27 (Решённый вариант 27 (из Чудесенко))

Ч _ 2 _10 _ 27k =7Ci − {на i − м броске выпал герб}P (Ci ) = P (Ci ) = 1 / 2тогда вероятность выйгрыша игрока BP ( B ) = P(C1 ) ⋅ P(C2 ) + P(C1 ) ⋅ P(C2 ) ⋅ P (C3 ) ⋅ P (C4 ) + ... ==1 k 1 1 7 1∑ = ∑ = 33.33%4 i = 0 4i 4 i = 0 4 iпри сколь длительной игре k → ∞1 k 1lim  ∑ ik →∞ 4 i =0 4 1 k 1lim=∑ i 4 k →∞  i =0 42P ( A) = 1 − P( B) =3 1 4 1 = ⋅ = = P( B) 4 3 31 1 1 1 1 1⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ... =2 2 2 2 2 2Ч _ 2 _11_ 27m=9a) номера шаров в порядке поступления образуют последовательность1,2,..., mвсего существует m! размещений. Т .е нам надо найдти вероятность11 размешения из m! размещений ⇒ PA = = 2.7 ⋅ 10−3 %m!1lim PA = lim=0m − >∞m −>∞ m!б ) хотя бы 1 раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения.Bk = {к − й шар имеет номер k}тогда искомая вероятность есть m nP  ∑ Bk  = ∑ P( Bi ) − ∑ P( Bi B j ) + ∑ P( Bi B j Bk ) − ...

+ (−1) m+1 P( B1 B2 ...Bm ) =1≤i < j ≤ m1≤i < j < k ≤ m k =1  i =1= P1 − P2 + P3 − ... + (−1) n +1 Pmподсчитаем вероятность Pn (n = 1,2,..., m), т.е. вероятность произведениясобытий B1 B2 ...Bn . Всего существует n! размещений ⇒1 m m (−1) k −1 m (−1) k −1( n = 1,2,..., m) ⇒ PB = P  ∑ Bk  = ∑=∑= 63.21%!!n!kkk=1k=1k=1k −1m(−1)1lim PB = lim ∑= 1 − ≈ 63.21%m −>∞m −>∞k!ek =1в ) нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлеченияPn =рассмотрим противоположенное событие, т.е. когда есть хотя бы1 совпадение.

А эту вероятность мы нашди в предыдущем пункте. ⇒⇒ P(C ) = P( B) ⇒ P(C ) = 1 − P( B) = 36.78%lim P(C ) = 1 − lim P( B) = 36.78%m −>∞m −>∞Ч _ 2 _12 _ 27По условию задачи общее количество ламп − 1000.Поэтому n3 = 1000 − n1 − n2n1n2n3710 160 130A = {выбранная лампа бракованная}выдвигаем гипотезы(1)n1= 71%1000(1)nH 2 − выбранная лампа со второго завода; P ( H 2 ) = 2 = 16%1000(1)nH 3 − выбранная лампа с третьего завода; P( H 3 ) = 3 = 13%1000очевидно, что при выполнении H1 вероятность попаданияH1 − выбранная лампа с первого завода; P ( H1 ) =бракованной лампы 6% ⇒ P( A / H1 ) = 0.06очевидно, что при выполнении H 2 вероятность попаданиябракованной лампы 5% ⇒ P ( A / H 2 ) = 0.05очевидно, что при выполнении H 3 вероятность попаданиябракованной лампы 4% ⇒ P( A / H 3 ) = 0.04по формуле полной вероятности3P ( A) = ∑ P( H i ) ⋅ P( A / H i ) =i =1= P ( H1 ) ⋅ P ( A / H 1 ) + P ( H 2 ) ⋅ P ( A / H 2 ) + P ( H 3 ) ⋅ P ( A / H 3 ) ==nn1n⋅ 0.06 + 2 ⋅ 0.05 + 3 ⋅ 0.04 = 5.58%100010001000(1) по классическому определению вероятностиЧ _ 2 _13 _ 27N1M1N2M2K25325717A = {из второй корзины извлекли белый шар}выдвигаем гипотезыH i (i = 0,.., K ) − из K переложенных шаров i являются черными.

Тогда ( K − i ) являются белымиТ .о. после перекладывания во второй корзине оказалось ( N 2 + K − i ) белых шаров и( M 2 + i ) черных. По классическому определению вероятности найдем вероятностьизвлечения белого шара из второй урны после перекладывания.

P =Т .о. P( A / H i ) =N2 + K − i.N2 + M 2 + KN2 + K − iN2 + M 2 + Kнайдем вероятность гипотезы H i : P( H i ) =CNK1−i ⋅ CMi 1CNK1 + M1по формуле полной вероятности искомая вероятность равнаKKCNK1−i ⋅ CMi 1i =0i =0CNK1 + M1P( A) = ∑ P( H i ) ⋅ P( A / H i ) = ∑⋅17C17 −i ⋅ C i 25 + 17 − iN2 + K − i= 81.99%= ∑ 25 17 3 ⋅N 2 + M 2 + K i = 0 C2825 + 7 + 17Ч _ 2 _14 _ 27k l m n7 8 4 3A = {второй раз вынули n чистых марок}выдвигаем гипотезыH i = {при первом извлечении вынуто i чистых марок} (i = 0,1,..., m)Cki ⋅ Clm−iесли вынуто i чистых марок, то гашеных марок вынуто ( m − i ) ⇒ P( H i ) =Ckm+lCkn−iпри выполнении гипотезы H i чистых макор останется k − i ⇒ P ( A / H i ) = nCk +lCki ⋅ Clm −i Ckn−iпо формуле полной вероятности P( A) = ∑ P ( H i ) ⋅ P( A / H i ) = ∑⋅ n =Ckm+lCk + li =0i =0mC7i ⋅ C84−i C73−i=∑⋅ 3 = 2.78%C154C15i =04mЧ _ 2 _15 _ 27m1 m2 m3 n1n2n3j20 40 40 90 70 80 3выдвигаем гипотезыH i − купленное изделие с i − го завода (i = 1,2,3)mi100A = {куплено первосортное изделие}очевидно, что при выполнении i − й гипотезы шанс покупки первосортногоP( H i ) =ni100по формуле полной вероятностиP ( A) = P( H1 ) ⋅ P( A / H1 ) + P( H 2 ) ⋅ P( A / H 2 ) + P( H 3 ) ⋅ P( A / H 3 ) =изделия равен ni ⇒ P( A / H i ) =3mi ni⋅i =1 100 100по формуле Байеса=∑P ( H j / A) =P ( H j ) ⋅ P( A / H j )P( A)mj=⋅nj100 100 = 0.32 = 41.02% mi ni  0.78⋅∑i=1  100 100 3Ч _ 2 _16 _ 27n m57опыт состоит из последовательного брасания монеты (n + m) раз.Очевидно, что1) каждое бросание монеты событие независемое2)вероятность выпадения герба или цифры при каждом бросании 1/ 2интересующие нас событие состоится, если осуществятся одновременнодва взаимно независемых события :А = {при первых ( n + m − 1) бросках герб выпадет ровно (n − 1) раз}B = {при последнем броске выпадает герб}Очевидно, что по биномиальному распределениюn −1m111111P( A) = C⋅   ⋅   = C114 ⋅   , а P( B) =2222т.к.

события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −111!  1 1 1Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅   ⋅ =⋅   = 8.05% 2  2 4!⋅ 7!  2 1141112Ч _ 2 _17 _ 27p n0.7 15т.к. ( (n + 1) p ) − дробное число, тодля нахождения наиболее вероятного числа выйгравших билетов,воспользуемся формулой m0 = [( n + 1) ⋅ p] = 11по формуле Бернулли найдем соответствующую вероятностьP = Cnm0 ⋅ p m0 ⋅ q n−m0 = Cnmo ⋅ p m0 ⋅ (1 − p) n−m0 = C1511 ⋅ 0.711 ⋅ 0.34 = 21.86%Ч _ 2 _18 _ 27n n114 2n22p1p20.25 0.35n3 = n − n1 − n2 = 10p3 = 1 − p1 − p2 = 0.4A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша. Причем эти события попарно несовместны. Тогда P ( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!14!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.252 ⋅ 0.352 ⋅ 0.410 = 0.48%2!⋅ 2!⋅ 10!n1!⋅ n2!⋅ n3!Ч _ 2 _19 _ 27mnp9 1000 0.008т.к.

n велико, то воспользуемся приближенной формулой для биномиальногораспределения, основанной на формуле Пуассона(np) m − np 89 −8Pn (m) =e = e = 12.40%m!9!Ч _ 2 _ 20 _ 27np k1 k2200 0.40 100т.к. n достаточно велико, воспользуемся приближенной формулой , основанной наинтегральной теореме Муавра − Лапласа. x = x( k1 ) = −11.57k − npk − np=⇒ 1npqn ⋅ p ⋅ (1 − p ) x2 = x( k2 ) = 2.88Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )x=Pn ( k1 ; k2 ) = 0.498 + 0.5 = 99.80%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа ( таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114).