3j_semestr_var_20_1 (вариант 20)

1Вариант 20Электростатика.Условие. Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U ирасстояние между обкладками равно d. Диэлектрическаяпроницаемость меняется между обкладками по законуε=f(y). Построить графически распределение модулейвекторов электрического поля Е, поляризованности Р иэлектрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанныхзарядов на нижней и верхней поверхностях диэлектрика,распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ′(y), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади.d n0Функция ε=f(у) для чётных вариантов имеет вид: ε = n.d0 − ynЗдесь d0 - известный параметр.2d.Для варианта 20: d0/d=2/1, n=0,5.

ε =2d − yРешение.Будем считать, что электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, а снаружи конyденсатора напряженность поля равна нулю (этосправедливо, если расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пластин).Пусть, для определенности, нижняя пластинаDDDимеет положительный заряд. Тогда векторэлектрического смещения D направлен от нижней пластины к верхней.x Применим теорему Гаусса для вектора D в интегральной форме: поток вектора электричеSского смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних электрических зарядов внутри этой поверхности ∫ D, dS = q . В качестве поверхности интегрирования S возьмем прямой ци-()Sлиндр с основанием параллельным пластине.

Тогда поток вектора D будет отличен от ну ля только через основание, находящееся внутри конденсатора ∫ D, dS = DSОСН . Обозна-()Sчим через σ плотность сторонних зарядов пластины. Тогда q = σSОСН . ОткудаDDSОСН = σSОСН или D = σ . Тогда= 1.D MAXИспользуя соотношение D = εε 0 E , найдем величину вектора напряженности электрического поля: E =ТогдаE=Dσ=εε 0 ε 02d − y2d − y2d= 1−y. E MAX = E ( 0 ) =σ.ε0.2d Вектор поляризованности P = D − ε 0 E = ε 0 ( ε − 1) E , откуда для величиныE MAX2d2 σ 2d − yy2d.P = ε 0 ( ε − 1) E = ε 0 − 1=σ 2d − y  ε2d2d 0σPyPMAX = P(d) =.

Тогда=.PMAXd2Найдем объемную плотность связанных зарядов из соотношения divP = −ρ′ (Теорема Га- ∂P ∂P ∂P усса для вектора Р в дифференциальной форме). ρ′ = −  X + Y + Z  .∂y∂z  ∂xВ нашем случае отлична от нуля только Y-координата вектора Р.y ∂P∂ 1ρ′ = − Y = −  σ = −σ∂y∂y 2d 2 2dyПоверхностную плотность связанных зарядов найдем из соотношения:P2n − P1n = −σ′ - она противоположна по знаку разности нормальных составляющих вектора поляризованности на границе раздела диэлектрика.На нижней обкладке P1n = 0 (нет диэлектрика снаружи), поэтому σ′НИЖН = −P2n = 0 .σНа верхней обкладке P2n = 0 (нет диэлектрика снаружи), поэтому σ′ВЕРХ = P1n =.2Теперь найдем поверхностную плотность стороннего заряда σ.По условию напряжение U известно.

С другой стороны,d2 3−y2dy dd2σ 2d − yσσ3U = ∫ Edy = ∫dy = d , = 1 −εε0 3 2d2d00 0 ε00ε0 UОткуда σ =.21 −d3Найдем емкость конденсатора на единицу площади. Емкость определяется по формулеε0qCqσCC = , емкость единицы площади == . Поэтому =.US US US 21 −d3Проверка.Найдем полный связанный заряд конденсатора. Он должен быть равен нулю.Пусть площадь пластин конденсатора S, тогда должно выполняться равенство′′′ S = 0.q′ = qОБЪЕМ+ q′ПОВЕРХ = ∫ ρ ′dV + σ НИЖНS + σ ВЕРХV1 σS′ρdV=−σ∫V∫0  2 2dy  Sdy = − 2 .σσS σdСвязанный заряд в объеме диэлектрикаС учетом того, что σ′НИЖН = 0 , σ′ВЕРХ =2получаем q′ = −2+2S = 0.31,21,0D D MAX0,80,60,4E E MAXP PMAX0,2y/d0,00,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0.