2termodinamika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 6

Затем азот изобарно нагрели до Т2 = 500 К.Определить изменение внутренней энергии газа. Молярная массаазота равна = 0,028 кг/моль.РешениеВнутренняя энергия азота при начальной температуре по (2.1)i mU1RT1 ,2где i – число степеней свободы. Для азота (жесткая двухатомнаямолекула) i = 5, тогда5m5 0,56 8,31 300U1RT1125 кДж.22 0,028Из пяти степеней свободы молекулы газа 3 степени свободыприходятся на поступательное движение молекулы, а 2 степенисвободы - на вращательное движение.С учетом этого часть внутренней энергии, приходящаяся на долюпоступательного движения, равна3 5 0,6;1а часть внутренней энергии, приходящаяся на долю вращательногодвижения, равна2 5 0,4.2Изменение внутренней энергии при изобарическом нагреве равно305m5 0,56R(T2 T1 )8,31 200 83,1кДж.22 0,028Задача 2.2 Углекислый газ (СО2) массой m = 2,2 кг, занимающийобъем V1 = 4 м3 при температуре Т1 = 300 К, сжали адиабатически так,что конечное давление увеличилось в k = 2 раза.

Определить конечныйобъем V2, температуру T2, давление P2 и изменение внутреннейэнергии U. Молярная масса углекислого газа равна = 0,044 кг/моль.UРешениеУчитывая, что углекислый газ (СО2) трехатомный, число степенейсвободы i = 6. Показатель адиабаты для углекислого газа равенi 2 81,33 .i6Конечный объем газа найдем из уравнения Пуассона P1V1 P2 V2 .Учитывая, что P2 kP1 , получим:V14V22,38 м3.1/1/ 1,33k2Для нахождения температуры Т2 воспользуемся уравнением11адиабаты в переменных (Т – Р) - T1P1T2P21:0,331,33T2 T1k300 2356 К.Изменение внутренней энергии для адиабатического процесса равноi m2,2UR(T2 T1 ) 38,31 (356 300 ) 70 кДж.20,044Задача 2.3 Некоторую массу идеального газа сжали в k раз (пообъему) один раз адиабатически, другой раз изотермически.Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково.

Найтиотношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.Решение1. При адиабатическом процессе Q = 0, и работу, затраченную насжатие газа, можно рассчитать по формуле (2.32):V0 / kA1PdVV0 / kP0 V0V0V0dVVP0 V0(kгде Р0 и V0 – начальные параметры газа.2. При изотермическом процессе Т = const:V0 / kA2PdVV0V0 / kP0 V0V0dVVНаходим отношение соответствующих работP0 V0 ln k .11),131A1k 1 1.A 2 ( 1) ln kЗадача 2.4 Кислород, занимающий объем V1 = 1 м3 поддавлением Р1 = 2 105 Па, нагрели сначала при постоянном давлениидо объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давленияР2 = 5 105 Па.

Построить графики процессов в Р – V координатах.Определить: 1) изменение внутренней энергииU газа;2) совершенную им работу A; 3) количество тепла Q, переданное газу.Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.РешениеГрафики процессов, происходящих сPгазом, изображены на рис.2.1.1. НайдемизменениевнутреннейP23энергииU (2.2):i mUR(T3 T1 ) .2P121Число степеней свободы для кислорода(жесткая двухатомная молекула) i 5 .Температуры газа Т1 и Т3 выразим изV1V2Vуравнения Менделеева – Клапейрона (1.11):P1V1P2 V2Рис. 2.1T1; T3.mRmRОкончательно, изменение внутренней энергии55U(P2 V2 P1V1 )(5 10 5 3 2 10 5 1) 3,25 МДж.222.

Найдем работу, совершенную газомA A1 2 A 2 3На участке 1-2 (изобарический процесс) работа выражаетсяформулой (2.24):A1 2 P1( V2 V1 ) .На участке 2-3 (изохорический процесс) работа равна нулю:A2 3 0 .Таким образомA A1 2 P1( V2 V1 ) 2 105 (3 1) 0,4 МДж.3. Количество тепла Q находится по первому началутермодинамики (2.5):QU A 3,65 МДж.Задача 2.5молей идеального газа с показателем адиабатысначала адиабатически расширили по объему в k раз. Затем газизотермически сжали до первоначального объема, причем сжатие32происходилопритемпературеТ0.Изобразитьпроцессы,происходящие с газом в Р – V координатах. Определить:1) изменение внутренней энергии U газа; 2) работу А, совершеннуюгазом; 3) полученное газом тепло Q.РешениеВ Р – Vпроисходящиерис.2.2:1-2расширение,сжатие.1) Найдемэнергиикоординатах процессы,с газом показаны на–адиабатическое2-3изотермическоеизменениевнутреннейPP1T11P33P2UU1 2T02T0U2 3 .Изменение внутренней энергиипри адиабатическом расширенииR (T2 T1 ).U1 2CмолTV1V1V2VРис.

2.2Изменение внутренней энергии при изотермическом сжатииU2 3 0 ,т.к температуры газа Т2 = Т3 = Т0.Изменение внутренней энергии за два процессаR (T2 T1 ).U1В процессе 1-2 температура Т2 = Т0, а температура Т1 находитсяиз уравнения адиабаты (2.30):1T1V2k 1.T0V1С учетом этого изменение внутренней энергии за оба процессаравноRT0 (1 k 1 ).U12) Найдем работу, совершенную газомA A1 2 A 2 3 ,где А1-2 – работа при адиабатическом расширении (2.33)A1 2U1 2RT0 (k11)1А2-3 - работа при изотермическом сжатии (2.19),33V2RT0 ln k .V1Работа, совершенная газом за два процесса, равнаA2ART0 ln3RT0k111ln k .3) Найдем количество теплаQ Q1 2 Q 2 3 ,где Q1-2 = 0, т.к. процесс адиабатический, а при изотермическом сжатииQ2 3 A 2 3RT0 ln k .Задача 2.6 Вычислить показатель адиабаты для газовой смеси,состоящей из двух молей ( 1 = 2 моля) кислорода О2 и трех молей( 2 = 3 моля) углекислого газа СО2.

Газы считать идеальными.РешениеЧисло степеней свободы для кислорода i1 = 5, а для углекислогогаза i2 = 6. Вычислим показатели адиабаты для кислорода иуглекислого газа через число степеней свободы:i1 2 7i2 2 41,4 ; 21,331i15i23Внутренняя энергия смеси складывается из внутренней энергиикислорода и углекислого газаUс м U1 U2илимолмолмол( 1TT2 )C V см T1C V12C V2Выразим молярные теплоемкости при постоянном объеме черезпоказатель адиабатыR,CмолV1тогда внутреннюю энергию смеси можно записать так:RRR( 1TTT.2)12111 12Из этого выражения находим показатель адиабаты для смеси:1(112(2)( 1 1)( 2 1)1)1)2( 11(2 3)(1,4 1)(1,33 1)2(1,33 1) 3(1,4 1)1,35Задача 2.7 Один моль идеального газа, молярная теплоемкостькоторого при постоянном давлении CPмол, совершает процесс поV , где Р0 и - постоянные. Определить:1) молярнуюзакону: P P034теплоемкость газа как функцию его объема V; 2) сообщенное газутепло при его расширении от объема V0 до объема 5V0.Решение1) Молярная теплоемкость газа равнаQ.CмолdTКоличество тепла dQ запишем, используя первое началотермодинамики (2.6):Q dU A ,тогдаdU A dU PdVPdV.CмолCмолVdTdTdTdTИспользуя уравнение Майера (2.14), выразим теплоемкость CмолV :CмолVCPмолR.dVДля нахождения производнойопределим зависимость объемаdTV от температуры Т, для чего совместно решим два уравнения:PP0VRTP0V.PV RTОтсюда, аdVdTR.P0И, окончательно, молярная теплоемкость в этом процессе будет равнаCмол(CPмолR) PRP0(CPмолR) (P0RV P0)CPмолR.VP0Сообщенное газу тепло находится интегрированием выраженияP0Q Cмол dT (с учетом того, что dTdV ) в пределах от объема V0Rдо объема 5V0:5 V05 V04P0 V0 CPмолR P0молQC dT(CPмол) dVln 5 .VPRR0V0V0Задача 2.8 Найти уравнение процесса (в переменных Т – V) , прикотором молярная теплоемкость идеального газа изменяется позакону: Cмол Cмол- постоянная, Смол– молярнаяP , гдеVVтеплоемкость при постоянном объеме, Р – давление.РешениеЗапишем первое начало термодинамики:35CмолdT CмолV dT PdV .молВместо Сподставим закон, по которому она изменяется вусловии задачи, тогда получим, что:PdVPdT .Сокращая на Р, получим:dVdT .После интегрирования этого выражения, получим уравнениепроцессаVT или: VT const .Задача 2.9 Имеется идеальный газ с показателем адиабаты .

Егомолярная теплоемкость при некотором процессе изменяется поT , где - некоторая постоянная. Определить работу,закону: Cмолсовершаемую одним молем газа при его нагревании от температурыТ0 до температуры 5Т0.РешениеЗапишем первое начало термодинамики для= 1 моля газа:Cмол dT CмолA.V dTОтсюда выразим элементарную работу:CмолdT CмолV dT ,AгдеCмол,CмолVdTTRR.T1С учетом выражений для теплоемкостей, элементарная работабудет равна:dTRAdT .T1Для нахождения полной работы последнее выражение надопроинтегрировать в пределах от Т1 = Т0 до Т2 = 5Т0:5 T0AT05 T01 T0dTln 5Задача 2.10 В длинном вертикальном открытомцилиндрическом теплоизолированном сосуде навысоте h от дна на нити висит поршень массой m,под которым находится= 1 моль одноатомногогаза при давлении окружающего пространства итемпературе Т0 (рис.2.3).

Какое количество тепла Qнеобходимо сообщить газу, чтобы поршеньподнялся до высоты 2h? Трением пренебречь.4RT0.1mhРис. 2.336РешениеДля того, чтобы поршень поднялся на высоту 2h, газ сначаланеобходимо нагреть до температуры Т1, сообщив ему при постоянномобъеме некоторое количество тепла Q1:Q1U1CмолV (T1T0 ) .Затем газу надо сообщить количество тепла Q2 при постоянномдавлении и нагреть его до температуры Т2.Q2U2A2CмолP (T2T1 ) ,35R , CмолR – молярные теплоемкости одноатомногоP22газа при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно.35Q Q1 Q 2R(T1 T0 )R(T2 T1 ).Следовательно,22Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для трехсостояний газа:P0hSRT0 , PhSRT1, 2PhSRT2 ,где Р0 – атмосферное давление, P P0 mg / S - давление под поршнемпри расширении, S поперечное сечение поршня.

Из уравненийсостояния получим выражения для температуры газа ( = 1 моль):где CмолVT1Количество тепла,температур равно:Qmg,P0 SсообщенноеT0 15RT02mgP0 SучетомT22T0 1газу,сзначений4mghЗадачи для самостоятельного решения2.11 Определить внутреннюю энергию гелия массой m = 1 кг притемпературе Т = 300 К. Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль.2.12 Аргон находится в вертикальном цилиндре под поршнеммассой М = 1 кг и площадью S = 10 см2. Определить внутреннюю энергиюгаза, если объем газа V = 4 л. Атмосферное давление Р0 = 105 Па.2.13 С идеальным одноатомным газом совершают процесс припостоянном объеме так, что его температура уменьшается в n = 2,5раза.

Начальное давление газа равно Р0 = 105 Па, объем V = 10 л.Определить изменение внутренней энергии газа.2.14 С неоном массой m = 2 кг совершают процесс при постоянномобъеме так, что давление газа уменьшается в n = 4 раза. Начальная37температура газа Т1 = 500 К. Определить изменение внутреннейэнергии газа. Молярная масса неона = 0,02 кг/моль.5 молей идеального одноатомного газа расширяются при2.15постоянном давлении так, что объем газа увеличивается в n = 5 раз, аизменение внутренней энергии равно U = 60 кДж.