Конспект лекций - Милевский

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»____________________________________________Кафедра “Математика”А.С.МИЛЕВСКИЙМАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗКонспект лекцийМосква - 2018МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»____________________________________________Кафедра “Математика”А.С.МИЛЕВСКИЙМАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗКонспект лекцийДля студентовнаправления «Экономика»Москва - 2018УДК-517М-60Милевский А.С.

Математический анализ. Конспектлекций. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 131 c.Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих курс математического анализа. Включает материал по пределам, дифференциальному исчислениюфункций одной переменной, дифференциальномуисчислению функций нескольких переменных, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям и рядам.Рецензенты:Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук,доктор ф.-м.н., нач.

сектора №1 научного отдела«Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ(Дубна).Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой“Математический анализ” РУТ (МИИТ).© РУТ (МИИТ), 20181. Пределы и непрерывность345678910111.12. Неопределённость 0 · ∞Представитьчастное ввиде дроби0/0 или ∞/∞Пример.x ⋅ cos x  0  1lim x ⋅ ctg ( x ) = 0 ⋅ = 0 ⋅ ∞  = lim= =x →0x→0sin x0 0′(x ⋅ cos x )= limx→0(sin x )′= limx→0cos x − x sin x=1cos x1213Если предел представляет собой произведениеили частное двух функций, то при его вычисленииможно эти функции заменить на эквивалентныеПример.Пример.()6x −1 −10lim 5= =x → 2 ln ( x − 1) ⋅ ( x − 2 )0Чтобы применить формулы эквивалентности,сделаем замену переменной x = 2 + z, тогда z→0.( 1 + z − 1)= lim6z→0ln 5 (1 + z ) ⋅ z6(z / 2)= limz→0z5 ⋅ z=1641.15.

Непрерывность функции в точкеГоворят, что функция f(x) непрерывна в точке x=a, еслиlim f ( x ) = f ( a )x→ aМожно дать более развёрнутое определениенепрерывности:Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке x=a,еслиlim f ( x )1. Существует конечныйx→ a −0lim f ( x )2. Существует конечный3. Они оба равны f(a):x→ a + 0lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a )x→ a −014x→a+01.16. Классификация точек разрываВыделяют следующие нарушения непрерывности:Устранимыйразрывlim f ( x ) = lim f ( x ) = число ≠ f ( a )x→ a −0x→ a +0aРазрыв 1 родаlim f ( x ) и lim f ( x )x→a −0x→a +0конечны, но не равны друг другуlim f ( x ) ≠ lim f ( x )x→a −0x→a+0aРазрыв 2 родаlim f ( x ) или lim f ( x )x→a −0x→a +0бесконечен или не существуетlim f ( x ) = +∞x→a +0a151.17. Непрерывность элементарных функцийЭлементарными функциями называют:1. Степенную, показательную, логарифмическую,тригонометрические и обратные к ним.2.

Функции, которые можно получить при помощиконечного числа арифметических операций, атакже взятия композиции.Пример. 3 ln x f ( x ) = sin  3x−1Теорема. Элементарная функция непрерывна влюбой точке, где она определена.Вопрос. При каких x непрерывна функция изпредыдущего примера?161.18.2. Метод половинного деленияЭто – один из способов решать уравнение f(x)=0 c любойстепенью точности для непрерывной функции f(x)Задача. Найти какой-нибудь корень уравнения 3x – x = 4с точностью 0,01.Решение.

Обозначим f(x)= 3x–x–4.1) Найдём какой-нибудь отрезок, на котором функцияменяет знак.f(–2)<0, f(–1)<0, f(0)<0, f(1)<0, f(2)>0. Корень – на отрезке [1;2].2) x1=середина отрезка [1;2]=(1+2)/2=1,5. Вычислимf(x1)≈ –0,3<0. Где корень? Корень – на отрезке [1,5;2].3) x2=середина отрезка [1,5;2]=(1,5+2)/2=1,75…и т.д., пока длина отрезка не станет меньше 0,01.Это произойдёт на 7 шаге. x7≈1,5551017182. Дифференциальное исчислениефункций одной переменной19Задача.Задача.

По графику функции найти приближённопроизводные при x=0, x=1, x=2, x=3, x=4, x=5.Ответ.Ответ.3f ′( 0) ≈ − ,2f ′(3) = 0,33f ′(1) ≈ − , f ′( 2) ≈ −22f ′( 4) ≈ 1,f ′(5) не существуетНа графикеизлом!излом!20212223Задача.Задача. Написать уравнение касательной к кривойy3+xy=x2–1 в точке M(2,1).Решение.Решение.y = y 0 + y ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 )Уравнениекасательной:Точка M(2,1) ⇒ x0=2, y0=1.Осталось найти y/ как производную от неявной функции.3 y 2 y ′ + y + xy ′ = 2 x ⇒ y ′ = ...

=Ответ.Ответ.y = 1+2x − y3= ... =253y + x3⋅ (x − 2 )52.8. Производная функции, заданной параметрически x = f (t )⇒ y = g (t ) x = f (t ) y ′ = g ′(t )f ′(t ) x = sin t, y ′ = ?, y ′′ = ?, y ′′′ = ?3y = t x = sin tРешение. 3t 2y′ =cos ty/// – самостоятельно. x = sin t′ 3t 2 6t cos t + 3t 2 sin t6t cos t + 3t 2 sin t y ′′ =  cos t  =cos 2 t=cos tcos tcos 3 tЗадача.242.9. Дифференцируемость и непрерывностьТеорема. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x0.Тогда она непрерывна в этой точке.Доказательство.lim f ( x ) = lim ( f ( x 0 ) + A ⋅ ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 )) = f ( x 0 )x → x0x → x0Замечание.

Обратноеневерно. Например, функция|x| всюду непрерывна, но недифференцируема при x=0:Другой пример: y =Излом2.10. Дифференциалdf = f ′ ⋅ dxЭто – удобное обозначение x f ( x ) = ln ; ln x Пример.df = ?Ответ.df =1(x ln x ) ⋅1 ⋅ ln x − x ⋅ln 2 x1x ⋅ dx = ln x − 1 ⋅ dxx ln x253x22.11. Дифференциал и погрешность вычисленийПусть требуется вычислить значение функции f(x), ачисло x известно не точно, а с некоторойпогрешностью ∆x. Как найти погрешность f(x)?Если погрешность ∆x мала, то обычно используетсяформула∆ f ≈ df = f ′ ⋅ ∆ xПример. Имеется шар радиуса примерно 30 см.

С какойточностью следует измерить этот радиус, чтобывычислить объём с точностью 1%?4x − радиус , x ≈ 30 ,f ( x ) = π ⋅ x 3 ≈ 113097 ,3Решение.3∆f = (1% от f ) ≈ 1130 ,973∆f1130 ,973∆x ≈=≈ 0,1 = 1 мм′f4π ⋅ x 226Пример.Пример. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказатьнеравенство |arctg x1–arctg x2| ≤ | x1–x2 |Доказательство.Доказательство. По теореме Лагранжа для f(x)=arctg xсуществует точка c, лежащая между x1 и x2, такая, чтоf ′(c ) =arctg (x1 ) − arctg (x 2 ) = arct g ′(c ) ⋅ (x1 − x 2 )arctg (x1 ) − arctg (x 2 ) =1⋅ ( x1 − x 2 )1+ c2≤127f (b ) − f ( a )b−a28292.17. Наибольшее и наименьшее значениефункции на отрезкеЧтобы найтинаибольшее значениефункции на отрезке,нужно выбратьнаибольшее значениесреди 1) всехлокальных максимумови2) значений на концахотрезка.Аналогично снаименьшимзначением3031Вертикальная асимптота:асимптота: x=a,x=a, если хотя быодин из двух пределов lim f ( x ) , lim f ( x )x→ a −0x→ a + 0бесконеченГоризонтальная асимптота:асимптота: y=b,y=b, если хотя быодин из двух пределов lim f ( x ) , lim f ( x )x → −∞x → +∞равен bНаклонная асимптота:асимптота: y=kx+by=kx+b при x→–∞,если конечны пределыk = limx → −∞f ( x), b = lim ( f ( x ) − kx )x → −∞xНаклонная асимптота:асимптота: y=kx+by=kx+b при x→+∞,если конечны пределыk = limx → +∞f ( x), b = lim ( f ( x ) − kx )x → +∞x32Пример.Пример.

Построить график функцииРешение.Решение.y=x3 +1x1) Область определения x≠02) Точки пересечения с осями.3) Пределыlim , lim , lim , limx → −∞3x → +∞x → −0x → +0xlim ... = lim= +∞x → −∞x → −∞ xlim ... = +∞x → +∞lim ... = −∞x → −0lim ... = +∞x → +033OX: y=0,x= –1OY: x=0 нет6) Асимптотыlim ... = +∞x → +0Вертикальные:Горизонтальные:lim ... = −∞x=0x → −0lim ... = +∞x → −∞lim ... = +∞x → +∞Наклонные (y=kx+b):f (x )=xx3 + 1= lim= ±∞x → ±∞x2k = limx → ±∞нет34нет3536373839403.

Дифференциальное исчислениефункций нескольких переменных3.0. Некоторые определения и обозначенияRn – n-мерное пространствоx=(x1;x2;…;xn) – точка n-мерного пространства скоординатами (x1;x2;…;xn)Расстояние между точками A(a1;a2;…;an) и B(b1;b2;…;bn) :→ρ ( A, B ) = AB =(a1 − b1 )2 + ... + (a n − bn )2Шаровая окрестность точки A: Oε(A)={M:ρ(A,M)< ε}Окрестность точки A: любое множество,содержащее какую-нибудь шаровуюокрестность точки A.Функция нескольких переменных обозначаетсяf(x), x∈Rn, или f(x1,…,xn).Пример.g(x, y, z) =xyy + z2Функция трёхпеременных3.1.

Предел функции нескольких переменныхlim f ( x ) = b, где x = ( x1 ,...,x n ), a = (a1 ,...,a n )x→a∀ε>0 ∃δ>0, такое что |f(x)–b|< ε при 0<ρ(x,a)<δ413.2. Непрерывность функции нескольких переменныхГоворят, что функция f(x1,…,xn) непрерывна в точкеa=(a1,…,an), еслиlim f ( x ) = f ( a )x→ a3.3. Частные производныеЧастной производной функции f(x1,…,xn) по переменнойxj в точке a=(a1,…,an) называется производная функцииодной переменной g(x)= f(a1,…,xj,…,an) в точке aj.Обозначение∂fили f x′j∂x j42Теорема о равенстве смешанных производных.производных.Если в некоторой окрестности точки (x0,y0) существуютпроизводные f xy′′ , f yx′′ и эти производные непрерывныв точке (x0,y0), тоf xy′′ (x0 , y 0 ) = f yx′′ ( x0 , y 0 )Задача.Задача. Сколько различных частных производныхвторого порядка может быть у функции от четырёхпеременных f(x,y,z,t)? А третьего порядка?Задача.Задача.