2termodinamika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 2

Уравнение изобарического процессаV / Т = const .(1.15)Графики изобарического процесса в различных координатахимеют вид:PPVP1P2>P1P2VTTРис. 1.3Для смеси газов, находящихся в равновесии,Менделеева – Клапейрона можно записать в видеm смPсм VRTилиPсмVсмRT .уравнение(1.16)смВ этой формуле Рсм – давление смеси, которое по законуДальтона равно сумме парциальных давлений ее компонент(1.17)P P1 P2 ... Pn ,см – число молей в смеси, равное(1.18)...см12n;mсм – масса смеси; см - молярная масса смеси.

Молярная массасмеси находится по формуле:kmiсмi 1k,(1.19)ii 1где mi - масса i – ого компонента смеси; i - количество веществаi – ого компонента смеси; k – число компонентов смеси.Уравнение состояния для смеси можно записать черезконцентрации атомов(1.20)Pсм (n1 n2 ... n3 )kT ,где n i – концентрации отдельных компонентов смеси.Массовая доля компонента в смесиmi.im см(1.21)9Примеры решения задачЗадача 1.1 Какую часть объема одного моля газа при нормальныхусловиях занимает собственный объем его молекул и каково среднеерасстояние L между ними? Диаметр молекул газа d = 3 10-10 м.РешениеСобственный объем молекул одного моля ( = 1 моль) газа равенd33,14 (3 10 10 )3VNA6,02 10 23 8,1 10 6 м3.66Объем одного моля газа при нормальных условиях, т.е.

придавлении P0 = 105 Па и температуре Т0 = 273 К определим изуравнения Менделеева – Клапейрона (1.11):RT0 8,31 273V022,4 10 3 м3 .5P010Следовательно,V8,1 10 64 10-4.3V0 22,4 10Вследствие малости относительного объема, при описаниимодели идеального газа собственным объемом молекул газа можнопренебречь.Оценим величину среднего расстояния между молекулами.Объем, приходящийся на одну молекулу, равенv1V0NA22,4 10 36,02 10 233,72 1026м3.А среднее расстояние между молекулами равно:L3v133,72 10263,3 109м,т.е.

расстояние между молекулами на порядок больше их размеров.Задача 1.2 Идеальный одноатомный газ занимает объем V = 5 л.Температура газа Т = 300 К, плотность газа= 1,2 кг/м3, средняяквадратичная скорость движения его молекул равна vср.кв = 500 м/с.Определить концентрацию молекул газа и суммарную кинетическуюэнергию движения молекул.РешениеКонцентрацию молекул идеального газа можно найти следующимобразом:N mN ANA.nVVТак как средняя квадратичная скорость молекул (1.8)10v ср. кв3RT,то молярная масса3RT.v 2ср. кв.Следовательно,NA v 2ср.кв. 1,2 6,02 1023 (500 )2n2,4 1025 м-3.3RT3 8,31 300Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы (1.7)3kT .2Энергия движения всех молекулm33mE NNAkTRT .22Подставляя в формулу для энергии массу газаmV,получаем22V v ср3 V v ср.квRT1,2 5 10 3 (500 )2.квE23RT22750 Дж.Задача 1.3Цилиндрическийзакрытыйсобоихторцовгоризонтально расположенный сосуд длиной L = 85 см разделен надве части легкоподвижным поршнем.

При каком положении поршнядавление в обеих частях сосуда будет одинаково, если одна частьзаполнена кислородом, а другая – такой же массой водорода?Молярная масса кислорода 1 = 0,032 кг/моль, водорода 2 = 0,002кг/моль. Температуры газов одинаковы.РешениеИз условия равновесия поршня давления газов будут одинаковы.Обозначим длину части сосуда, в которой находится кислород, черезx, тогда водородом заполнена часть сосуда, длиной L-x.

Объемы этихчастей сосуда соответственно равны V1 = xS и V2 = (L-x)S, где S –площадь поперечного сечения сосуда. Так как поршень находится вравновесии, то давления в обеих частях сосуда одинаковы.Уравнение состояния для кислорода и водорода:mmPxSRT;P(L x )RT ,12где m– одинаковые по условию задачи массы кислорода и водорода.Поделив одно уравнение на другое, получим:x2.L x111ОтсюдаLx2120,85 0,0020,032 0,0020,05 м.Т.е. поршень находится на расстоянии x = 0,05 м от конца тойчасти цилиндра, в которой находится кислород.Задача 1.4 В баллоне объемом V = 10 л находится гелий поддавлением Р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 К.

После того, как избаллона был израсходован гелий массой m = 10 г, температура вбаллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление Р2 гелия,оставшегося в баллоне. Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль.РешениеЗапишем уравнение Менделеева –начального и конечного состояний газа:m1P1VRT1, P2 VКлапейронаm2(1.11)дляRT2 .Выразим массы гелия в начальном и конечном состояниях газаP1VP2 Vm1и m2.RT1RT2Вычитая массы, получим массу израсходованного гелияP1VP2 Vm m1 m2.RT1RT2Отсюда найдем искомое давлениеP2RT2V290103006P1VRT1mP1T2T110 3 8,31 2900,004 10 2m RT2V364кПа .Задача 1.5 Камеру автомобильной шины накачивают с помощьюнасоса, работающего от двигателя. Сколько времени потребуется,чтобы накачать камеру от давления Р0 = 105 Па до давленияР = 0,5 МПа, если объем камеры V = 6 л, при каждом ходе насосзахватывает из атмосферы столб воздуха высотой h = 10 см идиаметром d = 10 см.

Время одного качания= 1,5 с. Температурусчитать постоянной.РешениеОбъем воздуха, засасываемого при каждом ходе насоса,V0 h d2 4 , его давление Р0.Парциальное давление каждой засасываемой массы воздухаможно найти по уравнению изотермического процесса:12P' V0P0 V .Сумма парциальных давлений всех порций воздуха, добавляемыхв камеру за n ходов насоса равнаn d2hnP'P0 .4VСложив эту величину с начальным давлением Р0 в камере, найдемконечное давление:n d2hP0P P0.4VОтсюда число ходов насоса, необходимых для получениядавления Р в камере:4V(P P0 ).nd2hP0Время откачивания камерыtn4V (P P0 )d2hP04 6 10 3 1,5 (0,5 106 105 )3,14 0,12 0,1 10546 c .Задача 1.6 Сосуд объемом V необходимо откачать от давления Р0до давления Р с помощью поршневого насоса, имеющего объемрабочей камеры V0. За сколько циклов работы насоса это можносделать? Температуру считать постоянной.РешениеПеред засасыванием объем воздуха равен объему сосуда, адавление его Р0.

В конце первого цикла засасывания объем воздухаскладывается из объема сосуда и объема засасывающей камеры насоса:V1 V V0 ,а его давление становится равным Р1. Согласно уравнениюизотермического процесса P0 V P1( V V0 ) , откудаVP1 P0.V V0При втором цикле откачивания роль начального давления будетиграть Р1, поэтомуP2VP1V V0VP0V V02.При третьем цикле начальное давление будет Р2.

Следовательно,P3VP2V V0VP0V V0и т.д. После n циклов давление будет равно:3,13nVP0V V0PP; отсюдаP0VV V0n.Логарифмируя, найдемlnPP0n lnVVV0.Окончательно для числа циклов n получим:ln(P / P0 )n.VlnV V0Задача 1.7 Плотность смеси гелия и аргона при давленииР = 1,5 105 Па и температуре t = 270С равна = 2 кг/м3. Определитьконцентрацию атомов гелия в смеси газов. Молярная масса гелия1 = 0,004 кг/моль, аргона - 2 = 0,04 кг/моль.РешениеМасса смеси равнаm m1 m2 .Разделив левую и правую часть этого соотношения на объемсмеси, получим:12.Выражая плотности 1 и 2 через концентрации атомов (1.5),получаем:1n12n2и.21NANAПодставляя плотности 1 и 2 в плотность смеси, можно получитьвыражение для концентрации атомов гелия:NAn2n1 1 .22Из уравнения состояния для смеси,концентрации (1.20):P (n1 n2 )kT ,выразим концентрацию атомов гелия:n2 P kT n1 .Сравнивая выражения для n2, получим:NAn12PkT12n1 ,отсюдаn1PkTNA2112записанногочерез141,5 10 51,38 10232 6,02 10 230,0430010,0040,045,6 10 24 м 3 .Задача 1.8 Тонкостенный резиновый шар радиусом r1 = 0,02 мнаполнен воздухом при температуре t1 = 200С и давлении Р1 = 105 Па.Определить радиус шара r2, если его опустить в воду с температуройt2 = 40С на глубину h = 20 м.

Атмосферное давление Р0 = 105 Па.10 3 кг/м3.Плотность водыРешениеПараметры воздуха в шаре после заполнения: давление Р 1, объем3V1 = 4 r1 3 , температура Т1. Параметры воздуха в шаре на глубине h3соответственно равны: давление P2 P0gh , объем V2 4 r2 3 ,температура Т2.Запишем уравнения Менделеева – Клапейрона для этих двухсостояний:4 34 3P1r1RT1 ;(P0gh)r2RT2 .33Поделив уравнения друг на друга, можно найти r2:r2r13P0T2(P0gh)T10,023(105105 277103 10 20) 2930,0137 м.Задача 1.9 Определить наименьшее возможное давление= 1 моля идеального газа в процессе, происходящем по законуT T0V2 , где Т0 и - положительные постоянные, V – объем газа.РешениеПолучим уравнение процесса, происходящегопеременных Р – V, для чего решим систему уравнений:TPVT0сгазомвV2RTи избавимся от температуры.

Тогда зависимость давления от объема:RT0PR V.VДля нахождения наименьшего давления надо исследовать этуфункцию на экстремум. Взяв производную от давления по объемуdP0 ) и приравнивая ее к нулю, получим(dVRT0P'R0.V215Т.е. газ достигает наименьшего давления при значении объема,равном:Vт0 .Подставляя это значение объема в уравнение процесса,полученное в Р – V переменных, получим минимальное давление Рmin:Pmin2RT0 .Задачи для самостоятельного решения1.10 В баллоне объемом V = 3 л находится m = 4 г кислорода.Определить количество вещества , количество молекул N и ихконцентрацию n в баллоне. Молярная масса кислорода32 10 3 кг/моль.1.11 Определить число атомов N ртути и количество вещества ,содержащихся в объеме V = 1 см3 при температуре t = 270 С, еслидавление паров ртути Р = 0,75 Па.1.12 Одна треть молекул азота массой m = 10 г распалась наатомы.

Определить полное число частиц N, находящихся в газе.28 10 3 кг/моль.Молярная масса азота1.13 В сосуде объемом V = 5 л находится однородный газколичеством вещества = 0,2 моля. Определить, какой это газ, еслиего плотность = 1,12 кг/м3.1.14 В сосуде объемом V = 5 л находится кислород, концентрациямолекул которого равна n = 9,41 1023 м–3. Определить массу газа m.32 10 3 кг/моль.Молярная масса кислорода1.15 Рассматриваямолекулыжидкостикакшарики,соприкасающиеся друг с другом, оценить порядок размера молекулыжидкого сероуглерода СS2. Плотность сероуглерода равна76 10 3 кг/моль.= 1,26 103 кг/м3, молярная масса1.16 В сосуде объемом V = 48 дм3 находится N1 = 1,9 1024 молекулводорода, 2 = 3,5 моля азота и m3 = 200 г аргона ( 3 40 10 3 кг/моль).Определить среднее расстояние между молекулами смеси газов.1.17 Радоновые ванны содержат N = 1,8 106 атомов радона наV = 1 дм3 воды.