26 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-26Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачКо второй строке прибавим первую:tigtu.ruаносanК третьей строке прибавим первую:Искомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-26Условие задачии, построенные по векторами?ачКоллинеарны ли векторыСкРешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:. Т.е.

векторыЗначит векторыи- не коллинеарны.tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-26Условие задачииНайти косинус угла между векторамии:аносНайдемanРешение.Находим косинус угламежду векторамии:ачТ.е. косинус угла:Ски следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-26Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, численно равна модулю их векторногоan, используя его свойства векторного произведения:ВычисляеманосВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-26Условие задачи,и?ачКомпланарны ли векторыРешениеСкДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно, то векторы,иtigtu.ruТак какне компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-26Условие задачиРешениепроведем векторы:аносИз вершиныи его высоту, опущенную изanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкачВычислим смешанное произведение:Получаем:tigtu.ruТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Тогда:Объем тетраэдра:Высота:аносПолучаем:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-26Условие задачиСкНайти расстояние от точкидо плоскости, проходящей через три точки.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиРасстояниеаносanПроведем преобразования::от точкиНаходим:до плоскости:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-26Условие задачиСкНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешениеНайдем вектор:перпендикулярно вектору.tigtu.ruТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-26Условие задачиanНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:ачУголаносДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-26Условие задачиСкНайти координаты точки, равноудаленной от точеки.Найдем расстояниеиtigtu.ruРешение:Так как по условию задачи, тоanТаким образомЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-26Условие задачиРешениеаносПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскостьач. Находим образ плоскостиСкПодставим координаты точкиТак как, то точкав уравнение:не принадлежит образу плоскости.:Условие задачиНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:an,tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-26анос- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийгдевектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:Найдем направляющий вектор:СкачНайдем какую-либо точку прямой.

Пусть, тогдаtigtu.ruanСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-26Условие задачиРешениеаносНайти точку пересечения прямой и плоскости.ачЗапишем параметрические уравнения прямой.СкПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-26Условие задачисимметричную точкеотносительно плоскости.anНайти точкуРешениеаносНайдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можновзять вектор нормали плоскости:Тогда уравнение искомой прямой:СкачНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:Получаем:Так как, тоanявляется серединой отрезкаtigtu.ruНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:СкачаносПолучаем:.