27 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-27Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачКо второй строке прибавим первую умноженную наКо третьей строке прибавим первую:::аносantigtu.ruКо второй строке прибавим третью умноженную наИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-27ачУсловие задачиСкКоллинеарны ли векторыи, построенные по векторами?РешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны..

Т.е. векторыТ.е.для любых, а значит векторыии.tigtu.ruНетрудно заметить, что- коллинеарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-27Условие задачиНайти косинус угла между векторамииРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус углаanНайдем.ачТ.е. косинус угла:Ски следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-27Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахвекторного произведения:, численно равна модулю их, используя его свойства векторного произведения:anВычисляемианосВычисляем площадь:Т.е.

площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-27Условие задачи,иачКомпланарны ли векторы?РешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно, то векторы,tigtu.ruТак какине компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-27Условие задачиРешениепроведем векторы:аносИз вершиныи его высоту, опущенную изanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкачВычислим смешанное произведение:Получаем:tigtu.ruТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Тогда:Объем тетраэдра:Высота:аносПолучаем:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-27Условие задачидо плоскости, проходящей через три точки.СкНайти расстояние от точкиРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки:от точкиНаходим:tigtu.ruдо плоскостианосРасстояниеanПроведем преобразования::Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-27Условие задачиперпендикулярно вектору.ачНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуСкРешениеНайдем вектор:Так как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-27Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-27Условие задачи, равноудаленной от точекачНайти координаты точкиСкРешениеНайдем расстояниеи:и.Таким образом, тоtigtu.ruТак как по условию задачи.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-27Условие задачи- коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, чтопринадлежит образу плоскости ?anПустьточкааносРешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскостиТак какв уравнениеачПодставим координаты точки, то точка:не принадлежит образу плоскостиЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-27СкУсловие задачиНаписать канонические уравнения прямой.:.Канонические уравнения прямой:,tigtu.ruРешение:аносНайдем направляющий векторanгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:СкачНайдем какую-либо точку прямой. Пусть, тогдаtigtu.ruСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-27Условие задачиanНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:СкачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Условие задачиНайти точкусимметричную точкеРешениеtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-27относительно плоскости.Тогда уравнение искомой прямой:anНайдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.

Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющеговектора можно взять вектор нормали плоскости:аносНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.ачПодставляем в уравнение плоскости:СкНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:является серединой отрезка, тоСкачаносanПолучаем:tigtu.ruТак как.