3j_semestr_var_20_3nov (вариант 20)

712Вариант 20.Условие. Тонкая металлическая пластина 2 расположена вплотную к обкладке 1 конденсатора 1-3емкостью С так что между пластиной 1 и обкладкой2 существует электрический контакт. Обкладки кон-3εεLденсатора С замкнуты на батарею с ЭДС , соленоид индуктивностью L и сопротивление R. (см. рис.)Пластина 2 отрывается от обкладки 1 и движется спостоянной скоростью V к обкладке 3. Расстояниемежду обкладками конденсатора равно d.

НайтиR1. Ток в цепи.2. Заряды на обкладках 1 и 3.3. Работу совершенную внешними силами при перемещении пластины 2 отобкладки 1 до обкладки 3 конденсатора.4. Количество тепла, выделившееся на сопротивлении R (для варианта 20).5. Пренебрегая краевыми эффектами найти напряженность магнитного полямежду обкладками конденсатора.№ варианта20L0RRРешение.Рассмотрим систему обкладок конденсатора.

Так как пластина 2 была в соприкосновении с пластиной 1, то её заряд положителен q2 = +Cε . Пусть заряд пластины 1123+q1E2E1εE3R+q2E2E1-q3E2E2E1E3xE1E3E3d-xположительный, а заряд пластины 3 – отрицательный. Каждая из пластин создаетнапряженность электрического поля, векторы которых изображены на рисунке.Снаружи конденсатора напряженность поля равна нулюE2 + E1 − E3 = 0 илиqq2q+ 1 − 3 = 0.2ε 0 S 2ε 0 S 2ε 0 SОткуда q2 + q1 = q3 .Напряжение между обкладками U = ( E1 + E3 − E2 ) x + ( E2 + E1 + E3 )( d − x ) ,8U = E2 ( d − 2 x ) + E1d + E3 d =qq2q( d − 2x) + 1 d + 3 d2ε 0 S2ε 0 S2ε 0 Sε0 S, поэтомуdqqqU = 2 ( d − 2x) + 1 + 3 .2Cd2C 2CdqЗакон Ома = IR + U . Сила тока I = 1 , откудаdtq2q1 q2 + q1q2qU=или U = ( d − x ) + 1 .( d − 2x) + +2Cd2C2CCdCq2dU q2dUЗаряд обкладки q1 = CU − ( d − x ) следовательно I = C+ V =C+ddtddtdUCV Подставим это в закон Ома: =  C+ R + U .

и получимd  dtdUCVRCR+U = −.dtdt−dUdUdt+U = 0 ,=−, U = Ae CR .Решение однородного уравнения CRdtUCRЁмкость конденсатора C =εεε CV.dεε εРешение неоднородного уравнения ищем в виде постоянного значенияU=Общее решение U = Ae−tCR+ε − ε CVRdε − ε CVR.dС учетом начального условия: U=ε при t=0 получимA=ε = A + ε − ε CVR, откудаdε CVR. Окончательно, зависимость напряжения на конденсаторе от времени:dU =εCVR − CRte+dε − ε CVR.ddU1CVR − CRtV − CRt=−e=−edtCRdddUCVCV − CRtполучаем для силы тока: I = C+=−e+dtddt−CV CRI =1−e.d εС учетом выраженияεεεε CVdεНайдем заряды на обкладках.

С учетом x = Vt : CVR − CRtq1 = C e +dεCε − ε CVR − ε ( d − Vt )ddили, после преобразований:ε C dVR  e2q1 =ε εq3 = C +−tCR− 1 +ε Cd Vt ,C VR  − CRt e − 1 +d 2ε Cd Vt .или9Найдем работу совершенную внешними силами при перемещении пластины2 от обкладки 1 до обкладки 3 конденсатора. Уравнение движения пластины (вто рой закон Ньютона) Ma = F + FКУЛ . Так как скорость движения пластины постоянная, то ускорение равно нулю и поэтому F = − FКУЛ - внешняя сила, приложенная кпластине, равна по величине силе Кулона и направлена противоположно. Поэтому работа внешней силы будет отрицательной, так как сила и перемещение пластины направлены противоположноdA = − ∫ Fdx0Сила, действующая на пластину (равна по величине силе Кулона) qq F = q2 ( E1 + E3 ) = q2  1 + 3  , 2ε 0 S 2ε0 S после преобразований:q q qF = q2  1 + 3  = 2 ( q1 + q3 ) , 2Cd 2Cd  2CdtC 2VR  − CR C F=Vt  . C + 2 e − 1 + 22d d d εС учётом того, что t =εεx:Vε  εC + 2ε C VR  eC − 1 + 2x2 d d d dxC 2VR  − CRVC A = −∫− 1 + 2x  dx = C + 2e2d d d 02F=ε ε−εεεε  εCd + 2ε C VR  −CRV  e2=−xCRV2 d d−dCRVε  2εCd − 2ε C VR  CRV  eA=−22d d− 1 − d  +−dCRVε Cd d2− 1 + d   .Найдем количество теплоты, выделившейся на сопротивлении R.По закону Джоуля-Ленца:2t CV −CRQ = ∫ I Rdt = ∫ 1 − e   Rdt , d  00 t0t02εt0t2t−− CV CRCRQ= R ∫ 1 − 2e + e  dt , d  0ε2t0t2tt2t−− 0CR − CRCR − CR0 3 CV   CV  CRCRQ=e  =e − CR  . R t + 2CRe − R t0 + 2CRe −222 d  0  d  dВремя, за которое пластина прошла расстояние от 1й обкладки до 3й: t0 = .V2d2d−CR − CRV3 CV   dCRVQ=R+2CRe−e− CR  . 22 d  Vε2εε210Для нахождения напряженности магнитного поля применим теорему о циркуляции вектора напряженности в интегральном виде:d∫ ( H ,dl ) = I + dt ∫ ( D,dS ) .SΓДля простоты предполагаем, что пластины конденсатора являются круглыми дисками, площадью S каждый.

Поэтому в качестве контура интегрирования Г беремокружность радиуса r с центром на оси симметрии пластин. Площадь, охватываемая окружностью S1 = πr 2 . Между пластинами нет тока проводимости I=0, поэтому с учетом тока смещения dHHH,dl=D,dS()(),∫∫Γ∫ (dt S H ,dl = H 2πr ,)Γ dddDD,dS= ( DS1 ) = S1.∫dt S1dtdt()Величина смещения D равна поверхностной плотностиHГDHqSзаряда на обкладках D = .ОткудаdD I= =dt SH 2πr = πr 2Окончательно: H =r2ε CV1 − eSdt−CR.ε CV1 − eSdε CV1 − eSdt−CR.−tCR,.