Синтез цифрового фильтра по аналоговому прототипу

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫЛабораторная работа № 6КСинтез цифрового фильтра по аналоговому прототипуГолованов В.В.2003 г.Цель работы. В данной лабораторной работе изучается два метода синтеза цифрового фильтра по аналоговому прототипу: метод билинейногоz-преобразования и метод инвариантной импульсной характеристики. Исследуются частотные и временные характеристики синтезированного фильтра,которые требуется сравнить с соответствующими характеристиками аналогового прототипа.

Работа осуществляется с использованием программного пакета MATLAB.Варианты заданийВариант123456789101112131415Параметры схемыL,мГн131.60.280.34L,мГн0.2610.16L,мГн2,50.638.4L1,мГн189.510C,мкФ2453610C,R1,мкФ Ом2450242007080C1,C2,мкФ мкФ190.59.5210L2,C,мГн мкФ2220.5241.55R,Ом801610100624R2,Ом10020050R,Ом161250R,Ом97322Метод синтезаТип схемыБил. z-пр.Инв.

ИХИнв. ИХБил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.111222Инв. ИХБил. z-пр.Бил. z-пр.333Инв. ИХБил. z-пр.Инв. ИХ444Бил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.555Вариант161718192021222324252627Параметры схемыC1,C2,мкФ мкФ0.002 0.010.006 0.020.002 0.01C1,C2,мкФ мкФ0.003 0.0030.004 0.0040.005 0.005C1,C2,мкФ мкФ0.002 0.0020.007 0.0070.004 0.004C,мкФ0.010.010.005R1,кОм7.54.330R1,кОм4.73.94.3R1, R2,кОмкОм305122R1,кОм5.12.23.92.21.63R2,кОм181251R2,кОм394362R3,МетодсинтезаТип схемыИнв. ИХИнв.

ИХБил. z-пр.666Бил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.777Бил. z-пр.Инв. ИХИнв. ИХ888Бил. z-пр.Бил. z-пр.Бил. z-пр.999кОм130150100R2,кОм758262Типы схемТипсхемыПередаточная функцияи нормировочная частотаСхема1/(LC)L1CRK(p) =p2 +p/(RC) +1/(LC)w0 =1/√ LCp2CK(p) =2LRp2 +p/(RC)+1/(LC)w0 = 1/√ LC1ТипсхемыПередаточная функцияи нормировочная частотаСхемаp/(R1C)K(p) =R1L3R2Cp(R1+R2) 1+LCR1 R2Cp2 +w0 =1 /√ LCC1L4C1C2K(p)=R1(p2+)C1+C2LC1p21p++R(C1+C2) L(C1+C2)w0=1/√L(C1+C2)5p +L1C12L2K(p)=Rp2 +p+RCL1CL1+L2L1L2Cw0=√ (L1+L2)/(L1L2C)6R1R2K(p) =C2+C1b0p2 + b1p + b0b0= 1/( R1R2C1C2)b1= (1/C2)(1/R1+1/R2)w0=√ b02ТипсхемыСхемаПередаточная функцияи нормировочная частотаp2R1K(p)=+7C2C1R2p2 + b1p +b0b0=1/(C1C2R1R2)−b1=(1/R2)(1/C1+1/C2)w0=√ b0C1K(p)=R38p2 +b1p +b0a1= −1/(R1C1)C2R1a 1p−b1= (1/R3)(1/C1+1/C2)+b0= (1/(R3C1C2))(1/R1+1/R2)R2w0=√ b0CR1R2CR9RR11+ R+-R1R2C2K(p)=2221p2 +2pp+1+R2CR1R2C2w0= 1/(C √ R1R2)2 C3Краткие теоретические сведенияПередаточная функция аналогового фильтра-прототипа представляется ввиде:b0pm +b1pm-1 +…+bkpm-k +…+bmK(p) =m≤ n,a0pn +a1pn-1 +…+akpn-k +…+an ,где bk и ak – коэффициенты числителя и знаменателя передаточнойфункции, n – порядок фильтра.

Можно записать её, задавая нули zk и полюсаpk:K(p) =K0 (p – z1)(p – z2)…(p – zm)(p – p1)(p – p2)…(p – pn).При синтезе цифрового фильтра (ЦФ) по аналоговому прототипу нужнопрежде всего получить передаточную функцию ЦФ в виде:K(z) =b0 + b1z – 1 + …+ bkz – k +…+ bMz – Ma0 + a1z – 1 +…+ akz – k +…aNz – N,причём a0=1, max(M,N) – порядок фильтра, коэффициенты bk и ak передаточной функции ЦФ не совпадают с соответствующими коэффициентамианалогового прототипа.С целью нахождения передаточной функции ЦФ осуществляется пересчёт коэффициентов передаточной функции аналогового прототипа в коэффициенты передаточной функции ЦФ в соответствии с тем или иным методом.При билинейном z – преобразовании производится замена переменных:2 z–1p=T z+1,где Т – интервал дискретизации.Такая замена обеспечивает сохранение основных требований к частотной характеристике фильтра.4В случае применения метода инвариантной импульсной характеристикипередаточная функция ЦФ записывается в виде:rkNK(z) = α ⋅ ∑k=11 - epkT⋅ z – 1,где rk = Res K(p) – вычет передаточной функции аналогового прототипаp=pkв полюсе pk, α - некоторый коэффициент.

Данный метод обеспечивает совпадение с точностью до постоянного множителя импульсных характеристикЦФ и его аналогового прототипа:gц [n] = α ⋅ ga (nT).Порядок выполнения работы1. Получив у преподавателя вариант задания, перерисуйте в тетрадьпредложенную вам схему аналогового фильтра-прототипа, перепишите значения элементов схемы, выражение передаточной функции K(p) и формулудля расчёта нормировочной частоты w0.2 . Рассчитайте значения коэффициентов передаточной функции и нормировочной частоты. Пронормируйте коэффициенты передаточной функции:для этого свободные члены полиномов разделите на w02 , а коэффициентыпри p на w0. Запишите передаточную функцию в нормированной форме.3 .

Постройте АЧХ аналогового прототипа и диаграмму нулей и полюсов. Для этого загрузите MATLAB. В открывшемся окне Command Windowвведите соответствующие операторы. Например, если2p + 1K(p) =2,p +3p+2.5следует ввести:>> b=[2 1];>> a=[1 3 2.5];>> [k,w]=freqs(b,a);>> plot (w, abs(k)/ max(abs(k))), grid>> figure>> zplane(b,a)5В случае, если вы ошиблись при вводе операторов, используйте клавишиуправления курсором ↑ и ↓ для воспроизведения ранее введённых операторов после значка >>. Внесите исправления и нажмите клавишу Enter. Еслиисправления касались исходных данных, нужно повторить ввод оператороврасчёта частотной характеристики freqs, построения графика plot, а такжевывода диаграммы полюсов и нулей zplane.Если нужно построить АЧХ в логарифмическом масштабе, вместо четвёртого оператора введите:>> plot (w, 20*log10(abs(k)/ max(abs(k)))), gridАЧХ будет построена в графическом окне Figure No.1, а диаграмма полюсов и нулей в графическом окне Figure No.2.

Если какое-либо окно свёрнуто, его можно раскрыть, нажав соответствующую кнопку на панели задачWindows. График АЧХ представлен в зависимости от нормированной частоты Ω, которая равна w/w0, где w – угловая частота в рад/с.Для расчёта импульсной характеристики введите операторы:>> [r,p,kk]=residue(b,a);>> t=0:0.1:10;>> g=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t);>> figure>> plot(t,g), gridРаскройте окно Figure No. 3 и просмотрите график импульсной характеристики. Если импульсная характеристика не просматривается до конца, следует увеличить интервал времени, например задать t=0:0.1:100. График импульсной характеристики дан в зависимости от нормированного времени, такчто единице нормированного времени соответствует 1/w0 секунд.Перенесите схематичное изображение полученных графиков в свою рабочую тетрадь, указав характерные значения.4.

Проанализируйте полученные характеристики аналогового прототипаи выберите частоту дискретизации Fs. Учтите при этом, что АЧХ с её полосами пропускания и задерживания должна располагаться в интервале [0,Fs/2] (Fs/2 – частота Найквиста). Таким образом, в области частот f > Fs/2окажется несущественная часть АЧХ. По графику АЧХ вы определите нормированную частоту Найквиста (πFs/w0). Для расчёта частоты дискретизациив герцах нужно умножить нормированную частоту на величину w0/π.

Введите значения Fs и w0 после значка >> в командном окне MATLAB.5. Примените заданный метод синтеза ЦФ по аналоговому прототипудля нахождения передаточной функции ЦФ. Введите в командном окнеMATLAB следующий оператор:>> [bz, az]= bilinear(b,a,Fs/w0)- для синтеза по методу билинейного z – преобразования,>> [bz, az]= impinvar(b,a,Fs/w0)- для синтеза по методу инвариантной импульсной характеристики.6На экран монитора будут выведены строки коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЦФ.6. Для просмотра характеристик синтезированного ЦФ введите команду>> fdatoolОткроется основное окно программы fdatool, позволяющей синтезировать фильтры, проматривать их характеристики и исследовать эффекты квантования в них.

Задайте команду Import Filter в меню Filter. Вкладка DesignFilter окна программы fdatool будет заменена на вкладку Import Filter. Стеревданные в полях Numerator и Denominator, укажите в них идентификаторы bzи az, под которыми в рабочей области MATLAB сохранены векторы коэффициентов передаточной функции ЦФ. В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации Fs, указав единицу измерения в поле Units. Можно вместо этого задать значения коэффициентов, заключив список в квадратныескобки и отделяя одно значение от другого пробелами. Например, если передаточная функция имеет вид0.2 – 0.42z –1 +0.05z –2K(z) =1+ 0.18z –1 – 0.24z –2 + 0.081z –3,то в поле Numerator следует ввести [0.2 –0.42 0.05], а в поле Denominator[1 0.18 –0.24 0.081].Щёлкните по кнопке Import Filter.

Далее можно просматривать характеристики фильтра.На панели инструментов в верхней части окна имеются значки характеристик фильтра. Подводя курсор к одному из значков и нажимая левуюкнопку мыши, можно вывести на экран график желаемой характеристики.Можно просмотреть• амплитудно-частотную характеристику (АЧХ, magnitude response),• фазочастотную характеристику (ФЧХ, phase response),• АЧХ и ФЧХ совместно,• xарактеристику группового времени запаздывания (group delay),• импульсную характеристику (impulse response),• переходную характеристику (step response),• диаграмму полюсов и нулей (pole/zero plot),• коэффициенты фильтра (filter coefficients).Для детального просмотра участков графика используется кнопка zoom inпанели инструментов.