var26 (вариант 26)

Щербаков Иван Сергеевич, ИУ8-21, 26 вариантЗадача 1-3Условие~0Нерелятивистская частица с внутренней энергией E0 и массой m0 , летящая со скоростью V~~распадается на две нерелятивистские частицы, скорости которых V1 и V2 , массы m1 и m2 . Импульсыp~1 и p~2 , кинетические энергии E1 и E2 .

При этом часть внутренней энергии E0 исходной частицыв количестве ηE0 расходуется на увеличение кинетической энергии образовавшихся частиц. ϕ Угол разлета частиц, θ - угол отклонения первой частицы от первоначального направления полетаисходной частицы.m0 = 10−2 кг,V0 = 20м/с,ϕ = π2 ,m1 = 32 m,m2 = 13 m,p2 = m02V0Необходимо определить следующие величины:θ, V1 , p1 , E1 , E2 , ηE0m0Так как p2 = mV2 , а m2 = 3 , то V2 =По закону сохранения импульса:p2m2=3V02~0 = m1 V~1 + m2 V~2 .m0 VПо закону сохранения энергии:m1 V12m2 V22m0 V02+ ηE0 =+222Рассмотрим эти соотношения в проекциях на оси x и y. Обозначим β = ϕ − θ. ТогдаV0x = V0 , V0y = 0, V1x = V1 cos θ, V1y = V1 sin θ, V2x = V2 cos β, V2y = −V2 sin β.Так как ϕ = θ + β =π2,то tg θ = ctg β.

Получим систему уравнений:V2 = 9V4 0 ,9V0V2 = 3 ,m2 V 2 −m2 V 2V1x = 0m00 V0 m21 2 ,m0 V0 = m1 V1x + m2 V2x ,m2 V2 (m20 V02 −m22 V22 )√, V1y =m1 V1y = −m2 V2y ,(m0 m1 V0 ) m20 V02 −m22 V2222222m0 V0x + 2ηE0 = m1 (V1x + V1y ) + m2 (V2x + V2y ), ⇒ m2 V22V2x = m0 V0 ,9V 2√22+ V2y= 40 ,V2xV2 m20 V02 −m22 V22V=−,V2yV1x2ym 0 V0V1y = − V2x .m1 m2 V22 +m20 V02 −m1 m0 V02 −m22 V22ηE0 =.2m1Найдем искомые величины:V2 = 9V4 0 = 30м/с, V1ym2 v 2√θ=arctg=arctg= π6 ,V1xm20 V02 −m22 V22s2 2 2 2 2 2 q√m2 V2 (m20 V02 −m22 V22 )m0 V0 −m2 V22 +V2 =√+V=V3 ≈ 25.981м/с,=1511x1y2222mVm0 01(m0 m1 V0 ) m0 V0 −m2 V2√кг·м3 p1 = m1 V12 = 100 ≈ 0.017 с ,mV19E1 = 2 1 = 40≈ 0.225Дж,√ 2 2 2 2 !2 2V2m0 V0 −m2 V2m V2m2  m2 V2+m 0 V00 022m2 (V2x+V2y)== 0.3Дж,E=222 ηE = m1 m2 V22 +m20 V02 −m1 m0 V02 −m22 V22 = 7 = 0.175Дж.02m140Шербаков Иван Сергеевич, ИУ8-21, 26 вариантЗадача 2-3УсловиеФизический маятник, состоящий из шара радиусом R и массой M , жестко прекрепленногок тонкому стержню длиной 4R и массой M ,подвешен к горизонтальной оси O, проходящейчерез конец стержня перпендикулярно плоскостирисунка.

Маятник может свободно без трениявращаться вокруг оси O. Шарик массы m движется горизонтально в плоскости рисунка со~0 вдоль прямо, проходящей черезскоростью Vцентр шара, и ударяет в шар. При этом взаимодействие шарика с маятником происходит в видеабсолютно неупругого удара.R = 3см,M = 1кг,m = 0.1кг,V0 = 0.5V0m .Вычислить:ϕm ;V0m ;∆E.Момент инерции системы с шариком (шарик считается материальной точкой):I = I + 25mR2 =401M R2 + 25mR2 .15За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень, на котором находится ось вращения.Найдем энергию системы в начальном состоянии, состоянии максимального подъема и состоянииотклонения на угол ϕ: Eп0 = −2M gR − 5M gR − 5mgr = −(7M + 5m)gR.Eп1 = 2M gR + 5M gR + 5mgr = (7M + 5m)gR.Eпϕ = (−2M gR − 5M gR − 5mgr) cos ϕ = −(7M + 5m)gR cos ϕIω 2Кинетическая энергия системы сразу после столкновения: Eк1 = 2 0Найдем ωm . По закону сохранения энергии:r2Iωm4(7M + 5m)gR− (7M + 5m)gR = (7M + 5m)gR ⇒ ωm =.2IПри соударении выполняется закон сохранения момента импульса:rr5mV0 RIωm4Ig(7M + 5m)(7M + 5m)gRIω0 = 5mV0 R.

⇒ ω0 =; V0m ==; ω0 =.I5mR25m2 RIЗапишем закон сохранения энергии для рассматриваемого случая:mV02Iω02mV02Iω 2mV0225m2 V02 R2+ ∆E =⇒ ∆E =− 0 =−222222IНайдем ϕm :Iω02Iω02.− (7M + 5m)gR = −(7M + 5m)gR cos ϕm ⇒ ϕm = arccos 1 −22gR(7M + 5m)Запишем полученные результаты:I = 401M R2 + 25mR2 ,15 q+5m)≈ 32.131м/с,V0m = 4Ig(7M25m2 R222225m V0 RmV≈ 11.801Дж,∆E = 2 0 −2IIω02 ϕ = arccos 1 −m2gR(7M +5m) = arccos12=π3.Шербаков Иван Сергеевич, ИУ8-21, 26 вариантЗадача 3-3УсловиеНа рисунке представлен физический маятник, состоящий из двух шаров радиусами R 1 и R2 имассами соответственно m1 и m2 . Шары жестко скреплены с помощью стержня длиной L и массойm1 .

Через точку O стержня проходит горизонтальная ось вращения, расположенная на расстоянииl0 от верхнего конца стержня. Маятник отклоняют от положения равновесия на угол α 0 , затем вначальный момент времени t = 0 отпускают. В результате маятник начинает совершать свободныенезатухающие колебания. Коэффициент сопротивления считать равным нулю.Для данной колебательной системы необходимо:1) Вывести дифференнциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.2) Определить круговую частоту ω0 и период T0 свободных незатухающих колебаний.3) Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитудуA0 и фазу ϕ0 колебаний.4) Написать с учетом найденных значений урванение колебаний.r = 0,m1 = 2.1кг,m2 = 4.1кг,R1 = 0.04м,R2 = 0.05м,L = 1, 2м,l0 = 0.4м,α = π9 .Вычислим момент инерции системы относительно оси O:I=122m1 R12 + m1 (R1 + l0 )2 + m1 L2 + m1 l02 + m2 R22 + m2 (R2 + L − l0 )2535Вычислим расстояние x0 от верхнего конца стержня до центра масс системы:L2m2 r2 + 2m2 L + m1 L − 2m1 r1−m1 (R1 + x0 ) + m2 (R2 + L − x0 ) + m1− x0 = 0 ⇒ x 0 =22(2m1 + m2 )Последовательно вычислим искомые величины:1) В процессе колебаний на систему действует сила тяжести.

Ее момент равенM = −g(2m1 + m2 )(x0 − l0 )α. Тогда:M = I ⇒ α̈ +g(2m1 + m2 )(x0 − l0 )α = 0.IПолучено дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.q2π≈ 2.524с, где2) ω0 = g(2m1 +mI2 )(x0 −l0 ) ≈ 2.249с−1, T0 = ω0x0 =2m2 r2 +2m2 L+m1 L−2m1 r1,I2(2m1 +m2 )3) A0 = α0 =π9,ϕ4) α = α0 cos(ω0 t).= 0.= 25 m1 R12 +m1 (R1 +l0 )2 + 13 m1 L2 +m1 l02 + 52 m2 R22 +m2 (R2 +L−l0)2 .Шербаков Иван Сергеевич, ИУ8-21, 26 вариантЗадача 4-4УсловиеДля струны длиной l, натянутой с силой F~ и закрепленной, как указано на рисунке, необходимо:1) определить частоту колебаний и длину волны i-ой гармоники стоячей волны,2) для этой гармоники нарисовать вдоль стержня качественные картины стоячих волн амплитудсмещений и давлений.Материал: сталь,L = 1.2м,d = 0.3мм,ρ = 7.8 · 103 кг/м3 ,F = 5Н,i = 4.Стоячая волна будет образовываться при наложении двух противоположных волн ξ 1 = A cos(ωt −kx + ϕ1 ) и ξ1 = A cos(ωt + kx + ϕ2 ).

Она будет иметь вид:ξ = A cos(ωt + ϕf1 ) cos(kx + ϕf2 )На длину стоячей волны накладывается ограничение: λ =q2волн в струне: c = Fτ , где τ = ρS, S = πd4 . Тогда,c=s2Li ,i ∈ N Скорость распространения4F.πd2 ρНайдем последовательно искомые величины:1) Найдем ограничение, накладываемое на частоту волн, способных образовывать стоячие волны:ω=2πcπсi⇒ω=,λLi∈NЧастота ω0 = πсL является основной, частоты при i > 1 относятся к обертонам. Частота i-ой2L3гармоники: ωi = πсiL ≈ 9.972 · 10 Гц, длина волны: λi = i = 0.6м.2) Качественная картина амплитуд смещений:3) Качественная картина амплитуд давлений:.