3j_semestr_var_20_2 (вариант 20)

4№ варианта 20Магнитостатика.Условие. Два плоских проводника с токами I, текущими в противоположных направлениях, разделены слоем магнетика толщиной d. Ширина проводников равна L (L>>d). Магнитная проницаемость µ магнетикаменяется в направлении оси y позакону µ=f(y). Построить графически распределения модулей векторов индукции B и напряжённости Hмагнитного поля, а также векторанамагниченности J в зависимости от y в интервале значений от 0 до d. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на верхней и нижней поверхностях магнетика и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(y). Определитьиндуктивность единицы длины этой двухполосной линии.y n + d 0nФункция µ=f(y) для чётных вариантов имеет вид: µ =d 0ny + 2d y=+1 .Для варианта № 20: d0/d=2/1, n=1, µ =2d2dПо результатам проведённых вычислений построить графически зависимости B(y)/B(0),H(y)/H(0) в интервале значений y от 0 до d для задачи.

Все зависимости изобразить на одном графике.Решение.Сначала найдем напряженность магнитного поляyH2 H1внутри линии. Поле внутри линии считаем однородным (это справедливо, если расстояние междуIГ2 проводниками много меньше их ширины). КаждаяH2H1из полос создает магнитное поле, векторы напряженности которого показаны на рисунке (нижнейГ1Iполосе соответствует номер 1). Так как направление тока и векторов магнитного поля согласованыH1 H2правилом правого винта, во внутренней части векторы напряженностей от каждой из полос одинаковы по величине и направлены в однусторону. Снаружи они также одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Поэтому снаружи напряженность поля равна нулю.

Применим теорему от циркуля ции вектора напряженности магнитного поля в интегральной форме: ∫ H, dL = I - цирку-()Lляция вектора Н по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме сторонних токов охватываемых этим контуром. Токи считаются положительными, если ихнаправление согласовано с направлением обхода при интегрировании правилом правоговинта.Направим ток в нижнем проводнике внутрь рисунка. В качестве линии интегрированиявозьмем прямоугольник Г1 в перпендикулярном сечении линии. Поле считаем однородным, поэтому вектор напряженности поля внутри постоянен по длине и направлению, и направлен вдоль стороны контура.

Тогда ∫ H, dL = ∫ H ⋅ cos 0 ⋅ dl = ∫ H ⋅ dl = H ∫ dl = H ⋅ l ,(Г1)Г1Г1Г1где l – ширина проводника. (Здесь учтено, что поле отлично от нуля только внутри линии.)С другой стороны, циркуляция должна быть равна суммарной силе тока через рассматриваемый контур. Поэтому H ⋅ l = I .5IОткуда получаем выражение для величины H = . То есть напряженность магнитного поlHля внутри постоянна= 1.H (0)Исходя из соотношения B = µµ0 H , найдем величину индукции магнитного поля yIµ 0  + 1ByI2d  l yI= =+1.B = µµ 0 H = µ 0  + 1 , B ( 0 ) = µ 0 ,Il B ( 0)2d 2d  lµ0l B Найдем вектор намагниченности вещества J =− H = ( µ − 1) H .µ0 yI y IВеличина намагниченности J = ( µ − 1) H =  + 1 − 1 =. 2d l 2d lIНамагниченность при y=0 J ( 0 ) = 0 , а при y=d: J ( d ) = .2lJyПоэтому построим график= .J(d) dНайдем объемную плотность молекулярных токов (токов намагничивания) jМОЛ = rotJТак как вектор J направлен так же как и Н – в направлении осиyх, то вектор jМОЛ направлен вдоль проводника.

Они согласованы правилом правого винта.Так как все координаты вектора J, кроме Jx, равны нулю, тоxeX eY e Zz ∂J ∂J∂∂∂rotJ == eY X − eZ X .∂x ∂y ∂z∂z∂yJX 00Здесь ex, ey, ez – орты декартовой системы координат. ∂J ∂  y I 1 IНо Jx зависит только от y: jМОЛ = − eZ X = − eZ . = −eZ2d l∂y∂y  2d l Знак минус говорит о том, что вектор плотности тока направлен против оси Z (см. рис.).Для нахождения плотности поверхностных токов намагничивания запишем′ , где J 2t − J1t изменение касательной составляющей вектора намагниченностиJ 2t − J1t = iПОВпри переходе через поверхность раздела магнетиков.′Для нижнего проводника J1t = 0 , поэтому J 2t = iНИЖН= 0 , так как J t = J X = 0 на нижнемпроводнике.I′Для верхнего проводника J 2t = 0 , поэтому iВЕРХ= − J1t = − J1X = − , знак минус говорит о2lтом, что токи направлены против касательной составляющей J t на верхней поверхности.ΦДля нахождения индуктивности длины кабеля L = B , найдем магнитный поток черезIпродольное сечение линии.

Для этого возьмем кусок линии длиной b. Тогда dS=b⋅dy. Таккак вектор В параллелен проводнику в поперечном сечении линии, то вектор В и векторdS параллельны. Тогда6dd d y2I5dI yIΦ B = ∫ B,dS = ∫ Bbdy = ∫ µ 0  + 1 bdy = µ 0  + y  b = µ 0b.4l 2d  l 4dl 0S005dIµ0b4l = µ 5db .Тогда индуктивность L =0I4lL5dИндуктивность единицы длины = µ 0.b4lПроверка.Покажем, что суммарный молекулярный ток равен нулю.I МОЛ = I МОЛ _ ОБЪЕМ + I МОЛ _ ПОВ()dI МОЛ _ ОБЪЕМ = ∫ jМОЛ dS = ∫0S′′С учетом того, что iНИЖН= 0 , iВЕРХ=−1 I1ldy = I2d l2I:2l1I МОЛ _ ПОВ = iМОЛ _ НИЖН _ ПОВl + iМОЛ _ ВЕРХН _ ПОВ l = − I .2Поэтому I МОЛ = 0 .1,6BB ( 0)1,4HH ( 0)1,21,00,8JJ (d)0,60,4yd0,20,00,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0.