Г.М. Кобельков - Программа экзамена по численным методам

Программа экзамена по численным методамЛектор — Г. М. Кобельков7–8 семестр, 2006 г.1. Введение в численные методы.2. Постановка задачи интерполяции; интерполяционный многочлен Лагранжа; его существование и единственность.3. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. Понятие о количестве арифметических операций как об одном из критериев оценки качества алгоритма.4. Разделённые разности. Интерполяционный многочлен Лагранжа в форме Ньютона с разделёнными разностями.5. Многочлены Чебышёва, их свойства. Минимизация остаточного члена погрешности интерполирования.6.

Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье.7. Быстрое дискретное преобразование Фурье.8. Наилучшее приближение в нормированном пространстве. Существование элемента наилучшего приближения.9. Чебышёвский альтернанс; единственность многочлена наилучшего приближения в C[a, b]. Примеры.10. Ортогональные многочлены. Процесс ортогонализации Шмидта.

Запись многочлена в виде разложения поортогональным многочленам; её преимущества. Рекуррентная формула для вычисления ортогональныхмногочленов.11. Численное дифференцирование; вычислительная погрешность формул численного дифференцирования.12. Сплайны. Экстремальные свойства сплайнов. Построение кубического интерполяционного сплайна. Понятие о B-сплайнах.13. Алгоритмы сжатия данных в одномерном и двумерном случаях (использование в последнем случае сингулярного разложения матрицы).14. Простейшие квадратурные формулы — прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Квадратурные формулыНьютона – Котеса. Оценка погрешности этих квадратурных формул. Квадратурные формулы Гаусса, ихпостроение, положительность коэффициентов, сходимость. Составные квадратурные формулы, оценки погрешности.15. Интегрирование сильно осциллирующих функций. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях.16. Правило Рунге оценки погрешности.

Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага.17. Основные задачи линейной алгебры. Метод Гаусса; метод отражений.18. Метод простой итерации. Теорема о достаточном условии сходимости. Необходимое и достаточное условиесходимости.19.

Поведение метода простой итерации в реальном процессе.20. Метод простой итерации для симметричных положительно определённых матриц (метод Ричардсона).Оптимизация параметра процесса.21. Чебышёвское ускорение метода простой итерации.22. Линейный оптимальный процесс.23.

Итерационные методы со спектрально эквивалентными операторами.24. Метод наискорейшего градиентного спуска.25. Метод Зейделя.26. Метод Ричардсона для систем уравнений с несимметричными матрицами.127. Понятие о методе сопряжённых градиентов. Конечность метода.28. Методы решения плохо обусловленных систем ЛАУ (методы А. Н.

Тихонова и В. В. Поспелова).29. Методы решения нелинейных уравнений (метод бисекций, метод простой итерации и метод Ньютона).30. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ. Метод Эйлера и его модификации.Методы Рунге – Кутта.31. Конечно-разностные методы. Понятие об аппроксимации. Исследование свойств конечно-разностных схемна модельных примерах.32. Метод В. И. Лебедева решения жестких систем ОДУ.33.

Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Аппроксимация,устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи для ОДУ второго порядка.34. Схемы повышенного порядка аппроксимации, аппроксимация других граничных условий.35. Методы решения системы ЛАУ с трехдиагональной матрицей (метод стрельбы и метод прогонки).36.

Метод баланса для решения уравнения диффузии.37. Конечно-разностные схемы как операторы в конечномерных пространствах. Простейшие сеточные теоремывложения.38. Метод конечных элементов.39. Простейшие разностные схемы для уравнения переноса. Спектральный признак устойчивости. Примеры.40. Простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной.Явная и неявная схемы. Схема с весами. Устойчивость и аппроксимация схемы с весами.

Схема со вторымпорядком аппроксимации.41. Разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Её корректность Симметричность и положительная определенность сеточного оператора Лапласа.42. Методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (метод Гаусса, метод разложения вдискретный ряд Фурье, метод простой итерации)43.

Численное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами исмешанной производной.44. Численные методы решения интегральных уравнений второго рода.Последняя компиляция: 21 марта 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.