1Mehanika (задачники по физике (механика и термодинамика)), страница 6

от трения между автомобилем и настилом.Задача 2.8. Система, изображённая на рис. 2.8 находится влифте, поднимающимся вверх с ускорением а. Найти натяжение нити,rесли коэффициент трения междуyr a1rr Nгрузом m1 и опорой равен k.TTrFтрРешение. Движущийся сxускорением а лифт являетсяrr Trнеинерциальнойсистемой.a1m1 grrrСвяжем систему координат сTm1aaлифтом и, чтобы использоватьrm2 gзаконы Ньютона, приложим кrтелам системы силы инерции m1 аm2 aРис.2.832и m2 а, рис.2.8. Мысленно разрежем нить и запишем второй законНьютона для каждого из тел⎧ N − m1 g − m1a = 0⎪T − F = m a1 1тр⎪⎨⎪m2 a + m2 g − T = m2 a1⎪ Fтр = kN .⎩Откуда N = m1 g + m2 a , Fтр = km1 ( g + a ) ,⎧T − km1 ( g + a ) = m1a1⎨⎩m2 a + m2 g − T = m2 a1 .T − km1 ( g + a ) m1=, Tm2 − km1m2 ( g + a ) = m2 m1 (a + g ) − Tm1 ,m2 a + m2 g − T m2T (m2 + m1 ) = m1m2 ( g + a )(k + 1) ,m m ( g + a )(k + 1)T1 = 1 2, если km1 < m2 .m2 + m1Если km1 > m2 , T2 = m2 ( g + a ) , грузы неподвижны.Задача 2.9.

На покоившуюся частицу массы m в моментt =0r rначала действовать сила, зависящая от времени по закону F = b t (τ − t ) ,rгде b - постоянный вектор, τ - время, в течение которого действуетданная сила. Найти: 1) импульс частицы после окончания действиясилы; 2) путь, пройденный частицей за время действия силы.rrrdv rdvrРешение. Так как F = ma = m , то m = b t (τ − t ) , аdtdtrr bdv = t (τ − t )dt .mrr rТак как масса частицы m = const , то mdv = d (mv ) = b t (τ − t )dt .rr τrКоличество движения mdv = ∫ b t (τ − t )dt .

Вектор b = const .0rτrr ⎛ τt 2 t 3 ⎞ τ r ⎛ τ3 τ3 ⎞ b τ3.− ⎟⎟ | = b ⎜⎜ − ⎟⎟ =b ∫ t (τ − t )dt = b ⎜⎜023236⎝⎠⎝⎠0rВремя действия силы t = τ , т.к. при t = τ F = 0 . Определимвремя остановки тела v = 0 . Для этого проинтегрируем выражениеrrrr bb ⎛ τt 2 t 3 ⎞r bdv = t (τ − t )dt . Отсюда v = ∫ t (τ − t )dt = ⎜⎜− ⎟ + const .mmm ⎝ 2 3 ⎟⎠Так как при t = 0 v0 = 0 , то const = 0 .33Определим момент остановки тела.τt 2 t3 2 ⎛ τ t ⎞τ t3− = t ⎜ − ⎟ = 0,− = 0 , 3τ = 2tост , tост = τ .2 32 32⎝ 2 3⎠Отсюда следует, что до момента t = τ частица двигалась в однусторону и модуль вектора перемещения частицы равен пройденномуb ⎛τt 2 t3 ⎞r ds b ⎛ τ t 2 t 3 ⎞ею пути v = = ⎜⎜− ⎟dt .− ⎟ , ds = ⎜⎜m ⎝ 2 3 ⎟⎠dt m ⎝ 2 3 ⎟⎠b ⎛τt 2 t3 ⎞b ⎛ τt3 t 4 ⎞b⎜⎜(2τt 3 − t 4 ) + const .− ⎟⎟dt = ⎜⎜− ⎟⎟ + const =m⎝ 2 3 ⎠m ⎝ 6 12 ⎠12mbt 3(2τ − t ) .При t = 0 s = 0 , const = 0 , следовательно , s =12mbτ 3bτ 4()()2τ − τ =При t = τ s τ =.12m12ms=∫Задача 2.10.

Как будет изменяться скорость тела массой m,движущегося вверх с начальной скоростью v0 , если можно считать,что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости телаrСчитатькоэффициент( Fc = − rv )?rrarFcr известным.mg vРешение. Целью задачи являетсяrv0нахождение скорости тела как функциивремени. Рассмотрим движение тела вмомент времени t (скорость v, силаyтяжести mg, действующая на него, силаРис.2.9сопротивленияТогдаFc = − rv ).основноеуравнениединамикипоступательного движения (второй закон Ньютона) в проекции на осьу имеет видdvdv⎛ mg⎞+ v ⎟ = −m , разделяя переменые,mg + rv = −m , r ⎜dtdt⎝ r⎠⎛ mg⎞d⎜+ v⎟rdvr⎠ , и интегрируя, получимdt = −=− ⎝mgmgm+v+vrr⎛ mg⎞+v ⎟⎜rmg⎤⎡ ⎛ mg⎞⎛⎞⎟,t = − ⎢ln⎜+ v ⎟ − ln⎜+ v0 ⎟⎥ = − ln⎜ rmgmrr⎠⎝⎠⎦⎜⎜⎣ ⎝+ v0 ⎟⎟⎝ r⎠34⎛ mg⎞+v⎜⎟rr⎟,− t = ln⎜m⎜⎜ mg + v ⎟⎟0⎝ r⎠mg⎛ mg⎞ −+v =⎜+ v0 ⎟er⎝ r⎠rtmmg+v—r=emg+ v0r.Откудаrtm+e−rtm⎤ mg ⎡⎛ rv0⎞ −+ 1⎟⎟e− 1⎥ =⎢⎜⎜r ⎣⎝ mg ⎠⎦,окончательнозависимость скорости от времениrr−⎛ mg⎞ − m t mg mg − m t mgv=⎜e+ v0 ⎟e−=−+ v0errr⎝ r⎠mg ⎡ rv0 −e=⎢r ⎣ mgrtmrtmrtm= v0e−rtmнаходимmg ⎛ −⎜e+r ⎜⎝rtm⎞− 1⎟⎟ =⎠⎤− 1⎥ .⎦При t = 0 v = v0 .

Это и есть искомая формула.352.3.Задачи для самостоятельного решения2.11. Два тела с массами М и m (М>m) падают с одинаковойвысоты без начальной скорости. Сила сопротивления воздуха длякаждого тела постоянна и равна F. Сравнить время падения тел.2.12. Брусок массой m тянут по горизонтальной поверхностипод действием силы F, направленной под углом α к горизонту.

Приэтом брусок за время t изменил свою скорость от v0 дo v, двигаясьускоренно в одну сторону. Определить коэффициент трения f бруска оповерхность.2.13. Небольшое тело массой m расположеноmна клине массой M (рис.2.10). Коэффициентf1трения между телом и клином равен f1, амеждуклиномигоризонтальнойαf2поверхностью равен f2. При каком угле αклина он будет двигаться равномерно?Рис.2.102.14. Через какое время скорость тела,которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость v0, сновабудет равна v0? Коэффициент трения равен f, угол между плоскостьюи горизонтом α, tg(α) >f.2.15.По наклонной плоскости составляющей угол α cгоризонтом, движутся две материальные→точки с массами m1 и m2 (рис.2.11) подm2αдействием силы F, приложенной к телу m2m1и направленной под углом α к наклоннойплоскости. Нить, связывающая тела m1 и m2невесома и нерастяжима.

Определитьαускорение системы, если коэффициенттрения каждого тела о плоскость равен f.Рис.2.112.16.Найтисилу,действующую на вертикальнуюстенку со стороны клина, если наmнего положили груз массойm(рис.2.12). Угол при основанииклина α. Коэффициент трения междугрузом и поверхностью клина f.αТрения между полом и клином нет.2.17. Канат лежит на столе так,Рис.2.12что часть его свешивается со стола иначинает скользить тогда, когда длина свешивающейся частисоставляет 30 % всей его длины. Определить коэффициент тренияканата о стол.362.18. Ракета, масса которой М = 6 т, поднимается вертикальновверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги F = 500 кН. Определитьускорение a ракеты и силу натяжения Т троса, свободно свисающего сракеты, на расстоянии, равном 1/4 его длины от точки прикреплениятроса.

Масса троса m = 10 кг. Силой сопротивления воздухапренебречь.2.19. Через легкий вращающийся безтрения блок перекинута невесомая инерастяжимая нить. На одном ее концепривязан груз массой m1. По другому концунити с постоянным относительно нееm2ускорением a2 скользит кольцо с массой m2 m1(рис.2.13). Найти ускорение a1 тела массы m1 исилу трения кольца о нить.Рис.2.132.20. Невесомая и нерастяжимая нитьперекинута через невесомый блок ипропущена через щель. На концах нитиподвешены грузы, масса которых m1 и m2.rПри движении на нить со стороны щелиFтрдействует постоянная сила трения Fтр(рис.2.14). Определить ускорение системы и m1m2разность сил натяжения нити.2.21.

Тело массой m прикреплено к 2соединенным последовательно пруРис.2.14жинам жесткости k1 и k2 и расположеноm→k1k2нагладкойгоризонтальнойповерхности. К свободному концуцепочки пружин приложена постояннаясила F (рис.2.15). Каково суммарноеРис.2.15удлинениепружинприrустановившемся движении системы?Fkm2m12.22.Нагоризонтальнойплоскости лежат два бруска m1 и m2,недеформированнойсоединенныеРис.2.16пружиной жесткости k (рис. 2.16).Какую наименьшую постоянную силу, направленную горизонтально,нужно приложить к первому бруску, чтобы сдвинулся и второй?Коэффициент трения брусков о плоскость равен f.ml0m2.23. На гладком горизонтальномстоле лежат два одинаковых кубикаРис.2.172m37массой m, соединенные невесомой пружиной жесткости k. Длинапружины в нерастянутом состоянии равна l0 (рис.2.17).

К правомукубику привязана невесомая и нерастяжимая нить с грузом массой 2mна конце. В некоторый момент времени этот груз отпускают, и системаначинает двигаться без начальной скорости. Найти максимальноерасстояние между кубиками при движении системы. Блок невесом.2.24. На горизонтальной поверхности находится брусок массойm1 = 2 кг. Коэффициент трения f1 бруска о поверхность равен 0,2. Набруске находится другой брусок массой m2 = 8 кг. Коэффициент тренияf2 верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложенагоризонтальная сила F. Определить:1) значение силы F1, прикоторой начнется совместное скольжение брусков по поверхности; 2)значение силы F2 при котором верхний брусок начнет проскальзыватьотносительно нижнего.2.25.

По наклонной плоскости, составляющей угол α cгоризонтом, ускоренно скользит доска массой M. Коэффициент трениядоски о наклонную плоскость равен f. На доску кладут тело массой m,которое скользит по доске без трения. Какова должна бытьминимальная масса тела mmin, чтобы движение доски по наклоннойплоскости стало равномерным?2.26. Брусок массы m тянут за нитьтак, что он движется с постояннойmскоростью по горизонтальной плоскости сαкоэффициентом трения f (риc. 2.18).

Найтиугол α, при котором натяжение нити будетнаименьшим. Чему оно равно?Рис.2.182.27. Тело пущено вверх по наклоннойплоскости с начальной скоростью v0. Коэффициент трения междутелом и плоскостью f. Определить угол α, при котором время подъемаминимально, а также это минимальное время.rT2.28. На наклонной плоскости расположен груз массой m. Подкаким углом (рис.2.19) следует тянуть за веревку, чтобы равномернотащить груз вверх по наклонной плоскости с наименьшим усилием?Какова должна быть величина этой силы?rНаклонная плоскость составляет угол α сFβmгоризонтом.