УМФ_билеты

Уравнения математической физикиПрограмма билетов к экзамену. Поток В.И. Зубова7 июня 2016 г.04:07Конспект подготовлен на основе лекций В.И. Зубова и подготовленных билетов Павла Останина и МихаилаХристиченко. Делали:• Иванычев Сергей, 376 группа• Погодин Роман, 374 группа• Нагайко Иван, 372 группа• Рязанов Андрей, 374 группа• Федоряка Дмитрий, 374 группа• Багно Богдан, 376 группа• Изутин Никита, 378 группа• Ермолова Марина, 373 группа• Хасянов Расул, 371 группа• Михальченко Егор, 371 группа• Шлёнский Владислав, 374 группа• Цветкова Ольга, 374 группа• Молибог Игорь, 374 группа• Чигринский Виктор, 374 группа• Леонтьев Семён, 377 группа• Кильянов Александр, 372 группа1Содержание1 Билет 1.

Приведение к каноническому виду в точке дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) 2 порядка в Rn с линейной старшей частью. Классификацияуравнений. Приведение уравнений 2 порядка к каноническому виду на плоскости61.1Гиперболический случай . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2Параболический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.3Эллиптический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .91.4Формальный вид уравнения характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Билет 2. Постановка задачи Коши для уравнения 2-го порядка с частными производнымив Rn с линейной старшей частью.

Понятие о корректности задачи Коши. Пример Адамаранекорректности задачи Коши для уравнения Лапласа.103 Билет 3. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера. Область зависимости решения от начальных данных. Существование и единственность классическогорешения. Корректность постановки задачи144 Билет 4. Смешанная задача для колебаний полубесконечной струны с закрепленным концом. Условия согласования начальных и граничного данных. Существование и единственность классического решения.164.1Формулировка . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2Общее решение4.3Сшивка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4Окончательное решение задачи . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Билет 5. Формула Пуассона-Кирхгофа решения задачи Коши для однородного волновогоуравнения в R3 . Существование классического решения этой задачи.196 Билет 6. Формула Кирхгофа решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения в R3 . Метод Дюамеля. Принцип Гюйгенса226.1Формулировка задачи . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2Метод Дюамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3Запаздывающий потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4Общая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.5Принцип Гюйгенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 237 Билет 7. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R2 . Методспуска. Диффузия волн258 Билет 8. Теорема о единственности классического решения задачи Коши для волновогоуравнения (на примере случая R2 ). Метод интеграла энергии.269 Билет 9. Формула Пуассона решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности в R1 Фундаментальное решение. Существование классического решения задачиКоши при непрерывной ограниченной начальной функции.2810 Билет 10. Формула Пуассона решения задачи Коши для однородного и неоднородного2уравнений теплопроводности в Rn .

Метод Дюамеля. Существование классического решения.3211 Билет 11. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теорема о единственности решения задачи Коши уравнения теплопроводности в классе M2 (T) (без доказательства)3512 Билет 12. Решение методом Фурье смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности на отрезке с однородными краевыми условиями Дирихле. Существование иединственность классического решения.3813 Билет 13.

Метод Фурье решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны сзакреплёнными концами. Обоснование метода для случая однородного уравнения.4313.1 Формулировка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4313.2 Теорема единственности . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4313.3 Обоснование метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4514 Билет 14. Формулы Грина для оператора Лапласа. Постановка краевых задач Дирихле иНеймана для уравнения Пуассона в ограниченной области. Единственность классического решения задачи Дирихле. Неединственность решения задачи Неймана и необходимоеусловие её разрешимости.4714.1 Формулы Грина .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.1.1 Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.1.2 Первая формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.1.3 Вторая формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.2 Внутрення задача Дирихе для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3 Внутренняя задача Неймана для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 4815 Билет 15. Симметричность и положительная определенность оператора −∆ при однородном граничном условии Дирихле. Положительность собственных значений и ортогональность собственных функций.5016 Билет 16. Решение методом Фурье задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Представление решения в виде ряда по однородным гармоническим многочленам и в видеинтеграла Пуассона.

Существование классического решения при непрерывной граничнойфункции.5116.1 Решение методом Фурье задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. . . . . . . . . . . . . . . 5116.2 Представление решения в виде ряда по однородным гармоническим многочленам и в виде интеграла Пуассона. Существование классического решения при непрерывной граничной функции. . 5217 Билет 17.

Интегральное представление решений уравнений Лапласа и Пуассона в ограниченной области. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.5517.1 Интегральное представление решений уравнений Лапласа и Пуассона в ограниченной области. . 5517.2 Фундаментальное решение уравнения Лапласа. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618 Билет 18. Свойства гармонических функций в R3 : бесконечная дифференцируемость, теорема о среднем.58319 Билет 19.Принцип максимума и минимума для гармонических функций. Единственностьклассического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона при непрерывной граничной функции6019.1 Теорема (принцип максимума) . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6019.2 Новая постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6119.3 Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 6120 Билет 20. Функция Грина для задачи Дирихле (случай R3 ). Функция Грина для шара.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре6320.1 Функция Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6320.2 Функция Грина для шара . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6420.3 Формула Пуассона в шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421 Билет 21. Теорема Лиувилля для гармонических функций (случай R3 )6621.1 Формулировка теоремы . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6621.2 Доказательство при µ ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6621.3 Доказательство при µ < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 6722 Билет 22. Теорема об устранимой особой точке для гармонических функций (случай R3 )6823 Билет 23. Преобразование Кельвина и его свойства. Регулярность поведения гармонических функций на бесконечности. Единственность решения внешних задач Неймана и Дирихле для уравнения Лапласа (случай R3 ).6924 Билет 24. Интегральные операторы с непрерывными и полярными ядрами в ограниченнойобласти, их непрерывность в пространстве C(Ḡ).

Приближение операторов с полярнымиядрами операторами с непрерывными ядрами.7225 Билет 25. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с малым по норме интегральным оператором K. Представление решения рядом Неймана. Ограниченность оператора(I − λK).7426 Билет 26. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденными ядрами.Сведение к системе линейных алгебраических уравнений. Теоремы Фредгольма в этомслучае.7526.1 Разрешимость интегрального уравнения с вырожденным ядром .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7627 Билет 27. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывными и полярными ядрами. Теоремы Фредгольма. Дискретность множества характеристических чисел.7828 Билет 28. Объемный ньютонов потенциал и его свойства. Убывание на бесконечности.Результат действия оператора Лапласа на объемный потенциал.8129 Билет 29. Понятие области с границей C 2 . Потенциал просто слоя. Его свойства. Непрерывность в R38330 Билет 30. Потенциал двойного слоя.

Интеграл Гаусса. Скачок потенциала двойного слояпри переходе через границу, на которой задаётся плотность86431 Билет 31. Понятие правильной нормальной производной. Существование правильной нормальной производной у потенциала простого слоя с непрерывной плотностью Формуласкачка для нормальной производной9032 Билет 32. Сведение с помощью потенциалов внутренней задачи Дирихле и внешней задачиНеймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям на границе. Существованиеи единственность решения этих задач9332.1 Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа .