многомерныесистемы.

Вrэтом случае приходится вместо волнового числа вводить волновой вектор k , определяющийнаправление распространения волны. Поверхность постоянной фазы, определенная внекоторый момент времени, называется волновым фронтом. Волновой вектор определяетнормаль к волновому фронту – направление распространения волны.Другая возможность обобщения понятия волнового движения связана с рассмотрениемпроцессов переноса выделенного состояния среды со скоростью, определяемой этимсостоянием (в каждой точке). Рассмотрим вновь одномерную волну.

Пусть начальноераспределение задано на некотором интервале, например 0 < x < l , некоторой функциейρ( x , 0) = f ( x ) , а распространение волны происходит со скоростью, определяемой состояниемсреды в данной точке: V = V (ρ ) . В этом случае в момент времени t ≠ 0 координата точки,имевшей значение ρ(s ) изменится:x = s + V ( f (s ))t(6)Это уравнение можно рассматривать, как параметрическое задание волнового решения впроизвольный момент времени, поскольку оно определяет структуру волны ρ( x , t ) позаданному начальному распределению. Если распределение описывается дифференцируемойфункцией, то нетрудно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяетволновое движение рассматриваемого типа.

Действительно, ρ( s ) определяет волну впроизвольный момент времени, если уравнение (6) определяет (в неявной форме) значениепараметра s = s (x , t ) в произвольный момент времени в данной точке пространства.Дифференцирование дает:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 4 of 7∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂x ∂s ∂x∂x∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂t ∂s ∂t∂t .Из уравнения (6) следует:∂s1∂sV==−∂x 1 + V ′t∂t1 + V ′t .ρ( x , t ) получаетсянелинейноеОтсюдадлядифференцируемойфункциидифференциальное уравнение, описывающее волновой процесс:∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0.∂t∂xУравнение такого типа называется квазилинейным.

Описанный метод построениярешения квазилинейного уравнения называется методом характеристик (Римана). Напомним,что характеристикой уравнения называется зависимость x = x (t , f 0 ) , определяющая законf 0 = const .движенияточкисзаданнымзначениемфизическойвеличиныДифференцирование этого соотношения позволяет определить скорость распространениярассматриваемой точки «вдоль характеристики». В частности, для указанного нелинейногоуравнения скорость распространения постоянна.Однозначное решение указанного типа для произвольного начального распределенияможет существовать лишь в ограниченной области пространства в течение ограниченногоинтервала времени.Рассмотрим простой пример. Пусть, для определенности, скорость распространенияρV (ρ ) = V0ρ 0 , а начальноеволны пропорциональна величине возмущения среды, т. е.распределение задано зависимостью, изображенной на рисункеρρ0xlРис.Деформация профиля волны, обусловленная тем, что скорость точки с максимальнымзначением ρ = ρ0 превышает скорость всех остальных участков волны, изображена нарисунке.Для рассмотренного распределения решение перестает быть однозначной функциейкоординаты при t > t0 .

Определить дальнейшую эволюцию системы с помощьюдифференциального уравнения невозможно, поэтому дальнейшее описание процесса мыпроведем с помощью интегральных соотношений. Квазилинейное уравнение∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0∂t∂xможет быть представлено в видеmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 5 of 7∂ρ ∂Φ+=0,∂t ∂xгдеΦ = ∫ V (ρ )dρ .Ему соответствует интегральное соотношение:x∂ 2ρ( x )dx = Φ ( x1 ) − Φ ( x 2 )∂t x∫1.Для рассматриваемого случаяρ22ρ 0 .Выбирая контрольные поверхности в точках, где поток равен нулю, получим законсохранения (массы) в выделенном объеме:Φ = ∫ V (ρ )dρ =x2∫ ρ(x )dx = const .x1Предположим, что в начальный момент времени имеется разрывное(сформировавшееся из рассмотренного ранее непрерывного треугольного)x<0 0ρ( x ) = ρ 0 x l 0 < x < l 0x>lрешениеЕсли при дальнейшей эволюции этого решения имеется лишь единственный разрыв, то егокоордината в момент t = t1 связана с амплитудой волны соотношениемρ1ρ0=x1 l + V0 t ,которое следует из подобия треугольников.

Здесь мы полагаем, что существование разрываникак не влияет на распространение волны левее него.ρρρ01lx1xРис.Закон сохранения (массы) дает второе соотношение:ρ 0l = ρ1 x1 .Отсюда следует закон движения разрыва – «фронта ударной волны»:x1 (t ) = l 1 + V0 t l .Движение разрыва происходит со скоростьюmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 6 of 7x&1 (t ) = V0 2 1 + V0t l .Амплитуда волны с течением времени убывает:ρ1 (t ) = ρ 0 1 + V0 t l .Квазилинейные уравнения широко используются для описания волновых процессов,сопровождающихся деформацией начального распределения.Известны и широко используются обобщения квазилинейных уравнений, описывающиераспространение волновых пакетов (специальной формы) без деформаций. Приведем этиуравнения и их решения.1) Уравнение Кортевега – де Фриса (КдФ)Это уравнение получается добавкой «дисперсионного» члена:∂u ∂ 3u∂u+ (1 + 12u ) + 3 = 0.∂x ∂x∂tРешение уравнения КДФ, убывающее на бесконечности, имеет видa 2 −2u( x, t ) =ch (a (x − (1 + a 2 )t + b ) 2 ),4где a, b - произвольные постоянные.Оно описывает уединенную волну – солитон, распространяющийся со скоростьюV (a ) = 1 + a 2 , зависящей от амплитуды волны.f(x) over Range 0 to 111f( x )0.50420x5245Рис2) Уравнение Бюргерса (с диссипацией)∂u∂u∂ 2u+u−δ 2 =0∂t∂x∂xДля этого уравнения известно решение Тейлора («ударная волна»), имеющее вид:u( x, t ) = aδ{1 − th(ax − δa 2 t 2 )}mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 7 of 7f(x) over Range 0 to 2332f( x)10101050x51010Рисmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005.