Геометрические характеристики плоских сечений

Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования«Московский государственный университет путейсообщения»Институт пути, строительства и сооружений________________________________________________________Кафедра «Строительная механика»А.М. Лукьянов, М.А. Лукьянов, И.И. МонаховГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙУчебное пособиеМосква - 20161Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования«Московский государственный университет путейсообщения»Институт пути, строительства и сооружений________________________________________________________Кафедрастроительной механикиА.М.

Лукьянов, М.А. Лукьянов, И.И. МонаховГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙРекомендовано редакционно-издательским советомуниверситета в качестве учебного пособия для студентов всехспециальностей.М О С К В А - 20162УДК 539.3/.8Лукьянов А.М., Лукьянов М.А., Монахов И.И. Геометрическиехарактеристики плоских сечений: Учебное пособие. - М.: МГУПС(МИИТ), 2016, – 40.: ил.Учебное пособие предназначено для студентов всехспециальностей,изучающихдисциплину«Сопротивлениематериалов», «Прикладная механика», «Техническая механика».Внемизлагаютсяосновныетеоретическиесведения,рассматривается решение типовых задач. Основная цель –помочь выработке навыков решения типовых задач привыполнении расчетов на прочность и жесткость при изгибе.Учебное пособие следует рассматривать как дополнение клекциям и указанной учебной литературе.Рецензенты: доктор техническихнаук, профессор С.Б.Косицын (МИИТ), кандидат технических наук, доцент В.И.Иванов-Дятлов (МАДИ). Московский государственныйуниверситет путей сообщения(МИИТ), 2016.3ВведениеНастоящее учебное пособие предназначено для студентоввсех специальностей, изучающих раздел «Геометрическиехарактеристики плоских сечений».

Оно содержат краткиеосновные сведения из теории и характерные примеры срешениями. Более подробно вопросы теории и задачи приведеныв учебной литературе:1. Александров А.В., Потапов В.Д., ДержавинБ.П.Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2012 . – 560 с.2. Лукьянов А.М., Лукьянов М.А. Сопротивление материалов.Учебное пособие для вузов ж.- д. транспорта. - – М.: ГОУ«Учебно-методическийцентрпообразованиюнажелезнодорожном транспорте», 2016. – 572 с.3.Лукьянов А.М., Лукьянов М.А.Сборник задач посопротивлению материалов. В 2 кн.

Кн. 1. Учеб. пособие длявузов ж.д. транспорта – М.: ГОУ «Учебно-методический центр пообразованию на железнодорожном транспорте». Маршрут, 2016.– 214 с.: ил.1. Основные понятияВ формулы для определения напряжений и перемещений взависимостиотвидадеформациивходятразличныехарактеристики поперечных сечений стержня, которые зависят отего формы и размеров.Пусть поперечное сечениестержня представляет собойплоскую фигуру произвольного очертания площадью А в системекоординат XOY (рис.

1). Выделим элемент площадиdA скоординатами x и y и введем следующие геометрическиехарактеристики:-статические моменты относительно осей x и yS x   ydA,S y   xdAA-осевые моменты инерции относительно осейI x   y dA,2A(1)Ax и yI y   x dA(2)2A-центробежный момент инерции относительно осейx и y4I xy   xydA(3)A-радиусы инерции относительно осейi x  I x / A,x и yiy Iy / A(4)- полярный момент инерцииI    2dA(5)AПолярный момент инерции относительно точки пересечениядвух взаимно перпендикулярных осей, см. рис. 1, связан ссоответствующими осевыми иоиентами инерции соотношениемI  (х2 у 2 ) dA  I x  I yAСправидливость, которого вытекает из равенства ρ2 = х2 + у2.Статическиемоменты имеютразмерность единицы длины втретьей степени (например, м3или см3), а осевые, центробежный и полярный моментыинерции - единицы длины вчетвертой степени (м4 или см4).Статический момент и центробежный момент инерции взависимостиотвыбраннойсистемы координат могут бытьположительными,отрицательными или равными нулю.

Осевойи полярный моменты инерцииРис.1.всегда положительны.В частном случае, когда одна из осей поперечного сеченияявляется осью симметрии, а вторая –любая ейперпендикулярная, (рис. 2), то центробежный момент инерциисечения относительно этой пары осей равен нулю. Такие оси,называются главными осями инерции. В частности, если каждаяиз этих осей проходит через центр тяжести сечения, то такие осиназываются главными центральными осями инерции сечения.5Соответствующие им экстремальные осевые моменты инерцииназываются главными моментами инерции. Они соответственнообозначаются I max , I min .Поперечное сечение сложной формыможнопредставитьввидесовокупности простейших фигур. Тогдапривычислениигеометрическиххарактеристик (1) - (4) относительнокакой – либо оси их следуетвычислять, как сумму простейшихфигур относительно той же оси.Рис.22.

Центр тяжести сеченияИзвестно [1;2;3;4;5;6;7] ,что координатысечения х с и у с, определяются по формулам:nxc SyA Ai xcii 1n Aiцентратяжестиn,yc SxAi 1 Ai y cii 1n(6) Aii 1Если сечение имеет ось или центр симметрии, то определениеположения центра тяжести упрощается – он находитсясоответственно на оси симметрии или на пересечении этих осей.При вычислении координат центра тяжести сечения, сложнойформы его следует разбить на простые составные части(рис.

3,4), для которых известны площади А i и координаты центратяжести xi и yi в предварительно выбранной вспомогательнойсистеме координат. Так для сечения (см. рис.3) координаты егоцентра тяжести относительно системы координат XоY всоответствии с (6) вычисляются следующим образом:3xc  Ai xcii 13 Aii 13A x1  A x2  A x3. yc A I  A II  A IIIIIIIII Ai ycii 13 AiAI y1  AII y2  AIII y3,AI  AII  AIIIi 1В качестве вспомогательной системы координат можноиспользовать другую, например X2C2Y2 (рис. 4), совпадающую сцентром тяжестиII – й части поперечного сечения. Следуетиметь в виду, что при вычислении статических моментов6составных частей сечения необходимо учитывать знакикоординат их центров тяжестей относительно выбраннойвспомогательной системы координат. Таким образом, координатыy c и x c для сечения на рис. 4 определяется из выражений:A I ( y cI 2 )  A III y cIII2yc ,A I  A II  A IIIA I ( xcI 2 )  A III xcIII2xc .A I  A II  A IIIВ них уже учтено, что статические моменты относительнособственных центральных осей равны нулю.Выбор различных вспомогательных координатных системможно использовать для контроляопределения, положенияцентра тяжести сечения.Задача 1.

Определить координаты центра тяжести сечения(рис. 5.) Размеры даны в сантиметрах.Решение. Выберем вспомогательную систему осей координат УОХ.Разобьемсечениенадвапрямоугольника, так чтобы ось усовпала с осью симметрии. Дведругие оси х1 и х2 прошли черезцентр тяжести каждого прямоугольника. В этой системе координаты центра тяжести прямоугольниковбудут: первого - х1 = 0; у1 =31,5 см;второго – х2=0; у2 =15 см.Определим площади поперечногосечения прямоугольников - А1=14·3 =22Рис.

5.= 42 см , А2 = 3·30 = 90 см .7По формуле (6) вычисляемпоперечного сеченияyc координаты центра тяжести14  3  31,5  3  30 15 20,25 см.14  3  30  3Задача 2. Определить координаты центра тяжести коробчатогосечения (рис. 6) .Решение. Выберем произвольную систему координат ХоУ.Сечение состоит издвух прямоугольников, центры тяжестикоторых С1 и С 2 известны и показаны на рис.

6.Рис.6.Определим площадь поперечного сечения и статическиемоменты всей фигуры относительно выбранных осей.A  A1  A2  8 10  4  6  56 cм 2S x  S x1  S x2  8 10  5  4  6  6  256 cм3S y  S y1  S y2  8 10  4  4  6  5  200 cм3Тогда координаты центра тяжести всего сечения можновычислить следующим образом:S y 200S256xc  3,57 cм; y c  x  4,57 cмA56A568Задача 3. Определить положение центра тяжести полукруга,рис.7.Решение. Направим ось у по осисимметрии полукруга, а ось х1совместим с его основанием. Вэтом случае хс = 0. Определим,координатуус.Подсчитаемстатический момент полусечеРис.7.ния непосредственным интегрированием по площади полукруга:Rπ2S x   ydA   ρsinβ  ρdβdρ   ρ dρ  sinβdβ  R 33AA002Используя формулу (6) находим расстояние центра тяжести отоснования полукруга:yc S x 4R.A 3πНиже приведены формулы для вычисления: осевых, центробежных и полярного моментов инерции простейших плоских сечений.1.Прямоугольник.A  bh; I x I2.ТреугольникAbh 3hb 3; Iy ; I xy  0.1212bh 2(h  b 2 ).12bhbh 3hb 3; Ix ; Iy ;23648I xy  0.I bh h 2b2().12 3493.

КругA  πR 2 ;Ix  I yI xyπR 4;4 0;I 4. ПолукругπR 2;2(9π 2  64)R 4;72ππR 4; I xy  0.8AIxIy5. КольцоπR 4.2ππD 4A  (D2  d 2 ); I x  I y (1  α 4 );464dα  ; I xy  0;DπD 4I (1  α 4 ).326. Кольцо при малых значениях толщины δδ 0,15; A  πd cp δ ;d срI xy  0; I x  I y 3πδ dcp8I xy  0;I 3πδ dcp4.,103. Вычисление моментов инерции при параллельномпереносе и повороте осей.При вычислении моментов инерции сложных сечений возникаетнеобходимостьопределятьихотносительноосей,ориентированных различным образом в плоскости. Для этогоудобно использовать известные значения моментов инерциипростейшихплоскихсеченийотносительно собственныхцентральных осей. В самом общем случае поставленную задачуможнопредставитькакдвавидапоследовательныхпреобразований - параллельный перенос осей и их поворот.Будем считать, что известнымоменты инерции I x , I y , I xy отно-Рис. 8.I x1  I x  а 2 A; I y1гдесительно осей х и у, проходящихчерез центр тяжести сечения с(рис.8).Моментыинерцииотносительнонекоторыхпроизвольных осей Х1 и У1,параллельныхцентральнымосям Х и У, определяются поформуламданнымв[1;2;3;4;5;6;7]: I y  b 2 A; I x1 y1  I xy  аbA (7)а и b – расстояние между осями.Задача 4.